Definirea limitelor superioare și inferioare ale unui set

Un set de numere reale S

conținut

Pași
Partea 1Înțelegeți elementele de bază
Partea 2determinați limitele superioare și inferioare ale unui set
Sfaturi
Surse și cotatii

este considerat limitat (superior și inferior), iar în cazul elementului finit conține mai mare sau egal cu toate celelalte elemente ale ansamblului, și un membru inferior sau egal cu toate celelalte asamblare. Doriți să știți cum să determinați limitele superioare (inferioare) și inferioare (inferioare) ale unui set de numere reale care nu sunt goale? Începeți la primul pas.

pași

Partea 1
Înțelegeți elementele de bază

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 1

Înțelegeți conceptul de limită superioară. fi S un set de numere reale, dacă există S un număr real ∈ R astfel încât orice element din acest subset să fie mai mic sau egal cu , spunem că acest set este limitat la cel mai înalt nivel. Din punct de vedere matematic, putem exprima acest lucru în felul următor:x ∈S ⇒x ≤ . Dacă setul S nu are o limită superioară (majoră), spunem că este fără limită superioară.

Cel mai mic element dintre S (dacă există) se numește suprem și este reprezentat de supS.
Dacă un set S are cel puțin un majore, atunci vor exista și alte elemente infinite mai mari decât acest număr care vor fi, de asemenea, clasificate ca majorantes.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 2

Înțelegeți conceptul de limită inferioară. fi S un set de numere reale, dacă există S un număr real B ∈ R astfel încât orice element al acestui subset este mai mare sau egal cu B, spunem că acest set este limitat mai jos. Din punct de vedere matematic, putem exprima acest lucru în felul următor:x ∈S ⇒x ≥B. Dacă setul S nu are o limită inferioară (minoră), spunem că nu este limitată inferior.

Cel mai mare element printre minoritari ai întregului S (dacă există) se numește infimum și este reprezentat de infS.
Dacă un set S are cel puțin un număr mai mic, atunci vor exista alte elemente infinite mai mici decât acest număr, care vor fi, de asemenea, clasificate ca minoritari.

Partea 2
Determinați limitele superioare și inferioare ale unui set

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 3

Asigurați-vă că ansamblul este limitat deasupra. fi S un set de numere reale unde ∃ ∈ R astfel încât ∀ x ∈S ⇒x ≤ , noi spunem asta este un lider global S. Cu alte cuvinte, dacă există un număr real astfel încât orice număr ales din set S este mai mică sau egală cu ea, atunci putem spune că acest set este limitat la cel mai înalt nivel.

De exemplu, să presupunem că aveți următorul set de numere reale, S: {1, -1/4, 1/9, 1/16. . .}. Putem vedea că există un număr real egal cu 1 în setul respectiv și orice alt element al lui S este mai mică sau egală cu aceasta. Prin urmare, putem spune că acest set este limitat superior.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 4

Verificați dacă ansamblul este limitat mai jos. fi S un set de numere reale unde ∃ B ∈ R astfel încât ∀ x ∈ S ⇒x ≥ B, noi spunem asta B este o minoritate a întregului S. Cu alte cuvinte, dacă există un număr real B astfel încât orice număr ales din set S este mai mare sau egală cu ea, atunci putem spune că acest set este limitat inferior.

În exemplul de mai sus, putem vedea că există un număr real B egală cu -1/4 din set și că orice alt element al lui S este mai mare sau egală cu aceasta. Prin urmare, putem spune că acest set este limitat inferior.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 5

Asigurați-vă că setul are o supremație. Dacă există un element minor printre elementele majore ale setului, atunci acesta va fi numit suprem și va fi reprezentat de supS.

În exemplul de mai sus, putem observa că orice număr mai mare de 1 poate fi o creștere - cu toate acestea, 1 este cel mai mic dintre ele. Prin urmare, 1 este supremul acestui set: sorbiS = 1.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 6

Verificați dacă ansamblul are un minim. Dacă există un element mai mare printre locatorii setului, atunci acesta va fi numit cel mai mic și va fi reprezentat de infS.

În exemplul de mai sus, putem vedea că orice număr mai mic decât -1/4 poate fi minor; totuși -1/4 este cel mai mare dintre ele. Prin urmare, -1/4 este cel mai mic din acest set: infS = -1/4.

Imaginea intitulată Rezolvați legătura superioară și inferioară Pasul 7

Determinați cel mai mare element din set. Un număr este considerat cel mai mare element al unui set S dacă ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≤ . Cu alte cuvinte, dacă alegem un anumit număr dintr-un set și o comparați cu celelalte elemente, dacă orice alt element al setului este mai mic sau egal cu , atunci putem spune că acest număr este cel mai mare element al setului (numit și cel maxim).

În exemplul de mai sus, putem vedea că există un element al setului care îndeplinește aceste condiții: numărul 1. Deci 1 este maximul setului.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 8

Determinați cel mai mic element din set. Un număr b este considerat cel mai mic element al unui set S dacă b ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≥ b. Cu alte cuvinte, dacă alegem un anumit număr b dintr-un set și o comparați cu celelalte elemente, dacă orice altă valoare a setului este mai mare sau egală cu b, atunci putem spune că acest număr este cel mai mic element al setului (numit și cel minim).

În exemplul de mai sus, putem observa că există un element al setului care respectă aceste condiții: acesta este numărul -1/4. Prin urmare, -1/4 este minimul setului.

Imaginea intitulată Lucrați în legăturile superioare și inferioare Pasul 9

Determinați limitele superioare și inferioare ale setului. Cel mai mare și cel mai mic element al setului său va fi, respectiv, limita superioară și inferioară.

În exemplul de mai sus, avem un set limitat fie superior (cu 1), fie inferior (cu -1/4).

sfaturi

Elementele maxime și minime sunt de asemenea cunoscute ca extreme ale setului.
Dacă supremul și cel mai mic dintre toate există, ele vor fi întotdeauna unice. Existența celui suprem și cel puțin a unui set care nu este gol, mărginit deasupra și dedesubt, este garantat de axiomul de completitudine al R: acest axiom afirmă că orice set non-gol limitat mai sus are un suprem și că orice set non-gol limitat inferior are un foarte mic.
Supremului și cea mai mică dintre un set dat nu sunt neapărat parte din IT- care este unul dintre motivele pentru care, de asemenea, nevoie pentru a determina maximul și minimul setului.