Cum se calculează viteza instantanee

Viteza este definită ca accelerarea unui obiect într-o anumită direcție. În multe situații comune, folosim ecuația v = s / t, unde v este egală cu viteza, s este egală cu deplasarea totală a obiectului de la punctul său de origine și t este egală cu timpul scurs. Totuși, din punct de vedere tehnic, rezultatul ecuației reprezintă doar viteza "medie" pe parcursul cursului. Cu ajutorul calculului, este posibilă găsirea vitezei obiectului în orice moment al cursului. Aceasta se numește "viteză instantanee", care este definită de ecuație v = (ds) / (dt)

conținut

Pași
Partea 1calculați viteza instantanee
Partea 2estimați viteza instantanee într-un grafic
Partea 3exemple de probleme
Sfaturi

, sau, cu alte cuvinte, ecuația derivatului vitezei medii a unui obiect.

pași

Partea 1
Calculați viteza instantanee

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 1

Începeți cu o ecuație pentru viteza în ceea ce privește deplasarea. Pentru a obține viteza instantanee a unui obiect, avem mai întâi nevoie de o ecuație care să afișeze poziția obiectului (în termeni de deplasare) la un anumit moment. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă variabila s singur pe o parte și T pe de altă parte, dar nu neapărat singur, astfel:

s = -1,5 t² + 10t + 4

În această ecuație, variabilele sunt:
Deplasare = s . Distanța acoperită de obiect din poziția de plecare. De exemplu, dacă un obiect se deplasează 10 metri înainte și 7 metri înapoi, deplasarea totală este de 10 - 7 = 3 metri (și nu 10 + 7 = 17 metri).
Timpul = t . Auto-explicativ. De obicei, se măsoară în secunde.

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 2

Calculați derivatul ecuației. derivat a unei ecuații este doar o ecuație diferită care vă arată curba în orice moment. Pentru a găsi derivatul formulei de deplasare, diferențiați funcția cu această regulă generală pentru a găsi derivate: Dacă y = a * xⁿ, derivat = a * n * x^n-1. Această regulă se aplică fiecărui termen de pe partea ecuației care conține T.

Cu alte cuvinte, începeți cu partea de ecuație cu T, de la stânga la dreapta. De fiecare dată când găsiți a T, scade 1 de la exponent și înmulți întregul termen cu exponentul original. Orice termeni constanți (termeni care nu conțin T) vor dispărea pe măsură ce se înmulțesc cu 0. Acest proces nu este atât de dificil cum pare - a se vedea ecuația de mai sus derivată ca un exemplu:
s = -1,5 t² + 10t + 4
(2) -1,5 t^(2-1) + (1) 10t^{1 - 1} + (0) 4t⁰
-3t¹ + 10t⁰
-3t + 10

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 3

înlocui s de ds / dt. Pentru a arăta că noua ecuație este o derivă a celei anterioare, înlocuiți-o s cu notația ds / dt. Din punct de vedere tehnic, notația înseamnă "derivatul lui s despre t". Un mod mai simplu de a înțelege acest lucru este să credeți că ds / dt este doar curba oricărui punct dat în prima ecuație. De exemplu, pentru a găsi curba liniei făcute de s = -1,5t² + 10t + 4 la t = 5, este atribuită doar 5 a t în derivatul său.

În acest exemplu, ecuația finită ar trebui să arate astfel:
ds / dt = -3t + 10

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 4

Alocați o valoare lui t în noua ecuație pentru a găsi viteza instantanee. După obținerea ecuației derivate, este ușor să găsiți o viteză instantanee în orice moment. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare pentru t și să o atribuiți în ecuația derivată. De exemplu, dacă doriți să găsiți viteza instantanee cu t = 5, înlocuiți doar t cu 5 în derivatul ds / dt = -3t + 10. Apoi, rezolvați doar ecuația:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secundă

Rețineți că a fost utilizat unitatea de măsură / a doua măsurătoare. Deoarece avem de-a face cu deplasarea în metri, timpul în secunde și viteza în general este doar deplasare în timp, măsurarea este adecvată.

Partea 2
Estimați viteza instantanee într-un grafic

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 5

Afișați deplasarea obiectului în timp. În secțiunea de mai sus, sa menționat că derivatele nu sunt altceva decât formule care ajută la găsirea curbei în orice moment al ecuației la care se referă. De fapt, atunci când reprezintă deplasarea unui obiect cu o linie într-un grafic curba liniei la un anumit punct este egală cu viteza instantanee a obiectului în acel punct.

Pentru a face diagrama, utilizați axa x pentru a reprezenta timpul și axa y pentru a reprezenta offsetul. apoi, distribuie punctele atribuirea valorilor la t în ecuația de deplasare, găsirea valorilor lui s și marcarea t, s (x, y) pe grafic.
Rețineți că graficul se poate extinde sub axa x. Dacă linia reprezentând mișcarea obiectului se extinde sub axa x, aceasta reprezintă obiectul care se deplasează din nou de unde a pornit. În general, graficul nu se extinde în spatele axei y - de obicei nu măsuram viteza obiectelor care se mișcă înapoi în timp!

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 6

Alegeți un punct P și un punct Q apropiat de acesta în linie. Pentru a găsi curba la un punct P, se folosește un truc numit "calculul limitei". Calculați pragul implică alegerea două puncte (P și Q) pentru a găsi linia curbată și linia curbată de legătură din nou și din nou, cele două puncte, în timp ce distanța dintre P Q Q scade.

Să presupunem că linia deplasării conține punctele (1,3) și (4,7). În acest caz, dacă doriți să găsiți curba în (1.3), definiți (1.3) = P și (4.7) = Q.

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 7

Găsiți curba între P și Q. Curba dintre P și Q este diferența dintre valorile y pentru P și Q pentru diferența dintre valorile x pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P), unde H este curba dintre două puncte. În exemplul anterior, curba dintre P și Q este:

H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P)
H = (7-3) / (4-1)
H = (4) / (3) = 1,33

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 8

Repetați de mai multe ori deplasând pe Q mai aproape de P. Scopul este să micșorați mai mult distanța dintre Q și P până când ajungeți aproape de un singur punct. Cu cât distanța dintre Q și P este mai mică, cu atât se apropie curba segmentelor mici de curba punctului P. Să facem acest lucru de câteva ori pentru ecuația de exemplu folosind punctele (2-4,8), (1,5 -3,95) și (1,25-3,49) pentru Q și punctul inițial (1,3) pentru P:

Q = (2-4,8): H = (4,8-3) / (2-1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5-3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
H = (0,95) / (0,5) = 1.9

Q = (1,25-3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 9

Efectuați o estimare a curbei pentru un interval infinit de mic în linie. Când Q se apropie de P, H se va apropia de curba de la punctul P. În cele din urmă, într-un interval infinit de mic, H va fi egal cu curba la P. Deoarece nu este posibil să se măsoare sau să se calculeze acest interval, curba P atunci când devine clară din punctele testate.

În exemplul respectiv, deplasarea Q mai aproape de P, valorile 1.8, 1.9 și 1.96 au fost obținute pentru H. Deoarece aceste cifre par să aproximeze 2, se poate spune că 2 este o estimare bună pentru curba din P.
Amintiți-vă că curba la un anumit punct dintr-o linie este aceeași cu derivarea ecuației liniei la acel moment. Deoarece linia arată deplasarea obiectului în timp și, așa cum se vede în secțiunea de mai sus, viteza instantanee a unui obiect este derivatul deplasării sale într-un anumit punct, se poate de asemenea spune că 2 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la t = 1.

Partea 3
Exemple de probleme

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 10

Găsiți viteza instantanee la t = 4, având în vedere ecuația de deplasare s = 5t³ - 3t² + 2t + 9. Acesta este același lucru cu exemplul din prima secțiune, cu excepția ecuației cubice, mai degrabă decât a ecuației, apoi rezolvată în același mod.

În primul rând, găsim derivatul ecuației:
s = 5t³ - 3t² + 2t + 9
s = (3) 5t^{(3 - 1)} - (2) 3t^{(2 „- 1)} + (1) 2t^{(1 - 1) + (0) 9t^{0 - 1}
15T⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2t^{(0)
15T⁽²⁾ - 6t + 2}}
Apoi, valoarea pentru t (4) este atribuită:
s = 15t⁽²⁾ - 6t + 2
15 (4)⁽²⁾ - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 de metri / secundă

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 11

Utilizați o estimare grafică pentru a găsi viteza instantanee la (1,3) pentru ecuația de deplasare s = 4t² - T. Pentru această problemă, punctul 1.3 este folosit ca punct P, dar este necesar să găsim câteva puncte în apropiere pentru a le folosi ca puncte Q. Atunci este doar o chestiune de a găsi valorile H și de a face o estimare.

Mai întâi găsim punctele Q la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
s = 4t² - T

t = 2: s = 4 (2)² - (2)
4 (4) - 2 = 16-2 = 14, atunci Q = (2,14)

t = 1,5: s = 4 (1,5)² - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, atunci Q = (1,5-7,5)

t = 1,1: s = 4 (1,1)² - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, atunci Q = (1,1-3,74)

t = 1,01: s = 4 (1,01)² - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, atunci Q = (1,01-3,0704)
Apoi, găsim valorile H:
Q = (2,14): H = (14-3) / (2-1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1,5-7,5): H = (7,5-3) / (1,5-1)
H = (4.5) / (0.5) = 9

Q = (1,1-3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
H = (0,74) / (0,1) = 7.3

Q = (1,01-3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
H = (0,0704) / (0,01) = 7.04
Deoarece valorile H par să aproximeze la 7, se poate spune că 7 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la (1,3).

sfaturi

Pentru a găsi accelerația (modificarea vitezei în timp), utilizați metoda din prima parte pentru a obține o ecuație derivată pentru funcția de deplasare. Apoi, obțineți un alt derivat, de data aceasta din ecuația derivată. Deci, veți avea o ecuație pentru a găsi accelerarea la un moment dat - tot ce trebuie să faceți este să atribuiți o valoare la timp.
Ecuația care se referă la Y (deplasare) la X (timp) poate fi destul de simplă, de exemplu Y = 6x + 3. În acest caz curba este constantă și nu este necesar să se găsească un derivat pentru a obține curba, modelul de bază Y = mx + b pentru graficele liniare, 6.
Deplasarea este similară cu distanța, dar are o direcție definită, ceea ce face deplasarea vectorului și accelerarea scalară. Deplasarea poate fi negativă, iar distanța este pozitivă.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit