Cum se calculează cotele de date multiple

Mulți oameni cred că dacă rotiți trei zaruri din șase părți, șansele de a lua mai mult de trei până la zece sunt aceleași. Cu toate acestea, acest lucru nu este cazul și acest articol vă va arăta cum să calculați deviația medie și standard a unui set de date.

conținut

Pași
Metoda 1enumerare
Metoda 2recursivitate
Metoda 3generarea funcțiilor
Metoda 4abordare continuă
Avertismente
Surse și citate

Aflați terminologia mecanicii datelor. Datele au în general șase fețe, dar sunt, de asemenea, frecvent întâlnite în formă d2 (monede) d4 (piramida cu 3 laturi), d8 (octaedru), d10 (decahedron), D12 (poliedru) și d20 (isocaedro). O listă de date urmează formatul (numărul de date) (numele identificatorului de date), astfel încât 2d6 ar fi o listă de două date cu șase fețe. În acest articol, unele formule vor presupune acest lucru n = numărul de date identice și r = numărul de laturi pe fiecare matriță, numerotate de la 1 la r, fiind k valoarea combinației. Există mai multe metode pentru a calcula probabilitatea fiecărei sume.

pași

Metoda 1
enumerare

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 1

Rețineți numărul de date, laturile și suma dorită.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 2

Afișează toate modurile în care suma poate fi atinsă. Acest lucru poate fi obositor atunci când există un număr mare de date, dar este destul de simplu. Acesta este echivalentul căutării tuturor partițiilor lui k, în exact n părți, cu nici unul mai mare decât r. Un exemplu pentru n = 5, r = 6 și k = 12 este prezentat ca ghid. Pentru a se asigura că numărătoarea este exhaustivă și că nu se înregistrează nimic de două ori, partițiile sunt prezentate în ordine lexicografică și datele din fiecare partiție în ordine crescătoare.

Nu toate partițiile listate în pasul anterior sunt la fel de probabile. Acesta este motivul pentru care ar trebui să fie enumerate, nu doar numărate. Într-un exemplu cu date se confruntă cu 3, posibilitățile partição123 capacului 6 (123, 132, 213, 231, 312, 321) ca o a treia partiție 114 numai capace (114, 141, 411) și 222 include numai în sine. Utilizați formula multinomială pentru a calcula numărul de modalități de schimbare a cifrelor pe fiecare partiție. Aceste informații au fost adăugate în tabelul din secțiunea anterioară.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 4

Adăugați numărul total de modalități de obținere a sumei pe care o doriți.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 5

Împărțiți după numărul total de rezultate. Deoarece fiecare date are r fețe la fel de probabil, acest lucru este pur și simplu echivalent cu rⁿ.

Metoda 2
recursivitate

Această metodă oferă probabilitatea tuturor sumelor pentru toate sumele de date. Acesta poate fi ușor implementat într-o foaie de calcul.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 6

Notați probabilitățile rezultatelor dintr-o singură matriță. Salvați într-o foaie de calcul. Exemplul afișat utilizează o matriță pe 6 fețe. Liniile goale pentru valorile negative sunt tratate ca zerouri și permit ca aceeași formulă să fie utilizată pe toate rândurile.

Imaginea intitulată Calculați Probabilitățile Dice Multiple Pasul 7

În coloana cu 2 date, utilizați formula prezentată. Aceasta este probabilitatea ca două date care arată orice sumă k să fie egală cu suma următoarelor evenimente. Pentru valori foarte mari sau joase ale lui k, unii dintre acești termeni (sau toți aceștia) pot fi zero, dar formula este valabilă pentru toate k.

Primele date arată k-1 și a doua arată 1.
Primele date arată k-2 și a doua arată 2.
Primele date arată k-3, iar cea de-a doua arată 3.
Primele date arată k-4, iar cea de-a doua arată 4.
Primele date arată k-5 și a doua arată 5.
Primele date arată k-6, iar cea de-a doua arată 6.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 8

În mod similar, pentru trei sau mai multe zaruri, se aplică în continuare aceeași formulă, folosind probabilitățile cunoscute pentru fiecare sumă dată cu un minus dat. Astfel, formula introdusă în a doua etapă poate fi completă oriunde, până când tabela include ambele date după cum este necesar.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 9

Foaia de calcul prezentată a calculat numărul de formulare, nu probabilitatea, dar conversia între ambele este ușor: probabilitate = numărul de forme / r ^ n, fiind r numărul de laturi ale fiecărei matrițe și n numărul de date. Alternativ, foaia de lucru poate fi modificată pentru a calcula probabilitatea direct.

Metoda 3
Generarea funcțiilor

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 10

Scrieți polinomul (1 / N) (x + x² + x^r). Aceasta este funcția generatoare pentru o singură matriță. Coeficientul termenului x^k este probabilitatea ca datele să indice k.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 11

Ridicați acest polinom la puterea nth pentru a obține funcția de generare corespunzătoare a sumei indicate în n datele. Aceasta este: (1 / Nⁿ) (x + x² + x^r)ⁿ. Dacă n este mai mare de aproximativ 2, probabil că doriți să faceți acest lucru pe un computer.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 12

Din punct de vedere computațional, acest lucru este echivalent cu metoda anterioară, dar rezultatele teoretice sunt uneori mai ușor de obținut cu o funcție de generare. De exemplu, jucând două date periodice 6 fețe au exact aceeași distribuție a sumelor că un anumit etichetat (1, 2, 2, 3, 3, 4) și un alt marcat (1, 3, 4, 5, 6, 8 ). Acest lucru se datorează faptului că (x + x² +x²+x³+x³+x⁴) (x + x³ +x⁴+x⁵+x⁶+x⁸) = (x + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶) (x + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶).

Metoda 4
Abordare continuă

Pentru un număr mare de date, calculul exact prin metodele de mai sus poate fi dificil. Teorema limitei centrale afirmă că suma unei serii de date identice abordează o distribuție normală pe măsură ce crește numărul de date.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 14

Calculați variația medie și standard pe baza numărului și tipului de date. Presupunând că n date numerotate de la 1 la r se aplică formulelor de mai jos.

Media este (r + 1) / 2.
Varianța este n (r ^ 2-1) / 12.
Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței.

Imaginea intitulată Calculați probabilitățile de zaruri multiple. Pasul 15

Utilizați distribuția normală cu deviația medie și standard de mai sus ca o aproximare a sumei datelor.

avertismente

Utilizarea mai multor tipuri de date complică aceste metode. În acest caz, cel mai simplu mod de a determina probabilitatea este prin listarea generală a tuturor rezultatelor posibile și aranjarea acestora în ordine ascendentă în funcție de totalul acestora.