Cum de a urmări Setul Mandelbrot de mână

Setul Mandelbrot constă din mai multe puncte trase într-un plan complex pentru a forma o fractal

conținut

Pași
Sfaturi
Avertismente
Surse și cotatii

: o formație incredibilă în care fiecare parte este de fapt copia miniaturală a întregului. Incredibil de vizionare imagini ascunse în setul Mandelbrot au fost de fapt intalnit pentru prima data in secolul al 16-lea, datorită înțelegerii Rafael Bombelli ca numerele imaginare - dar nu a fost până Benoit Mandelbrot și alții au început să exploreze fractali cu ajutorul calculatoarelor care secretul universului a fost în cele din urmă dezvăluit.

Acum, că știm că există, putem să o abordăm într-un mod mai primitiv: cu mâna. Aici va fi învățat o metodă de vizualizare o reprezentare brută a tuturor, doar în scopul de a înțelege cum se face IT- atunci veți obține o apreciere profundă pentru reprezentarea care se poate face prin mai multe programe open-source disponibile, sau chiar vizionate pe CD-uri și DVD-uri.

pași

Înțelegeți formula de bază, exprimată adesea de z = z² + c. Pur și simplu înseamnă că pentru fiecare punct din universul Mandelbrot dorim să vedem, vom continua să calculam z până când se întâmplă una dintre cele două condiții - apoi o colorăm pentru a arăta cât de multe calcule au fost făcute. Nu vă faceți griji! Totul va deveni mai clar în pașii următori.

Luați 3 creioane, cretă sau marcatori de pâslă în diferite culori, plus un creion sau stilou negru pentru contururi. Motivul pentru care vrem 3 culori este că vom face prima aproximare cu nu mai mult de 3 iterații (straturi sau, cu alte cuvinte, se aplică formula de până la 3 ori pe punct).

Cu marcatorul negru, desenați o diagramă de 3x3 pătrate mare pe o bucată de hârtie.

Etichetați (și în negru) pătratul mediu (0, 0). Aceasta este constanta (c) în punctul echivalent cu centrul pătratului. Acum să spunem că fiecare pătrat reprezintă 2 unități lățime, iar apoi vom adăuga sau scădea 2 de la și la valorile lui x și y în fiecare pătrat, cu x fiind primul număr și y a doua. Apoi, totul va arăta ca ceea ce vedeți reprezentat aici. Ori de câte ori urmați celulele pe orizontală, valorile y (al doilea număr) ar trebui să fie mesmos- ori de câte ori face pe verticală, valorile lui x (primul număr) va fi egal.

Calculați primul strat sau repetare, de formula. Dumneavoastră, ca calculator (de fapt, sensul original al cuvântului este "o persoană care calculează"), o poate face pe cont propriu. Să începem cu următoarele afirmații:

Valoarea inițială a z în fiecare pătrat este (0, 0). Atunci când valoarea absolută a z pentru un anumit punct este mai mare sau egală cu 2, acel punct (și pătratul corespunzător) este considerat a avea scăpat din setul Mandelbrot. Când se întâmplă acest lucru, veți colora pătratul în funcție de numărul de iterații, în formula aplicată până la acel punct.
Alegeți culorile care vor fi folosite în straturile 1, 2 și 3. Să presupunem că sunt roșii, verzi și albastre în sensul acestui articol.
Calculați valoarea z pentru colțul din stânga sus al diagramei de joc vechi, presupunând că valoarea inițială a z 0 + 0i sau (0, 0) - vedeți secțiunea sfaturi pentru o mai bună înțelegere a acestor reprezentări. Aici, folosim formula z = z² + c, așa cum este definită în prima etapă. Veți vedea rapid că, în acest caz, z² + c este simplu c, de la 0² este egal cu 0. Și care este valoarea lui c pentru acest pătrat: (-2, 2)?
Determinați valoarea absolută a acestui punct - valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a a² + b². Acum, deoarece o vom compara cu valoarea cunoscută 2, putem evita obținerea de rădăcini pătrate prin compararea² + b² la 2², despre care știm că suntem echivalenți 4. În acest calcul, a = -2 și b = 2.
- [(-2)² + 2² ]
- [4 + 4]
- 8, care este mai mare de 4
Această valoare a scăpat din setul Mandelbrot după primul calcul, deoarece valoarea absolută este mai mare decât 2. Culoarea este cu creionul ales pentru stratul 1.
Faceți același lucru pentru fiecare pătrat din diagramă, cu excepția pieței centrale, care nu a scăpat de setul Mandelbrot din cel de-al treilea strat (și nu va scăpa niciodată). Deci, ați folosit numai două culori: cea care reprezintă stratul 1 în toate pătratele exterioare și reprezentarea stratului 3 în centrul pătratului.

Să încercăm un pătrat de 3 ori mai mare, 9x9, dar menținând încă maximum 3 iterații.

Începeți cu coloana a treia de sus în jos, de vreme ce totul începe să devină interesant.

Primul element, (-2, 1), este mai mare de 2 (deoarece (-2)² + 1² este egal cu 5) și, prin urmare, îl vom picta din roșu, deoarece scapă de setul de Mandelbrot în primul strat.
Al doilea element, (-1,5, 1), sa dovedit a fi nu mai mare de 2. Aplicând formula la valoarea absolută, x² + y², unde x = -1,5 și y = 1:
- (-1.5)² = 2,25
- 1² = 1
- 2.25 + 1 = 3.25 - fiind mai mică de 4, rădăcina pătrată este mai mică de 2.
Astfel, trecem la cel de-al doilea strat, calculând z² + c cu comanda rapidă (x² - y², 2xy) pentru z² - vezi secțiunea sfaturi pentru a ști cum rezultă acest rezultat - în timp ce încă x = -1,5 și y = 1:
- (-1.5)² - 1² devine 2.25 - 1, rezultând în 1.25
- 2xy, deoarece x = -1,5 și y = 1, devine 2 (-1,5), rezultând în -3.0
- Acest lucru ne dă un z² de (1,25,3)
- Acum, adăugați c la această celulă (adăugați x la x și y la y), rezultând în (-0,25, -2)
Să încercăm dacă valoarea absolută este mai mare decât 2. Calculați x² + y²:
- (-0.25)² = 0,0625
- (-2)² = 4
- 0.0625 + 4 = 4.0625 - rădăcina pătrată este mai mare de 2 și apoi a scăpat după a doua iterație: prima noastră verde!
- Pe măsură ce vă familiarizați cu calculele, uneori veți putea declara cine scapă de setul Mandelbrot doar dacă vă uitați la numere. In acest exemplu, y-componenta are o magnitudine de 2, care poate fi pătrat și adăugate la pătratul celălalt număr fiind mai mare decât 4. Orice număr mai mare de 4 au o rădăcină pătrată mai mare de 2. A se vedea secțiune sfaturi pentru explicații suplimentare.
Cel de-al treilea element, cu o valoare c de (-1, 1), nu va scăpa în primul strat: deoarece ambele 1 și -1, atunci când sunt pătrat, sunt echivalente cu 1, x² + y² este egal cu 2. Astfel, calculăm z² + c utilizând comanda rapidă (x² - y², 2xy) pentru z²:
- (-1)² - 1² devine 1 - 1, care este egal cu 0
- 2xy va fi 2 (-1) = -2
- z² = (0, -2)
- Adăugând c, vom avea (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
Aceasta va fi în continuare aceeași valoare absolută ca înainte (rădăcina pătrată de 2 sau aproximativ 1,41), continuând cu a treia iterație:
- [(-1)² ] - [(1)² ] devine 1 - 1, care este egal cu 0 (din nou)
- Dar acum, 2xy va fi 2 (-1) (-1), care este egal cu 2, aducând o valoare z² de (0, 2)
- Adăugând c, vom avea (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), care are a² + b² de 10, mult mai mare decât 4.
Prin urmare, această valoare va scăpa și ea. Colorați celula cu cea de-a treia culoare, albastră, și mergeți la cea de-a doua, după ce vom termina trei iterații cu acel punct.
- Faptul că folosim doar trei culori relevă o problemă aparent ca ceva pentru a scăpa după trei iterații ar trebui să fie colorate în același mod ca și (0, 0), care niciodată scapă - evident, încă nu vedem niciun "insectă" în Mandelbrot stabilită la acest nivel de detaliu.

Continuă să calculeze fiecare celulă până la evacuare sau până când numărul maxim de iterații (numărul de culori utilizate, sau 3, în acest exemplu), moment în care vei a colora. Și așa va fi o matrice de 9x9 după 3 iterații în fiecare pătrat ... Se pare că am ajuns undeva!

Asigurați iterații în aceeași matrice din nou, cu mai multe culori (iterații), pentru a dezvălui următoarele câteva straturi - sau, chiar mai bine, trage o matrice mult mai mare pentru un proiect pe termen lung! Veți avea imagini mai exacte prin:

Creșterea numărului de celule - imaginea din lateral are 81 de celule pe fiecare parte. Observați asemănarea cu matricea de 9x9 de mai sus, dar cu muchii mult mai moi în formate circulară și ovală.
Creșterea numărului de culori (iterații) - partea de imagine are 256 de gradații în fiecare culorile roșu, verde și albastru în valoare totală de 768, comparativ cu 3 inițiale. Rețineți că acum puteți observa contururile caracteristice ale faimosului "lac" al lui Mandelbrot (sau "insecta, în funcție de punct de vedere"). Dezavantajul este cantitatea de timp necesară pentru a face IT- dacă puteți calcula fiecare iterație în 10 secunde, aceasta va însemna aproximativ 2 ore pe celulă în interiorul sau lângă Lacul Mandelbrot. Deși acest lucru este o parte relativ mică a matricei 81x81, acesta va funcționa în continuare, probabil, nevoie de un an pentru a finaliza-l, chiar dacă lucrezi la ea timp de câteva ore în fiecare zi. Aici se află computerele pe bază de siliciu.

sfaturi

de ce z² = (x² - y², 2xy)?
- Pentru a înmulți două numere complexe, cum ar fi (a, b) cu (c, d), se utilizează următoarea formulă: (A, B) (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
- Rețineți că un număr complex are o parte "reală" și "imaginară", acesta din urmă fiind un număr real înmulțit cu rădăcina pătrată de -1, adesea numit eu. Numărul complex (0, 0), de exemplu, este 0 + 0i și (-1, -1) este (-1) + (-1 x i).
- Cu noi? Vă rugăm să rețineți că termenii și c acestea sunt real, și că termenii b și d acestea sunt imaginar. Astfel, atunci când termenii imaginari se înmulțesc împreună, rădăcina pătrată de -1 înmulțită de ea însăși este egală cu -1 negând rezultatul și făcând-o real- în timp ce numerele anunț și bc ele rămân imaginare, deoarece rădăcina pătrată a lui -1 este încă un termen pentru produsele lor. Prin urmare, avem ac - bd ca parte real și bc + ad ca parte imaginar.
- Acum, deoarece numerele sunt numerotate, în loc să multiplicăm cele două diferite, acest lucru poate fi oarecum simplificat - deoarece a = c și b = d, avem produsul ca (a² - b², 2ab). Și, de vreme ce cartografiem "planul complex" în planul cartezian cu axa x reprezentând "real" și " y, "imaginar", va fi numit (x² - y², 2xy).
Dacă se calculeaza din nou și din nou o celulă, observând un rezultat identic cu cel obținut deja, știi că sunt blocat într-o buclă de infinito- această celulă nu scape! Deci puteți să faceți o scurtătură, să colorați acea celulă și să treceți la următoarea. (0, 0) este evident unul dintre acestea.
Doriți să aflați mai multe despre modul de a judeca valoarea absolută a unui număr complex fără activitatea de calcule?
- Valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a a² + b², la fel ca formula pentru triunghiul drept, deoarece și b sunt reprezentate în unghiuri dreptunghiulare unul față de celălalt în planul cartezian (coordonate x și y, respectiv). Prin urmare, din moment ce știm că setul Mandelbrot este delimitat de vaor 2, și 2 din pătrat este egal cu 4, ne putem opri gândesc la rădăcini pătrate doar pentru a vedea dacă x² + y² > = 4.
- În cazul în care orice cateto unui triunghi dreptunghic are o lungime> = 2, ipotenuzei (diagonala) ar trebui să fie mai mare decât 2. Dacă nu înțeleg de ce, prezintă câteva triunghiuri drepte pe un plan cartezian și va deveni óbvio- sau să se gândească la după cum urmează: 2² = 4 și adăugați un alt număr pozitiv la acea valoare (deoarece ridicarea oricărui număr negativ la pătrat rezultă într-un pozitiv) nu poate rezulta în nimic mai puțin decât 4. Prin urmare, dacă x sau y componenta a unui număr complex are magnitudine de 2 sau mai mare, valoarea absolută a acestui număr este mai mare sau egal cu 2, și au scăpat setul Mandelbrot.
Pentru a calcula "lățimea virtuală" a fiecărei celule, împărțiți "diametrul virtual" în "numărul de celule minus 1". Noi folosim un diametru virtual al 4 în exemplele anterioare, deoarece dorim să afișeze totul în raza de 2 (setul Mandelbrot este definit de valoarea 2). Pentru aproximarea a 3 laturi, este 4 / (3-1), sau 4/2, care are ca rezultat 2. Pentru pătratul de 9 laturi, este vorba despre 4 / (9-1), sau 4/8, fiind egal cu 0.5. Utilizați aceeași dimensiune virtuală a celulei pentru lățime și înălțime, chiar dacă faceți o parte mai mare decât cealaltă - sau setul va fi distorsionat.

Cum de a urmări Setul Mandelbrot de mână

pași

sfaturi

avertismente

Surse și cotatii