Cum de a rezolva logaritmii

Logaritmii pot fi intimidanți, dar rezolvarea unui logaritm este mult mai simplă atunci când înțelegeți că sunt doar o singură cale de scriere a ecuațiilor exponențiale. Când rescrieți logaritmul într-un mod mai familiar, ar trebui să îl puteți rezolva pe măsură ce ați rezolva orice ecuație exponențială standard.

conținut

Pași
Înainte de a începe: Învățați să exprimați o ecuație logaritmică exponențială
Metoda 1rezolvați pentru x
Metoda 2rezolvați pentru x utilizarea regulii de produs logaritmic
Metoda 3rezolvați pentru x utilizarea regulii de coeficient logaritmic
Surse și cotatii

pași

Înainte de a începe: Învățați să exprimați o ecuație logaritmică exponențială

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 1

Aflați definiția logaritmului. Înainte de a putea rezolva logaritmele, trebuie să înțelegeți că logaritmul este în esență un alt mod de a scrie o ecuație exponențială. Definiția sa precisă este următoarea:

y = log_b (X)
- Dacă și numai dacă: b^y = x
Rețineți că b este baza logaritmului. De asemenea, ar trebui să fie adevărat că:
- b> 0
- b nu este egal cu 1
În aceeași ecuație, y este exponentul și x este expresia exponențială la care se potrivește logaritmul.

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 2

Uită-te la ecuație. Când privim la ecuația problemei, identificăm baza (b), exponentul (y) și expresia exponențială (x).

exemplu: 5 = log₄(1024)
- b = 4
- y = 5
- x = 1024

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 3

Mutați expresia exponențială pe o parte a ecuației. Puneți valoarea expresiei exponențiale, x, pe o parte a semnului de egalitate.

exemplu: 1024 =?

Imaginea intitulată Rezolvați logaritmii Pasul 4

Aplicați exponentul la bază. Valoarea bazei, b, trebuie să fie înmulțită de ea însăși numărul de ori indicat de exponent, y.

exemplu: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 =?
- Poate fi scris și ca:⁵

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmilor Pasul 5

Rescrieți răspunsul final. Ar trebui să puteți rescrie logaritmul ca expresie exponențială acum. Asigurați-vă că răspunsul dvs. este corect, verificând dacă cele două părți ale ecuației sunt aceleași.

exemplu: 4⁵ = 1024

Metoda 1
Rezolvați pentru X

Imagine intitulată Rezolvarea logaritmilor Pasul 6

Izolați logaritmul. Utilizați operațiile inverse pentru a muta orice parte a ecuației care nu face parte din logaritmul în partea opusă a ecuației.

exemplu: înregistra₃(x + 5) + 6 = 10
- înregistra₃(x + 5) + 6 - 6 = 10-6
- înregistra₃(x + 5) = 4

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 7

Rescrieți ecuația în formă exponențială. Folosind ceea ce știți acum despre relația dintre logaritmi și ecuații exponențiale, rupeți logaritmul și rescrieți ecuația în formă exponențială, mai simplă și mai ușor de rezolvat.

exemplu:înregistra₃(x + 5) = 4
- Comparând această ecuație cu definiția [y = log_b (X)], puteți concluziona că: y = 4 - b = 3 - x = x + 5
- Rescrieți ecuația astfel încât: b^y = x
- 3⁴ = x + 5

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 8

Rezolvați pentru x. Cu problema simplificată într-o ecuație exponențială de bază, ar trebui să puteți rezolva ca orice ecuație exponențială.

exemplu: 3⁴ = x + 5
- 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
- 81 = x + 5
- 81-5 = x + 5-5
- 76 = x

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 9

Scrieți răspunsul final. Răspunsul la care ați venit să rezolvați x este soluția logaritmului original.

exemplu: x = 76

Metoda 2
Rezolvați pentru X Utilizarea regulii de produs logaritmic

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 10

Cunoașteți regula produsului. Prima proprietate a logaritmilor, cunoscută ca "regula de produs", spune că logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor celor doi factori. În forma ecuațiilor:

înregistra_b(m * n) = log_b(m) + log_b(N)
De asemenea, rețineți că următoarele trebuie să fie valabile:
- m> 0
- n> 0

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 11

Izolați logaritmul de o parte a ecuației. Utilizați operațiile inverse pentru a deplasa părțile ecuației până când logaritmele sunt pe o parte și celelalte elemente pe cealaltă parte.

exemplu: înregistra₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
- înregistra₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
- înregistra₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Imagine intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 12

Aplicați regula produselor. Dacă există o sumă de două logaritme în ecuație, puteți utiliza regula de produs pentru a combina cele două în una.

exemplu: înregistra₄(x + 6) + log₄(x) = 2
- înregistra₄[(x + 6) * x] = 2
- înregistra₄(x² + 6x) = 2

Imagine intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 13

Rescrieți ecuația în formă exponențială. Amintiți-vă că un logaritm este doar un alt mod de a scrie o ecuație exponențială. Utilizați definiția logaritmului pentru a rescrie ecuația în cel mai simplu mod de ao rezolva.

exemplu: înregistra₄(x² + 6x) = 2
- Comparând această ecuație cu definiția [y = log_b (X)], puteți concluziona că: y = 2 - b = 4 - x = x² + 6x
- Rescrieți ecuația astfel încât: b^y = x
- 4² = x² + 6x

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 14

Rezolvați pentru x. Acum că ecuația sa transformat într-o ecuație exponențială standard, folosiți-vă cunoștințele de ecuații exponențiale pentru a le rezolva x așa cum ați face în mod normal.

exemplu: 4² = x² + 6x
- 4 * 4 = x² + 6x
- 16 = x² + 6x
- 16 - 16 = x² + 6x - 16
- 0 = x² + 6x - 16
- 0 = (x - 2) * (x + 8)
- x = 2-x = -8

Imaginea intitulată Rezolvați logaritmii Pasul 15

Scrieți răspunsul dvs. În acest moment, trebuie să aveți soluția ecuației. Scrieți-l în spațiul pentru răspunsul dvs.

exemplu: x = 2
Rețineți că nu puteți avea o soluție negativă la un logaritm, astfel încât să puteți arunca x - 8 ca soluție.

Metoda 3
Rezolvați pentru X Utilizarea regulii de coeficient logaritmic

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 16

Cunoașteți regula de coeficient. În conformitate cu a doua proprietate a logaritmilor, cunoscut sub numele de „regula câtul“, logaritmul unui coeficient poate fi rescrisă ca scăderea logaritmul logaritmul numitor numărător. Scrisă ca o ecuație:

înregistra_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
Rețineți, de asemenea, că următoarele trebuie să fie adevărate:
- m> 0
- n> 0

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 17

Izolați logaritmul de o parte a ecuației. Înainte de a putea rezolva logaritmul, trebuie să mutați "log-urile" ecuației pe o parte a semnului egal. Celelalte părți ale ecuației trebuie să meargă pe partea opusă. Utilizați operații inverse pentru a ajunge la asta.

exemplu: înregistra₃(x + 6) = 2 + log₃(X - 2)
- înregistra₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(X - 2)
- înregistra₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 18

Aplicați regula de coeficient. Dacă există două logaritme în ecuație și una dintre ele trebuie să fie scăzută de cealaltă, puteți și ar trebui să utilizați regula de coeficient pentru a combina cele două într-una.

exemplu: înregistra₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
- înregistra₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Imaginea intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 19

Rescrieți ecuația în formă exponențială. Acum, că există doar un singur logaritm în ecuație, utilizați definiția logaritmului pentru a rescrie ecuația exponențial, eliminând astfel "jurnalul".

exemplu: înregistra₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
- Comparând această ecuație cu definiția [y = log_b (X)], puteți concluziona că: y = 2 - b = 3 - x = (x + 6) / (x - 2)
- Rescrieți ecuația astfel încât: b^y = x
- 3² = (x + 6) / (x-2)

Imagine intitulată Rezolvarea logaritmelor Pasul 20

Rezolvați pentru x. Cu ecuația acum în formă exponențială, ar trebui să puteți rezolva x așa cum ați face în mod normal.

exemplu: 3² = (x + 6) / (x-2)
- 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
- 9 = (x + 6) / (x-2)
- (X - 2) = [(x + 2) / (x - 2)] *
- 9x-18 = x + 6
- 9x-x-18 + 18 = x-x + 6 + 18
- 8x = 24
- 8x / 8 = 24/8
- x = 3