Cum se scrie o funcție exponențială, dată de o rată și de o valoare inițială

Funcțiile exponențiale pot modela rata de schimbare a multor situații, inclusiv creșterea populației, dezintegrarea radioactivă, creșterea bacteriilor, interesul compus și multe altele. Urmați acești pași pentru a scrie o ecuație exponențială dacă știți rata la care funcția crește sau cade și valoarea inițială a grupului.

conținut

Pași
Metoda 1utilizând rata ca bază
Metoda 2folosind "și" ca bază
Sfaturi

pași

Metoda 1
Utilizând rata ca bază

Imaginea intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 1

Luați în considerare un exemplu. Să presupunem că un cont bancar are inițial un depozit de 1.000 de dolari, iar rata compusă a dobânzii este de 3% pe an. Găsiți o ecuație exponențială care modelează această funcție.

Imaginea intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 2

Cunoașteți forma de bază. Forma pentru o ecuație exponențială este f (t) = P₀(1 + r)^{t / h} unde P₀ este valoarea inițială, t este variabila de timp, r este rata și h este numărul necesar pentru unitatea de t pentru a se potrivi cu rata.

Imaginea intitulată Scrie o funcție exponențială, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 3

Înlocuiți valoarea inițială pentru P și rata pentru r. Veți găsi f (t) = 1.000 (1.03)^{t / h}.

Imaginea intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 4

Găsiți h. Gândește-te la ecuația ta. În fiecare an cantitatea de bani crește cu 3%, deci la fiecare 12 luni suma de bani crește cu 3%. Deoarece aveți nevoie de t în luni, va trebui să împartă t la 12, deci h = 12. Ecuația lui este f (t) = 1.000 (1.03)^{t / 12}. Dacă unitățile sunt aceleași pentru rata și incrementările lui t, h este întotdeauna 1.

Metoda 2
Folosind "și" ca bază

Imaginea intitulată Scrierea unei funcții exponențiale date la o rată și la o valoare inițială Pasul 5

Înțelege ce înseamnă. Când utilizați valoarea și baza, utilizați "baza naturală". Folosind baza naturală vă permite să găsiți o creștere continuă direct din ecuație.

Imagine intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 6

Luați în considerare următorul exemplu. Să presupunem că un eșantion de 500 grame de izotop de carbon are un timp de înjumătățire de 50 de ani (timpul de înjumătățire este timpul necesar pentru ca materialul să se descompună cu 50%).

Imaginea intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 7

Cunoașteți forma de bază. Forma pentru o ecuație exponențială este f (t) = ae^kt unde a este valoarea inițială și este baza, k este rata de creștere continuă și t este variabila de timp.

Imagine intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 8

Înlocuiți valoarea inițială. Singura valoare de care aveți nevoie în această ecuație este rata inițială de creștere. Apoi, înlocuiți valoarea inițială pentru a găsi f (t) = 500e^kt

Imagine intitulată Scrierea unei funcții exponențiale, dată de o rată și de o valoare inițială Pasul 9

Găsiți rata de creștere continuă. Rata de creștere continuă este cât de repede se schimba graficul la un moment dat. Știți că în 50 de ani eșantionul va scădea cu 250 de grame. Acest lucru poate fi considerat un punct din graficul pe care îl puteți înlocui. Apoi, t este 50. Înlocuiți această valoare pentru a găsi f (50) = 500e^50k. De asemenea, știți că f (50) = 250, apoi înlocuiți 250 pentru f (50) în partea stângă a ecuației pentru a obține ecuația exponențială 250 = 500e^50k. Acum, pentru a rezolva ecuația, mai întâi împărțiți ambele părți cu 500 pentru a obține: 1/2 = e^50k. Apoi luăm logaritmul natural pe ambele părți, obținându-se: ln (1/2) = ln (e^50k. Utilizați proprietățile logaritmilor pentru a scoate exponentul din argumentul logaritmului natural și pentru a îl multiplica prin jurnal. Rezultatul va fi ln (1/2) = 50k (ln (e)). Amintiți-vă că ln este același lucru cu jurnalul_și și că proprietățile logaritmilor spun că dacă baza și argumentul logaritmului sunt egale, valoarea este 1. Prin urmare, ln (e) = 1. Deci, ecuația simplifică ca ln (1/2) = 50k, iar dacă împărțiți cu 50, veți găsi că k = (ln (1/2)) / 50. Utilizați calculatorul pentru a găsi aproximația zecimală a k ca aproximativ -0.01386. Rețineți că această valoare este negativă. Dacă rata de creștere continuă este negativă, aveți o descompunere exponențială, dacă este pozitivă, aveți o creștere exponențială.

Înlocuiți valoarea k. Ecuația ta va fi 500e^-.01386t.

sfaturi

Veți învăța rapid când să utilizați fiecare metodă. În general, problemele sunt mai ușoare utilizând prima metodă, dar există momente când utilizarea bazei naturale va fi cea mai bună pentru calcule ulterioare.
Puteți scrie valoarea k pe calculatorul dvs., astfel încât să puteți calcula valorile acestuia cu o precizie mai bună decât o aproximare zecimală. X este o variabilă ușor și accesibil de utilizat, din moment ce nu trebuie să apăsați „alfa“ să-l folosească, dar dacă doriți să faceți un grafic al ecuației, să fie sigur de a utiliza o variabilă desemnată ca constantă sau va introduce variabile Extras.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit