Cum se adaugă numere întregi de la 1 la N

Grupul de numere întregi este format din numere fără nici o parte fracționată sau zecimală. Dacă o problemă de matematică cere să sintetizeze toate numerele întregi de la 1 la o anumită valoare N

conținut

Pași
Determinarea sumelor între două numere
Sfaturi
Avertismente

, nu este nevoie să adăugați unul câte unul: cea mai rapidă și mai ușoară modalitate de a face această sumă este prin utilizarea formulei (N× (N + 1)) / 2, unde N reprezintă cea mai mare valoare a seriei.

pași

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 1

Sunați cel mai mare întreg din seria de N. Pentru a începe să adăugați numerele întregi de la 1 la orice număr de daune, setați cel mai mare număr al sumei sale ca N. Deoarece este o sumă de numere întregi, valoarea lui N nu poate fi zecimal sau fracționar. N de asemenea, nu poate avea o valoare negativă.

Să presupunem, de exemplu, că doriți să sumați întregi de la 1 la 100: în acest caz, vom folosi 100 ca valoare N, deoarece este numărul final al seriei, adică cel mai mare număr care va fi adăugat.

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 2

multiplica N de N + 1 și apoi împărțiți rezultatul cu 2. După ce ați setat N, aplicați această valoare în formula N× (N+1) / 2 - această formulă permite să determinăm suma tuturor întregilor de la 1 la un număr dat N.

În exemplu, înlocuiți 100 cu N din ecuație. Astfel, după înlocuire, ecuația N× (N+1) / 2 ar deveni 100 × (100 + 1) / 2.

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 3

Rezolvați operațiile. Valoarea obținută după rezolvarea operațiilor ecuației reprezintă suma tuturor numerelor întregi între 1 și valoarea N.

Rezolvând exemplul, vom avea:
- 100 × (100 + 1) / 2 =
- 100 × (101) / 2 =
- 10100/2 =
- 5050. Suma tuturor numerelor întregi de la 1 la 100 este egală 5050.

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 4

Înțelegeți cum ecuația N× (N+1) / 2. Să examinăm din nou exemplul: separați mental seria 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 în două grupe - prima conține numerele de la 1 la 50, iar cea de-a doua conține numerele de la 51 la 100. Rețineți că , prin adăugarea primului număr al primului grup (1) la ultimul număr al celui de-al doilea grup (100), obținem 101. Același lucru se întâmplă când adăugăm 2 cu 99, 3 cu 98, 4 cu 97 etc. Prin asocierea în urma acestui raționament, un număr al primului grup cu său corespunzător al doilea grup 50 perechi obține număr care atunci când este adăugat în rezultat 101. Prin urmare, atunci când înmulțirea cu 101 obținem 50 5050, sau suma numerelor întregi 1 până la 100. Rețineți că 50 este jumătate din 100 (ultimul număr din serie) și 101 este suma de 100 și 1 (limitele sumei). Acest lucru este valabil pentru suma oricărei alte valori întregi pozitive: componentele sale pot fi împărțite în două grupuri, iar apoi numerele acelor grupuri pot fi asociate astfel încât suma tuturor perechilor să fie aceeași. Un alt detaliu important: dacă ultimul număr din serie este ciudat, un număr va rămâne în afara acestor perechi - totuși, acest lucru nu afectează rezultatul final.

În termeni generali, putem spune că pentru orice valoare întregă a N, suma numerelor de la 1 la N este egal cu (N/ 2) x (N+1) - simplificarea acestei ecuații, avem N× (N+1) / 2.

Determinarea sumelor între două numere

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 5

Stabiliți dacă suma este inclusă sau exclusivă. Pentru majoritatea întrebărilor, trebuie să știți mai mult decât să adăugați numerele între 1 și un număr întreg: trebuie să știți cum să determinați suma numerelor dintre două numere întregi N₁ și N₂ în orice loc N₁ este mai mare decât N₂ și ambele sunt mai mari decât 1. Procesul de determinare a acestei sume este relativ simplu, dar înainte de a învăța să îl executați, este necesar să se definească dacă această sumă va fi inclusă sau exclusivă, adică dacă ar trebui să includă numere întregi N₁ și N₂ sau dacă suma conține doar numerele între ele.

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 6

Pentru a determina suma intregilor intre doua numere N₁ și N₂ suma celor între 1 și fiecare dintre ei separat și apoi scăderea. Norma generală pentru efectuarea acestui tip de sumare este scăderea sumei de întregi între 1 și cea mai mică valoare din N din suma totală între 1 și cea mai mare valoare a lui N. Cu toate acestea, așa cum sa spus în etapa anterioară, este important să se definească dacă sumarea va fi inclusă sau exclusivă: într-o sumă inclusă trebuie să scăpați o unitate de valoarea N₂ (cea mai mică valoare din N) înainte de a aplica aceasta la ecuație - deja într-o sumă exclusivă trebuie să scăpați o unitate din valoarea lui N₁ (cea mai mare valoare din N) înainte de aplicarea acesteia la ecuație.

Să presupunem că întrebarea vă cere să efectuați o sumă totală de numere întregi între N₁ = 100 și N₂ = 75. Cu alte cuvinte, ar trebui să găsiți rezultatul sumei de 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Pentru aceasta, trebuie mai întâi să însumați numerele întregi de la 1 la N₁ și apoi se scade din rezultatul respectiv suma totală de la 1 la N₂ - 1 (pentru că este o sumă totală, trebuie să scăpați o unitate de valoarea lui N₂). Observați rezoluția:
- (N₁× (N₁ + 1)) - 2 - ((N₂-1) × ((N₂-1) + 1)) / 2 =
- (100 × (100 + 1)) / 2 - (74 × (74 + 1)) / 2 =
- 5050 - (74 × (75)) / 2 =
- 5050 - 5550/2 =
- 5050-2775 = 2275. Suma incluzivă a numerelor întregi între 75 și 100 este egală cu 2275.
Acum, să executăm exclusiv această sumă - ecuația rămâne aceeași, dar de data aceasta trebuie să scăpați o unitate de valoarea N₁:
- ((N₁-1) × ((N₁-1) + 1)) / 2- (N₂× (N₂ + 1)) / 2 =
- (99 × (99 + 1)) / 2 - (75 × (75 + 1)) / 2 =
- (99 × (100)) / 2 - (75 × (76)) / 2 =
- 9900/2 - 5700/2 =
- 4950-2800 = 2100. Suma exclusivă a numerelor întregi între 75 și 100 este egală cu 2100.

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 7

Înțelegeți cum funcționează procesul. Gândiți-vă la suma întregului între 1 și 100 ca 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 și suma întregului de la 1 la 75 ca 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 Determinarea sumei întregilor între 75 și 100 înseamnă că se găsește rezultatul sumei 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Sumele de la 1 la 75 și de la 1 la 100 sunt identice până la numărul 75, de la acel punct, suma de la 1 la 75 se termină și suma de la 1 la 100 continuă, incluzând numerele întregi 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 - din acest motiv scădea rezultatul din suma de la 1 la 75 din rezultatul din suma de la 1 la 100 ne permite să izolăm și să determinăm rezultatul sumei de 75 la 100.

În cazul în care suma este inclusă, este necesar să se utilizeze suma de la 1 la 74 în loc de suma de la 1 la 75 pentru a se asigura că numărul 75 este inclus în suma finală.
Dacă suma este exclusivă, este necesar să se folosească suma de la 1 la 99 în loc de suma de la 1 la 100 pentru a se asigura că numărul 100 nu este inclus în suma finală. Într-o sumă exclusivă trebuie să folosim suma de la 1 la 75 deoarece, prin urmare, scăzând acest rezultat din suma de la 1 la 99, excludem și numărul 75 al rezultatului final.

sfaturi

Deoarece este o sumă de numere întregi, rezultatul va fi întotdeauna un număr întreg. Notați în formula că, indiferent de valoarea lui N, una dintre componente N sau N + 1 va fi egal și, prin urmare, întregul va fi divizibil până la 2.
Suma din la B = (Suma de la 1 la B) - (Suma de la 1 la -1), unde B este mai mare decât .
În rezumat: suma de 1 în sus N = N× (N+1) / 2

avertismente

Deși generalizările cu numere negative nu sunt greu de realizat, această metodă este restricționată numai la numere întregi pozitive N, unde N este mai mare sau egală cu 1.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit