Cum să desenezi un Circumferință Apollonius

Circumferința lui Apollonius este un tip de fractal format dintr-un set de cercuri care scad în dimensiune și sunt cuprinse într-un cerc mai mare. Fiecare cerc din circumferința lui Apollonius este tangentă

conținut

Pași
Partea 1Înțelegeți conceptele cheie
Partea 2desenați circumferința lui apollonius

la cercurile adiacente - cu alte cuvinte, cercurile de pe circumferința lui Apollonius se ating de puncte infinit de mici. Numit de matematicianul grec Apollonius din Perga, acest tip de fractal poate fi trase (manual sau computer) la un grad rezonabil de complexitate, creând o imagine frumoasă și interesantă. Urmați pașii de mai jos pentru a afla cum să creați propria circumferință Apollonius.

pași

Partea 1
Înțelegeți conceptele cheie

Dacă doriți doar să desenați circumferința lui Apollonius, nu trebuie să cunoașteți în profunzime principiile matematice care aparțin fractalilor. Cu toate acestea, dacă doriți să înțelegeți mai bine circumferința lui Apollonius, va fi crucial să înțelegeți definițiile diferitelor concepte care vor fi folosite în instrucțiunile din acest ghid.

Imaginea intitulată Crearea unui garnitură Apollonian Pasul 1

Înțelegeți termenii cheie. Următorii termeni vor fi utilizați în instrucțiunile:

Apollonius Circumferință: Unul dintre numeroasele nume pentru un tip de fractal compus dintr-o serie de circumferințe înscrise într-o circumferință mai mare și care sunt tangente la toate circumferințele înconjurătoare.
Raza circumferinței: Distanța care conectează centrul la orice punct din circumferință. În general, îi este atribuită variabila r.
cerc de curbură: Valoare pozitivă sau negativă egală cu inversul razei, sau ± 1 / R. Curbura va fi pozitivă atunci când este curbura exterioară a circumferinței și negativă atunci când este curbura internă.
tangentă: Termen aplicat liniilor, planelor și formelor geometrice care se intersectează într-un punct infinit de mic. În circumferințele lui Apollonius, aceasta se referă la faptul că fiecare circumferință atinge circumferința apropiată de ea într-un singur punct. Rețineți că nu există intersecție - formele care sunt tangente nu se suprapun.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 2

Înțelegeți teorema lui Descartes. Teorema lui Descartes este formula folosită pentru a calcula mărimea cercurilor pe o circumferință Apollonius. Dacă definim curburile (1 / N) ale trei cercuri , b și c respectiv, spunem că curbura cercului (sau a cercurilor) care tangentează aceste trei, pe care le vom numi d, va fi egal cu d = a + b + c + 2 √ (a × b + b × c + c × a).

Pentru scopurile noastre, vom folosi doar rezultatele obținute cu semnul plus în fața rădăcinii pătrate (cu alte cuvinte, ... + 2 √ (...)). Pentru moment, este suficient să știm că forma cu semnul minus are aplicații în alte sarcini conexe.

Partea 2
Desenați circumferința lui Apollonius

Circumferințele lui Apollonius sunt sub formă de aranjamente fractale ale cercurilor tot mai mici. Matematic, circumferințele Apollonios a infinit de complexitate, cu toate acestea, este de desen cu un program de calculator sau cu instrumente tradiționale, în cele din urmă să ajungeți la un punct în cazul în care este imposibil de a desena cercuri mai mici. Cu cât acuratețea cercurilor este mai mare, cu atât numărul mai mare de cercuri se va potrivi în circumferința dvs. Apollonius.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 3

Pregătiți instrumentele de desenare digitale sau analogice. În etapele de mai jos, vom construi o simplă circumferință Apollonius. Va fi posibil să o desenați manual sau folosind unelte de calculator. În ambele cazuri, va trebui să desenați cercuri perfecte. Acest lucru este foarte important. Deoarece toate cercurile dintr-o circumferință Apollonius sunt perfect tangente la cercurile din jurul lor, cercurile cu o formă minimă neregulată pot strica rezultatul final.

Pentru a atrage computerul, veți avea nevoie de un program care să vă permită să desenați cercuri din valoarea razei. GFIG, o extensie pentru a desena fractali din editorul de imagini liber GIMP, pot fi folosite, precum și o varietate de alte programe de desen. Veți avea probabil nevoie, de asemenea, de o aplicație pentru calcule și de un editor de text (sau un notebook fizic) pentru a nota valorile curburilor și razei.
Pentru a trage cu mâna, veți avea nevoie de un calculator (științific sau grafic), un creion, o busolă, o riglă (de preferință milimetri), o hârtie de grafic și un notebook pentru a lua notițe.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 4

Începeți prin a desena un cerc mare. Ar trebui să începi prin a desena un cerc mare rotund. Cu cât cercul, cu atât mai mare complexitatea circumferinței Apollonios, astfel încât să încerce să facă un cerc mare ca o foaie de hârtie permis sau la fel de mare ca ecran de program de desen.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 5

Desenați un cerc mai mic în interiorul cercului original și acesta este tangent la el într-un punct. Pasul următor este desenarea unui alt cerc în interiorul primului, care este mai mic decât originalul, dar cu o dimensiune mare. Dimensiunea exactă a celui de-al doilea cerc este la alegerea dvs. - nu există o dimensiune corectă. Cu toate acestea, pentru scopul nostru, vom trage un al doilea cerc care se află în mijlocul cercului mai mare - cu alte cuvinte, vom atrage al doilea cerc astfel încât centrul său să fie în mijlocul razei cercului mai mare.

Amintiți-vă că, pe circumferința lui Apollonius, toate cercurile trebuie să fie tangente una cu cealaltă. Dacă se utilizează o busolă pentru a desena cercuri de mână, plasați punctul acul busolei la punctul median al razei cercului mai mare și reglați vârful cu grafit, astfel încât atinge doar linia de cerc mai mare și numai apoi trage cercul interior mai mic .

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 6

Desenați un cerc identic pe partea opusă pasului anterior. Acum, să trasăm un cerc lângă primul cerc mai mic. Acest cerc nou ar trebui să fie tangentă atât cercul mai mare ca cercul interior mai mic, ceea ce înseamnă că cele două cercuri interioare sunt de așteptat să joace în centrul cercului mai mare, adică, la punctul de mijloc diametrul său.

Imaginea intitulată Creați o garnitură Apollonian Pasul 7

Aplicați teorema Descartes pentru a calcula mărimea cercurilor următoare. Să oprim desenul pentru o clipă. Acum, că avem trei cercuri pe circumferința lui Apollonius, putem folosi teorema lui Descartes pentru a determina raza cercului următor pe care îl vom desena. Amintiți-vă că formula teoremei lui Descartes este d = a + b + c + 2 √ (a × b + b × c + c × a), unde variabilele , b și c reprezintă curburile celor trei cercuri tangente și d reprezintă curbura cercului tangent la celelalte trei. Prin urmare, pentru a ajunge la valoarea razei cercului următor, vom găsi mai întâi curbura fiecăruia dintre cercurile întocmite până acum pentru a găsi curbura cercului următor și pentru a converti în final această valoare la raza sa.

Să considerăm că raza cercului mai mare este egală cu 1. După cum celelalte cercuri se află în interiorul ei, vom calcula curbura intern (și nu curbura exterioară) și, prin urmare, știm că valoarea curburii sale va fi negativă. - 1 / R = -1 / 1 = -1. Curbura cercului mai mare este egală cu -1.
Raza celor două cercuri interioare mai mici este egală cu jumătate din raza cercului mai mare sau, cu alte cuvinte, 1/2. Pe măsură ce aceste cercuri se vor atinge reciproc și cercul mai mare, vom calcula curbura extern, prin urmare, valoarea curburii va fi pozitivă. 1 / (1/2) = 2. Curbura celor două cercuri mai mici este egală cu 2.
Acum știm asta = -1, b = 2 și c = 2. Înlocuind aceste valori în teorema Descartes, vom avea:
- d = a + b + c + 2 √ (a × b + b × c + c × a)
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1)
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-2 + 4 + -2)
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
- d = 3. Curbura cercului următor este egală cu 3. Ca 3 = 1 / r, se măsoară raza cercului următor 1/3.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 8

Desenați următorul set de cercuri. Utilizați valoarea razei determinată în etapa anterioară pentru a desena următoarele două cercuri. Amintiți-vă că ar trebui să încurce cercurile de curbură , b și c folosit în teorema lui Descartes. Cu alte cuvinte, ele ar trebui să fie tangente la cercul mai mare și cele două cercuri interioare. Pentru ca aceste două cercuri noi să atingă toate celelalte cercuri, trebuie să le atrageți în spațiile goale aflate în partea de sus și de jos a cercului mai mare.

Nu uitați că raza acestor cercuri ar trebui să fie egală cu 1/3. Măsurați 1/3 de la linia cercului mai mare și trageți apoi cercul nou. Ar trebui să fie tangentă celor trei cercuri din jurul tău.

Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 9

Continuați să aplicați această metodă pentru a desena cercurile noi. Deoarece sunt fractali, circumferințele lui Apollonius au o complexitate infinită. Aceasta înseamnă că puteți adăuga cercuri mai mici și mai mici oriunde doriți. Veți fi limitat doar la exactitatea instrumentelor dvs. (sau, dacă utilizați computerul, capacitatea programului dvs. de desenat de a lucra cu zoom a crescut). Fiecare cerc, indiferent cât de mic, ar trebui să fie tangent la celelalte trei. Pentru a desena următorul cerc circumferința Apollonios, înlocuiți valorile curburilor celor trei cercuri ca noul tangenciará în teorema lui Descartes. Apoi folosiți rezultatul (care va fi valoarea razei cercului următor) pentru a desena cu certitudine cercul nou.

Rețineți că cercul de Apollonios vom alege design-ul este simetric, astfel încât raza unui cerc este egală cu cercul corespunzător pe partea opusă. Totuși, este important de notat că nu orice circumferință a lui Apollonius va fi simetrică.
Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că, după desen ultimul set de cercuri, să atragă tangenta cercuri la al treilea set, al doilea set și cel mai mare cerc exterior. Curburile acestor cercuri sunt, respectiv, 3, 2 și -1. Înlocuind aceste valori în teorema lui Descartes, adică, = -1, b = 2 și c = 3, vom avea:
- d = a + b + c + 2 √ (a × b + b × c + c × a)
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1)
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-2 + 6 + -3)
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (1)
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
- d = 2, 6. Obținem două rezultate. Cu toate acestea, deoarece știm că noul cerc va fi mai mic decât cercurile care îl încurcă, doar curbura valorii 6 (și, prin urmare, raza de măsurare 1/6) va fi valid.
- Răspunsul nostru celuilalt, 2, se referă la cercul imaginar din cealaltă parte a punctului de tangență al celui de-al doilea și al treilea set de cercuri. Acest cerc imaginar este tangentă la aceste alte cercuri și cercul exterior mai mare, dar se intersectează, de asemenea, cercurile deja proiectate, așa că ar trebui să-l ignore.

Imaginea intitulată Creați o garnitură Apollonian Pasul 10

Încercați să desenați o circumferință asimetrică Apollonius schimbând mărimea celui de-al doilea cerc. Toate circumferințele lui Apollonius încep în același fel: un cerc exterior mai mare, care funcționează ca marginea fractalului. Cu toate acestea, măsura razei celui de-al doilea cerc nu în mod obligatoriu fi 1/2 din raza celei mai mari - am ales această valoare doar pentru că este simplu și ușor de înțeles. Acum, că știți elementele de bază, încercați să creați un cerc de Apollonios în cazul în care al doilea tur are o dimensiune te va-diferite lua pentru a explora alte modalități interesante și amuzante ale geometriei.

După ce ați terminat de desen al doilea tur (indiferent de mărimea acesteia), pasul următor ar trebui să fie să atragă unul sau mai multe cercuri care sunt tangente la ea și externo- cerc cu toate acestea, nu există nici o modalitate de dreptul de a face acest lucru. Apoi puteți folosi teorema lui Descartes pentru a determina valoarea razelor următoarelor cercuri (după cum se arată mai sus).

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit