itholoinfo.com.com

Rezolvarea relației de recurență

În timpul procesului de localizare a unei formulări pentru o anumită secvență matematică, un pas intermediar comun este de a găsi termenul n

(n), nu în funcție de n, ci din punct de vedere al componentelor anterioare ale secvenței. De exemplu, ar fi ideal să avem o funcție închisă pentru termenul n din secvența lui Fibonacci dar uneori, tot ce aveți este relația de recurență. În această relație, fiecare termen al secvenței Fibonacci este suma celor doi termeni anteriori. În acest articol, veți vedea mai multe metode pentru a deduce o formulă închisă dintr-o recurență.

pași

Metoda 1
aritmetică

Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 1
1
Luați în considerare o secvență aritmetică, cum ar fi 5, 8, 11, 14, 17, 20 ,....
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 2
    2
    Deoarece fiecare termen este de trei unități mai mare decât cel precedent, acesta poate fi exprimat ca o recurență așa cum este arătat.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 3
    3
    Orice reapariție a formei an = on-1 + d este o secvență aritmetică.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 4
    4
    Scrieți forma închisă a formulei pentru o secvență aritmetică, eventual cu necunoscute, așa cum sa demonstrat.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 5
    5
    Rezolvați necunoscuți în funcție de modul în care a început secvența. În acest caz, deoarece 5 era termenul 0, formula esten = 5 + 3n. Dacă, în schimb, 5 ați fost primul termen, ați fin = 2 + 3n.

    • Metoda 2
    geometric

    Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 6
    1
    Luați în considerare secvența 3, 6, 12, 24, 48 ,... .
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 7
    2
    Deoarece fiecare termen este de două ori mai lung decât cel anterior, acest lucru poate fi exprimat într-o recurență așa cum sa demonstrat.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 8
    3
    Orice reapariție a formei an R = a *n-1 este o secvență geometrică.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 9
    4
    Scrieți forma închisă a formulei pentru o secvență geometrică, eventual cu necunoscute, după cum se arată.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 10
    5
    Rezolvați necunoscuți în funcție de modul în care a început secvența. În acest caz, deoarece 3 era termenul 0, formula esten = 3 * 2n. Dacă, în schimb, 3 a fost primul termen, veți obținen = 3 * 2(N-1).

    • Metoda 3
    polinomul

    Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 11
    1
    Luați în considerare secvența 5, 0, -8, -17, -25, -30 ,... dată de recurența prezentată.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 12
    2
    Orice reapariție a formei arătate, unde p (n) este orice polinom în n, va avea o formă închisă de polinomă cu formula cu un grad mai mare decât cea a lui p.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 13
    3
    Scrieți forma generală a unui polinom de gradul cerut. În acest exemplu, p este logo-ul quadratic, vom avea nevoie de un cubic pentru a reprezenta secvența an.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 14
    4
    Deoarece un cub general are patru coeficienți incognito, sunt necesari patru termeni de secvență pentru a rezolva sistemul rezultat. Orice patru termeni pot fi utilizați. În acest exemplu, să folosim 0, 1, 2 și 3. Rulați recursiunea inversă pentru a găsi termenul -1 poate da un sistem mai ușor de rezolvat, dar nu este necesar.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 15
    5
    Rezolvarea sistemului rezultat al ecuațiilor deg (p) +2 în necunoscute deg (p) = 2.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea relațiilor de recurență Pasul 16
    6


    În cazul în care a fost unul dintre termenii pe care i-ați folosit pentru a rezolva coeficienții, obțineți termenul constant al polinomului pentru liber și puteți reduce sistemul la deg (p) +1 în necunoscute (p) + 1, după cum se arată.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 17
    7
    Rezolvați sistemul de ecuații liniare pentru a găsi c3 = 1/3, c2 = -5 / 2, c1 = -17 / 6 și c = 5. Afișează formula închisă pentrun ca polinom cu coeficienți cunoscuți.

    • Metoda 4
    liniar

    Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 18
    1
    Aceasta este prima metodă capabilă de a rezolva secvența Fibonacci în introducere, dar metoda rezolvă orice recurență în care termenul n este o combinație liniară a termenilor k de mai sus. Deci, să încercăm în exemplul diferit prezentat al cărui prim termen este 1, 4, 13, 157, ....
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 19
    2
    Scrieți caracteristica polinomului de recurență. Acest lucru se găsește înlocuind fiecaren în repetarea cu xn și împărțirea cu x(N-k) lăsând un polinom de grad k și un termen constant nonzero.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 20
    3
    Rezolva caracteristica polinomului. În acest caz, caracteristica are gradul 2, astfel încât să putem folosi formula quadratică pentru a-și găsi rădăcinile.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 20
    Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 20
    4
    Rezolva caracteristica polinomului. În acest caz, caracteristica are gradul 2, astfel încât să putem folosi formula quadratică pentru a-și găsi rădăcinile.formula quadratică pentru a-și găsi rădăcinile.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 21
    5
    Orice expresie a formularului afișat satisface recurența. Ceu sunt orice constante, iar baza exponenților sunt rădăcinile caracteristicilor descrise mai sus. Acest lucru poate fi verificat prin inducție.
    • Dacă caracteristica are o rădăcină multiplă, va exista o ușoară modificare în acest pas. Dacă r este o rădăcină de multiplicitate m, utilizați (c1rn + c2nrn + c3n2rn + ... + cmnm-1rn) în loc de pur și simplu (c1rn). De exemplu, secvența care începe cu 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ... satisface relația recurentă lan = 6an-1 - 12aN-2 + 8an-3. Caracteristica polinomică are o rădăcină triplă de 2 și forma închisă cu formula an = 5 * 2n - 7 * n * 2n + 2 n2* 2n.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 22
    6
    Găsiți ceu îndeplinește condițiile inițiale specificate. La fel ca exemplul polinomului. Acest lucru se poate face prin crearea unui sistem liniar de ecuații din termenii inițiali. Cum acest exemplu are două necunoscute, este necesar să avem doi termeni. Orice doi termeni pot fi utilizați, deci alegeți 0 și 11 pentru a evita să ridice numărul irațional la o putere mare.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 23
    7
    Rezolvați sistemul de ecuații rezultat.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 24
    8
    Conectați constantele rezultate în formula generală ca soluție.

    • Metoda 5
    Funcțiile generatoare

    Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 25
    1
    Luați în considerare secvența 2, 5, 14, 41, 122... dată de recurența prezentată. Nu poate fi rezolvată prin niciuna dintre metodele de mai sus, dar o formulă poate fi găsită utilizând funcții generate.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 26
    2
    Scrieți o funcție generată a secvenței. Această funcție este pur și simplu o serie de forțe formale în care coeficientul xn și termenul n a secvenței.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 27
    3
    Manipulați funcția generată așa cum a fost demonstrat. Scopul este de a găsi o ecuație pentru a rezolva funcția generată A (x). Extrageți termenul inițial. Aplicați relația de recurență cu termenii rămași. Împărțiți suma. Extrageți termenii constanți. Utilizați definiția lui A (x). Utilizați formula sumă a unei serii geometrice.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea relațiilor de recurență Pasul 28
    4
    Găsiți funcția generată A (x).
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 29
    5
    Găsiți coeficientul xn în A (x). Metodele de a face acest lucru vor varia în funcție de A (x), dar metoda fracțiilor parțiale, combinată cu cunoașterea modului de generare a funcțiilor unei secvențe geometrice, funcționează aici, așa cum sa demonstrat.
  • Imaginea intitulată Rezolvați relațiile de recurență Pasul 30
    6
    Scrieți formula pentrun identificarea coeficientului de xn în A (x).

    • sfaturi

    • Inducția este, de asemenea, o tehnică populară. În general, se utilizează pentru a dovedi prin inducție că o formulă specificată satisface o recurență specificată, totuși aceasta necesită asumarea formulării în avans.
    • Unele dintre aceste metode sunt foarte intense, cu multe ocazii de a face o greșeală proastă. Este bine să verificați formulele împotriva unor termeni cunoscuți.
    • "În matematică, secvența Fibonacci este dată de: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
      • Fibonacci spirală: o aproximare spirală aur creat prin arce circulare trase care leagă colțurile opuse ale țiglei pătrat Fibonacci- aici utilizează aceste dimensiuni pătrate de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 și 34.
      • Prin definiție, primele două numere ale secvenței Fibonacci sunt 1 și 1 sau 0 și 1, în funcție de punctul de pornire ales pentru secvență. Fiecare număr ulterior este o sumă a celor două precedente.
      • În termeni matematici, termenul Fn din numerele Fibonacci este definit de raportul de recurență
      • Fn= Fn-1 + FN-2 cu valori F1 = 1, F2 = 1 sau F0 = 0, F1 = 1.
      • Raportul dintre Fn/ Fn-1 se numește Raportul de Aur sau Phi (Φ), precum și raportul Fn-1/ Fn."1
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Cum să atragă spirala de aurCum să atragă spirala de aur
    Modul de a juca "Shine, Shine, Shine" pe tastatură fără a citi fișiereleModul de a juca "Shine, Shine, Shine" pe tastatură fără a citi fișierele
    Cum de a identifica o secventaCum de a identifica o secventa
    Cum să învățați procentele de pokerCum să învățați procentele de poker
    Cum se practică strategia de ruletăCum se practică strategia de ruletă
    Cum să găsiți mediana unui set de numereCum să găsiți mediana unui set de numere
    Cum se adaugă o secvență de numere consecutive impareCum se adaugă o secvență de numere consecutive impare
    Cum se calculează media aritmeticăCum se calculează media aritmetică
    Cum se calculează secvența FibonacciCum se calculează secvența Fibonacci
    Cum se calculează eroarea implicităCum se calculează eroarea implicită
    » » Rezolvarea relației de recurență
    © 2021 itholoinfo.com.com