Cum se divide logaritmii

Logaritmi par complicate, ci ca exponenții și polinoame, să învețe doar tehnicile corecte pentru a le stăpâni. Trebuie să înveți unele proprietăți de bază, cum ar fi diviziunea logaritmi a bazei de date sau extinderea logaritmilor care conțin un coeficient.

conținut

Pași
Metoda 1divizarea manuală a logaritmilor
Metoda 2manipularea logaritmului unui coeficient

pași

Metoda 1
Divizarea manuală a logaritmilor

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 1

Căutați numere și numere negative "1". Această metodă va aborda probleme în

{ log b {(x)} { log b {a}}}

înregistra⁡(-3){ displaystyle log (-3)}sau

{ displaystyle log4 (-5)}

). Răspundeți "fără soluție".

Logaritmul de zero este de asemenea nedeterminat pentru toate bazele. Când vedeți un termen cum ar fi

{ displaystyle ln (0)}

Logaritmul lui 1 pe orice bază (

{ displaystyle log (1)}

) va fi întotdeauna zero, deoarece

{ displaystyle x ^ {0} = 1}

pentru toate sunt valori ale x. Înlocuiți logaritmul cu 1 în loc de a folosi metoda de mai jos.

Dacă două logaritme au baze diferite, cum ar fi

{ afișare {log3 {x}} {log4} (a)}}}

Imagine intitulată Divide Logarithms Step 2

Conversia expresiei la un singur logaritm. Dacă nu ați îndeplinit una dintre excepțiile de mai sus, simplificați expresia într-un singur logaritm. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

{ log {b} (x)} { log b (a)}} = log a {x}}

înregistra16înregistra2{ log {2} { log {2}}înregistra16înregistra2=înregistra2⁡(16){ log {2}} = log2 {16}} { log {16}}

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 3

Calculați manual dacă este posibil. Amintiți-vă, pentru a rezolva

{ displaystyle log a (x)}

?=x{ displaystyle a? = x}"care este," care exponent ar trebui să ridice pentru a obține x?"Nu este întotdeauna posibil să efectuați acest calcul fără un calculator, dar cu puțin noroc, este posibil să simplificați logaritmul.

Exemplul 1 (continuare): rescrieți ${ displaystyle log2 (16)}$ ca ${ displaystyle 2? = 16}$ ${ displaystyle 2 2 = 2 * 2 = 4}$
${ displaystyle 2 3 = 4 * 2 = 8}$
${ afișare stil 2 4 = 8 * 2 = 16}$
16 este ceea ce căutăm atunci ${ displaystyle log2 (16)}$ = 4.

Imagine intitulată Divide logaritms Pasul 4

Lăsați răspunsul în formă logaritmică dacă nu îl puteți simplifica. Unele logaritmi sunt foarte dificil de soluționat manual, în astfel de cazuri, aveți nevoie de un calculator pentru a obține o valoare exactă, care pot fi utilizate în practică. Dacă rezolvați întrebări în clasa matematică, profesorul vă va permite probabil să lăsați răspunsul în formă logaritmică. Iată un exemplu mai complex de aplicare a acestei metode:

Exemplul 2: Când merită ${ log3 {58}} { log3 {7}$ înregistra3⁡(58)înregistra3⁡(7)=înregistra7⁡(58){ log3} (58) { log3 (7)} = log7 (58)}(vezi că ₃ din fiecare jurnal inițial a dispărut, acest lucru se aplică oricăror baze).
Rescrie expresia ca ${ displaystyle 7? = 58}$ și verificați valorile posibile pentru "?" ":
${ displaystyle 7 2 = 7 * 7 = 49}$
${ displaystyle 7 3 = 49 * 7 = 343}$
Deoarece numărul 58 se află între aceste două numere, ${ displaystyle log7 (58)}$ nu are o soluție întreagă.
Lăsați răspunsul în formular ${ displaystyle log7 (58)}$
Metoda 2
Manipularea logaritmului unui coeficient
1
Să începem cu un exemplu care aduce o divizare în logaritm. Această secțiune vă va ajuta să rezolvați problemele cu expresiile din formular ${ displaystyle log a ({ frac {x} {y}}}}$ înregistra3⁡(276n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log3 ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log3 (6)}“.

Imaginea intitulată Divide logaritmii Pasul 6

Urmăriți numerele negative. Logaritul unui număr negativ este nedefinit. Dacă x sau y sunt numere negative, verificați pentru o soluție la problemă înainte de a continua:

Dacă x sau y sunt negative, nu există nici o soluție la problemă.
dacă cele două sunt negative, eliminați semnele negative utilizând proprietatea ${ display {x} {y}}$
Nu există logaritme de numere negative în exemplul nostru, deci putem trece la pasul următor.

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 7

Extindeți coeficientul în două logaritme. O proprietate foarte utilă a logaritmilor este descrisă de formula

{ Displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = {a} _ log (x) - _} pentru {log (y)}

înregistra3⁡(276n)=înregistra3⁡(27)-înregistra3⁡(6n){ Displaystyle log _ {3} ({ frac {27}}} {6n) = _ log {3} (27) - _ {3} log (6n)}

Acum, efectuați următoarea substituție în ecuația inițială:

{ displaystyle log3 ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log3 (6)}

→

{ displaystyle log3 (27) - log3 (6n) = - 6 log3 (6)}

Imagine intitulată Divide logaritms Pasul 8

Dacă este posibil, simplificați logaritmii. Dacă oricare dintre logaritmele expresiei au o soluție integeră, simplificați-o acum.

Problema de exemplu are un nou termen: ${ displaystyle log3 (27)}$ 3 = 27, simplificați ${ displaystyle log3 (27)}$ la 3.
Ecuația completă este acum:
${ displaystyle 3- log3 (6n) = -6-log3 (6)}$

Imagine intitulată Divide logaritms Pasul 9

Izolați variabila. Ca și în cazul unei probleme de algebră, idealul este de a izola variabila pe o parte a ecuației. Combinați termenii ori de câte ori este posibil pentru a simplifica exprimarea.

3-înregistra3⁡(6n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle 3- log3 (6n) = -6-log3 (6)}
9-înregistra3⁡(6n)=-înregistra3⁡(6){ displaystyle 9- log3 (6n) = - log3 (6)}
înregistra3⁡(6n)=9+înregistra3⁡(6){ displaystyle log3 (6n) = 9 + log3 (6)}
6
Utilizați alte proprietăți ale logaritmilor atunci când este necesar. Pentru a izola variabila atunci când există alți termeni în cadrul aceluiași logaritm, rescrie termenul folosind alte proprietăți.
În exemplu, n încă prins în termen ${ displaystyle log3 (6n)}$ înregistra⁡(bc)=înregistra⁡(b)+înregistra(c){ displaystyle log a (bc) = log un (b) + log {a} (c)}
${ displaystyle log3 (6n) = log3 (6) + log3 (n)}$
Faceți substituția în ecuația inițială:
${ displaystyle log3 (6n) = 9 + log3 (6)}$
${ displaystyle log3 (6) + log3 (n) = 9 + log3 (6)}$
7
Continuați simplificarea până găsiți soluția. Repetați aceleași tehnici algebrice și logaritmice pentru a rezolva problema. Dacă nu există o soluție reală, utilizați un calculator și faceți o rotunjire la cel mai apropiat număr.
- ${ displaystyle log3 (6) + log3 (n) = 9 + log3 (6)}$
  ${ displaystyle log3 (n) = 9}$
  De la 3⁹ = 19683, n = 19683