Cum să descoperiți zona Triunghiului Isoscel

Triunghiul isoscel are două laturi egale, care se află întotdeauna la același unghi cu baza (partea a treia) și direct deasupra mijlocului. Pentru a determina dacă un obiect de tip este același

conținut

Pași
Metoda 1determinarea zonei de la lungimea laturilor
Metoda 2utilizarea proprietăților trigonometrice
Sfaturi
Surse și cotatii

isoscele, folosiți doar o riglă și două creioane de aceeași lungime: dacă încercați să înclinați forma geometrică în orice direcție, vârfurile graffiti-ului nu vor muri. Din cauza acestor proprietăți speciale, este posibil să se calculeze suprafața unui triunghi isoscel din unele informații de bază.

pași

Metoda 1
Determinarea zonei de la lungimea laturilor

Imaginea intitulată Găsiți zona unui triunghi isosceles Pasul 1

Gândiți-vă la zona paralelogramului. Orice obiect care are două perechi de laturi paralele și un total de patru laturi - cum ar fi pătrate și dreptunghiuri - sunt paralele. Toate formele de tip au aceeasi formula simpla: inaltime de baza sau A = b * h. Dacă obiectul este așezat pe o suprafață orizontală, baza corespunde cu lungimea laturii pe care se sprijină. Înălțimea, la rândul său, este distanța de la bază până în vârf, care se îndepărtează de suprafața însăși. Măsurați întotdeauna această valoare la un unghi drept (90 °) față de bază.

În pătrate și dreptunghiuri, înălțimea este egală cu lungimea uneia dintre laturile verticale, deoarece acestea sunt în unghi drept față de bază.

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 2

Comparați triunghiul cu paralelajul. Relația dintre aceste două forme este simplă: dacă se taie în diagonală în mijloc, orice paralelogram dă naștere la două triunghiuri egale. Opusul este, de asemenea, valabil: atunci când există două triunghiuri identice, se poate uni cu ele pentru a forma o paralelogramă. În acest sens, formula de zonă a oricărui triunghi este A = b * h / 2 - exact jumătate din mărimea unui paralelogram corespunzător.

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 3

Determinați valoarea de bază a triunghiului isoscel. Cu formula în mână, este timpul să ne gândim: ce înseamnă exact "baza" și "înălțimea" în raport cu triunghiul? Baza este ușor, deoarece corespunde unei singure părți a diferitelor măsuri ale formei.

De exemplu: într-un triunghi isoscel de laturi care măsoară 5, 5 și 6 cm, baza este partea de 6.
Dacă triunghiul are părți egale (echilaterale), oricare dintre ele poate fi baza. Triunghiurile trilaterale sunt un tip special de isoscele, însă se poate folosi aceeași formulă în zonă.

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 4

Desenați o linie între baza și vârful opus (unghiul drept). Acesta va determina înălțimea obiectului - marcați-o cu litera h. După calcularea valorii h, veți putea determina zona.

În triunghiul isoscel, această linie este întotdeauna în mijlocul exact al bazei.

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 5

Examinați una din jumătățile triunghiului isoscel. Observați că linia de înălțime împarte obiectul în două dreptunghiuri identice. Identificați cele trei laturi ale unuia dintre ele:

Una dintre laturile mai mici este jumătate din baza: ${ displaystyle { frac {b} {2}}}$
6

Montați teorema lui Pitagora. Ori de câte ori aveți valoarea bidirecțională a unui triunghi drept, puteți utiliza teorema pentru a determina a treia: (Hue / Side 1)² + (piciorul / partea 2)² = (hypotenuse)². Punând variabilele acestei probleme în locurile lor, contul arată astfel: ${ displaystyle ({b} {2}} 2 + h 2 = s 2}$ 2+b2=c2{ displaystyle a2 + b2 = c2}

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 7

Determinați valoarea h. Amintiți-vă că se folosește formulele din zonă b și h, dar tot nu ai valoare h. Transformați-l pentru a găsi soluția:

(b2)2+h2=s2{ displaystyle ({b} {2}} 2 + h 2 = s 2}
h2=s2-(b2)2{ displaystyle h 2 = s 2 - ({b} {2}} 2}
h=(s2-(b2)2){ displaystyle h = { sqrt {(}} s 2 - ({b} {2}} 2}}}
8
Asamblați ecuația cu valorile triunghiului pentru a determina h. Acum că știți ce formulă să utilizați, o puteți aplica oricărui triunghi isoscel, ale cărui laturi deja știți. Pur și simplu puneți valoarea bazei în loc de b și o parte este egală în s.
De exemplu, dacă aveți un triunghi isoscel cu laturi de 5, 5 și 6 cm, procedați în felul următor: b = 6 și s = 5.
Înlocuiți-le în formula:
${ displaystyle h = { sqrt {(}} s 2 - ({b} {2}} 2}}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(2) - {{2} {2}}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(25.32)}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(}} 25-9}}$
${ displaystyle h = { sqrt {16}}$
${ displaystyle h = 4}$ cm.
9
Asamblați ecuația zonei cu valorile de bază și înălțime. Acum, aveți datele necesare pentru a utiliza formula prezentată la începutul acestei secțiuni: zona = b * h / 2. Pune BEH valori în ea pentru a găsi răspunsul, care ar trebui să fie în unități de metri pătrați (centimetri pătrați, etc. ).
- Tot în exemplul triunghiului de 5, 5 și 6 cm, baza ar avea 6 cm și înălțimea ar fi 4.
- A = b * h / 2
  A = (6 cm) * (4 cm) / 2
  A = 12 cm².
10
Încercați să determinați zona unui exemplu mai dificil. Majoritatea problemelor care implică triunghiuri isosceles sunt mai complicate decât exemplul de mai sus. Înălțimea este de obicei raportată în rădăcină pătrată și, prin urmare, nu poate fi simplificată la un număr întreg. În acest caz, încercați cel puțin simplificați rădăcina însăși. a se vedea:
- Care este zona unui triunghi ale cărui laturi măsoară 8, 8 și 4 centimetri?
- Utilizați o parte diferită de măsurare, de 4 cm, ca bază (b).
- înălțime ${ displaystyle h = { sqrt {8 2 - ({4} {2}} 2}}}$
  ${ displaystyle = { sqrt {64-4}}}$
  ${ displaystyle = { sqrt {60}}}$
- Factor rădăcină pătrată pentru ao simplifica: ${ Displaystyle = {h sqrt {60}} = { * sqrt {4} = {15} sqrt {4}} { sqrt {15} = 2 {} sqrt {15}}.}$
- zonă ${ displaystyle = { frac {1} {2}} bh}$
  ${ displaystyle = { frac {1} {2}} {4} (2 { sqrt {15}}}}$
  ${ displaystyle = 4 { sqrt {15}}}$
- Lăsați răspunsul ca acesta sau introduceți-l într-un calculator pentru a găsi o valoare zecimală aproximativă (aproximativ 15,49 centimetri pătrați).

Metoda 2
Utilizarea proprietăților trigonometrice

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 11

Începeți cu o parte și un unghi. Dacă înțelegeți trigonometrie, puteți determina zona triunghiului isoscel, chiar dacă nu are valoarea laturilor. Vedeți exemplul de mai jos:

Cele două părți egale au lungimea (s) de 10 centimetri.
Unghiul θ între cele două laturi egale este de 120 °.

Imagine intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 12

Împărțiți triunghiul izoscel în două dreptunghiuri triunghiulare. Desenați o linie de la vârful dintre laturi egală cu baza unghiului drept pentru a genera două forme din aceeași zonă.

Această linie divide θ în mijloc. Fiecare jumătate are un unghi θ / 2 - în acest caz, 120/2 = 60 °.

Imagine intitulată Găsirea zonei unui triunghi isosceles Pasul 13

Utilizați proprietățile trigonometrice pentru a determina valoarea lui h. Acum, că aveți un triunghi dreptunghi, puteți utiliza funcțiile trigonometrice sinusoidale, cosinuse și tangente. În exemplul respectiv, avem hypotenuse și vrem să găsim valoarea lui h, partea adiacentă unghiului a cărui lungime deja știm. Utilizați faptul că cosinus = unghiul / hypotenuse adiacente pentru a găsi răspunsul:

Cos (θ / 2) = h / s
Cos (60 °) = h / 10
H = 10 ° C (60 °)

Imaginea intitulată Găsiți zona unui triunghi Isosceles Pasul 14

Aflați valoarea părții rămase. Există încă o valoare care trebuie determinată, care poate fi numită x. Soluiți-l folosind definiția sine = unghiul opus / ipoteza:

Sen (θ / 2) = x / s
Sen (60 °) = x / 10
X = 10 sec (60 °)

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 15

Găsiți relația dintre x și baza triunghiului isoscel. Acum puteți analiza întreaga imagine. Baza sa totală, b, este egal cu 2x, deoarece a fost împărțită în două segmente, fiecare fiind în valoare x.

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 16

Luați valorile b și h la formula de bază a zonei. Acum că aveți baza și înălțimea, puteți folosi A = b * h / 2.

A = b * h / 2
= (2x) * (10 ° C60 °) / 2
= (10 ° -60 °) * (10 ° -60 °)
= 100 (60 °) cos (60 °)
Dacă preferați, treceți valorile la un calculator (în grade) pentru a obține răspunsul de 43,3 centimetri pătrați sau pentru a utiliza proprietățile trigonometrice pentru a simplifica expresia pentru A = 50 s (120 °).

Imaginea intitulată Găsiți zona unei triunghiuri Isosceles Pasul 17

Faceți formula universală. Acum că știți cum să rezolvați problema, puteți utiliza formula generală fără a trece prin întregul proces cu fiecare exercițiu. Dacă urmați acești pași fără a utiliza valori specifice (și simplificați totul folosind proprietăți trigonometrice), veți obține următorul rezultat:

A = s² * sen
S este lungimea uneia dintre cele două laturi egale.
θ este unghiul dintre cele două părți egale.

sfaturi

Este mai ușor să determinați aria unui triunghi dreptunghiular (două laturi egale și un unghi de 90 °). Puteți utiliza una dintre laturile mai mici ca bază și cealaltă ca înălțimea. Acum formula A = b * h / 2 va fi simplificată ca s² / 2, unde s este lungimea uneia dintre laturile mai mici.
Radacinile pătrată au două soluții, una pozitivă și una negativă. În geometrie, se poate ignora rădăcina negativă, deoarece nu există nici un triunghi cu "înălțime negativă", de exemplu.
Unele probleme de trigonometrie pot da alte informații în declarație, cum ar fi lungimea bazei și un unghi (și faptul că triunghiul este isoscele). Strategia de bază este aceeași: împărțiți triunghiul isoscel în două dreptunghiuri și determinați înălțimea folosind funcțiile trigonometrice.