Cum să găsiți ecuația unei linii tangente la curbă

Spre deosebire de linia dreaptă, panta unei curbe se schimbă constant în timp ce se mișcă de-a lungul graficului. Calculul prezintă elevilor conceptul că fiecare punct din acest grafic poate fi descris ca o pantă sau o "rată de schimbare instantanee". Linia tangentă este o linie dreaptă în raport cu panta respectivă, care trece prin același punct din grafic. Pentru a afla ce este ecuația tangentă, trebuie să știți cum să extrageți derivatul ecuației originale.

conținut

Pași
Metoda 1găsirea ecuației unei tangente
Metoda 2rezolvarea problemelor legate de probleme
Sfaturi

pași

Metoda 1
Găsirea ecuației unei tangente

Imaginea intitulată Găsiți ecuația unei linii tangente Pasul 1

Schițați funcția și tangenta (recomandată). Graficul vă ajută să urmăriți problema și să vedeți dacă răspunsul are sens. Schițați funcția pe o bucată de hârtie de grafic, utilizând un calculator de grafic, dacă este necesar. Desenați tangenta care trece prin punctul dat (amintiți-vă că trece prin acest punct și are aceeași panta a graficului în acel loc).

Exemplul 1: Schițați Diagrama parabolică f(x)=0,5x2+3x-1{ afișarestyle f (x) = 0.5x2 + 3x-1}
2
Obțineți derivatul de ordinul întâi pentru a găsi ecuația lui pantă a tangentei. Pentru funcția f (x), primul derivat f `(x) reprezintă ecuația de panta a tangentei în orice punct al f (x). Există multe moduri de a pentru a deriva. Iată un exemplu simplu care folosește regula de putere:
- Exemplul 1 (cont): graficul este descris de funcție f(x)=0,5x2+3x-1{ afișarestyle f (x) = 0.5x2 + 3x-1}
  Amintiți-vă de regula puterilor atunci când faceți derivate: ${ displaystyle { frac {d} {dx}} x n = nx n-1}$
  3
  
  Introduceți valoarea x a punctului de investigat. Citiți problema pentru a găsi coordonatele punctului al cărui tangent doriți să îl aflați. Introduceți coordonatele x ale acestui punct în f `(x). Rezultatul va fi panta tangentei la acel moment.
  Exemplul 1 (cont): punctul menționat în această problemă este (-6, -1). Utilizați coordonatele x = -6 ca valoare variabilă independentă la f `(x):
  f `(- 6) = -6 + 3 = -3
  Panta tangentei este egală cu -3.
- 4
  Scrieți ecuația tangentei în forma fundamentală. Forma fundamentală a unei ecuații liniare este reprezentată de ${ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}$ m reprezintă panta (coeficientul unghiular al liniei) și ${ displaystyle (x1, y1)}$ reprezintă un punct pe linie. Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a scrie ecuația tangentă în această formă.
  Exemplul 1 (cont): ${ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}$
  Coeficientul unghiular al liniei este egal cu -3 și, prin urmare, ${ afișarestyle y-y1 = -3 (x-x1)}$ y-(-1)=-3(x-(-6)){ displaystyle și - (- 1) = - 3 (x - (- 6))}y+1=-3x-18{ displaystyle și + 1 = -3x-18}
  ${ displaystyle y = -3x-19}$
  
  5
  Confirmați ecuația din grafic. Dacă aveți un calculator de grafică, montați funcția originală și tangenta pentru a verifica dacă rezultatul este corect. Dacă lucrați la hârtie, reveniți la graficul anterior pentru a vă asigura că nu există erori în răspuns.
  Exemplul 1 (cont): schița inițială a arătat că panta tangentei a fost negativă, iar interceptul y a fost cu mult sub -5,5. Ecuația tangentă pe care o găsim este reprezentată de y = -3x - 19 în forma fundamentală, indicând faptul că -3 reprezintă panta și -19, interceptul y. Ambele atribute sunt aceleași ca și predicțiile inițiale.
  6
  Încercați să rezolvați o problemă mai dificilă. Iată o continuare a întregului proces din nou. Acum, scopul este de a găsi tangenta lui ${ schema f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 1}$ în x = 2:
  Cu regula de putere, primul derivat va fi egal cu ${ displaystyle f `(x) = 3x2 + 4x + 5}$ f`(2)=3(2)2+4(2)+5=25(2) = 3 (2) 2 + 4 (2) + 5 = 25)f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27(2) = 2 3 + 2 (2) 2 + 5 (2) + 1 = 27)y-y1=m(x-x1){ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}
  ${ displaystyle y-27 = 25 (x-2)}$
  Dacă este necesar, simplificați-l la y = 25x - 23.
Metoda 2
Rezolvarea problemelor legate de probleme
1
Găsiți punctele extreme ale unei diagrame. Acestea sunt punctele în care graficul atinge un maxim local (punct mai mare decât punctele de pe ambele părți) sau un minim local (mai mic decât toate punctele de pe ambele părți). Tangenta va avea întotdeauna o pantă egală cu 0 în aceste puncte (linia orizontală), ceea ce nu indică neapărat un punct extrem. Aflați cum să le găsiți aici:
Găsiți prima derivată a funcției pentru a obține f `(x), ecuația pentru panta tangentei.
Rezolvați f `(x) = 0 pentru a găsi posibil puncte finale.
Luați al doilea derivat pentru a obține f `` (x), ecuația care vă spune cât de repede se schimbă panta tangentei.
Pentru fiecare punct posibil, introduceți coordonatele x = în f "(a). Dacă valoarea f `` (a) este pozitivă, există un minim local în . Dacă valoarea f `` (a) este negativă, este un maxim local. Dacă valoarea lui f `` (a) este egală cu 0, există un punct de inflexiune și nu un punct final.
Dacă există un maxim sau un minim în , găsiți valoarea lui f `` (a) pentru a găsi coordonatul y.
2
Gaseste ecuatia normala. „Normal“ al unei pante la un anumit punct trece prin acest punct, dar are o pantă perpendicular pe o tangentă. Pentru a găsi ecuația normală, să profite de faptul că produsul (panta tangentei). (Panta normal) = -1, atunci când ambele trec prin același punct de pe grafic. Cu alte cuvinte:
- Găsiți f `(x), panta tangentei.
- Dacă punctul este la x = , găsiți f `(a) pentru a găsi panta tangentei în acea locație.
- calcula ${ displaystyle { frac {-1} {f `(a)}}}$ pentru a găsi panta normală.
- Scrieți ecuația normală în forma fundamentală.