Cum să rezolvați inegalitățile trigonometrice

O inegalitate trigonometric conține una sau mai multe funcții trigonometrice ale arcului R ca variabila x [f (x) g (x) ...]> - 0 (sau < 0), na qual f(x), g(x),... são funções trigonométricas do arc x. Encontrar o x significa encontrar os valores da variável arc x cujas funções trigonométricas fazem com que a inequação seja verdadeira. Todos esses valores de x constituem o conjunto de soluções da inequação trigonométrica expressada nos intervalos. Os valores do arc x são expressados em radianos ou graus.

Exemple de inegalități trigonometrice:

sin x + sin 2x> -sen 3x-sin x + sin 3x < 1 - 2tan x + tan 2x > 3cot x - cos 2x - 2> -3sin x

pași

Imaginea intitulată Rezolvați o expresie algebrică Pasul 4

Pentru a rezolva o inegalitate trigonometrică, transformați-o în mai multe inegalități trigonometrice de bază.

Procesul de transformare se desfășoară exact în același mod ca și în rezoluția ecuațiilor trigonometrice.
Perioada comună a inegalității trigonometrice este cel mai puțin comun dintre toate perioadele funcțiilor trigonometrice prezentate în ecuație.
De exemplu, sinul trigonometric sin x + sin 2x + cos x / 2> 1 are 4Pi ca perioadă comună.
De exemplu: tan x + pătuț x / 2 are 2Pi ca perioadă comună.
Dacă nu este specificat, soluția unei inegalități trigonometrice trebuie rezolvată cel puțin într-o perioadă întreagă.

Imagine intitulată Pass Calculus Pasul 13

Aflați cele 4 tipuri de inegalități trigonometrice:

sin x> a (sau < a) - cos x > la (sau < a)
tan x> a (sau < a) - cot x > la (sau < a)

Imagine intitulată Pass Calculus Pasul 11

Pentru a afla cum puteți rezolva aceste trei inegalități trigonometrice de bază, căutați cărți pe această temă. Rezolva inegalitățile trigonometrice de bază care studiază diferitele poziții ale variabilei x arc care se transformă în cercul unității trigonometric, și folosind tabele trigonometrice sau calculatoare.

Exemplul 1. Rezolvare: sin x> 0,709
- Soluția de rezolvare. Setul de soluții este dat de cercul unității trigonometrice și de tabelul trigonometric:
Pi / 4 + 2k.Pi < x < 3Pi/4 + 2k.Pi
Exemplul 2. Rezolvarea: tan x < 0.414
- Soluția de rezolvare. Soluție definită de tabelul trigonometric și cercul unității:
-Pi / 2 + k.Pi < x < Pi/8 + k.Pi

Imaginea intitulată Rezolvarea unei expresii algebrice Pasul 1

Dacă inegalitatea trigonometrică conține doar o funcție trigonometrică, o rezolvați ca o inegalitate trigonometrică de bază. Dacă este complicat, conținând două sau mai multe funcții trigonometrice, rezolvați în 4 pași.

Imaginea intitulată Rezolva inegalitățile trigonometrice Pasul 5

Pasul 1. Transformați inegalitatea trigonometrică în formularul standard R [x]> 0 (sau < 0).

Exemplu. Inegalitate (cos 2x < 2 + 3sen x) será transformada na forma padrão: R[x] = cos 2x - 3sen x -2 < 0.
Exemplu. Inegalitatea (2tan tan x + 2x> 3cot x) este transformata in R [x] = 2tan tan x + 2x - 3cot x> 0.

Imagine intitulată Pass Calculus Pasul 3

Pasul 2. Găsiți perioada comună. Perioada comună a inegalității trigonometrice trebuie să fie cel mai mic multiplu al tuturor perioadelor funcțiilor trigonometrice conturate în această inegalitate.

Exemplu. Inegalitatea trigonometrică R [x] = cos 2x - 3sin x - 2 < 0 tem 2Pi como período comum, que é o menor múltiplo dos dois períodos 2Pi, e Pi.
Exemplu. Inegalitatea trigonometrică sin x + sin 2x + sin 3x> 0 are 2Pi ca perioadă comună, care este cel mai mic dintre cele 3 perioade: 2Pi, Pi și 2Pi / 3.
Exemplu. Păcatul inegalității trigonometrice 3x + cos x / 2 - 1 < 0 tem 4Pi como período comum.

Imaginea intitulată Rezolvarea inegalităților trigonometrice Pasul 7

Pasul 3. Transformați și rezolvați ecuația trigonometrică R [x] = 0 pentru x. Pentru a afla cum să transformați și să rezolvați ecuația trigonometrică R [x] = 0, căutați cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice pe internet. Ca o reamintire, există două abordări:

a. Prima abordare transformă ecuația trigonometrică într-un produs al mai multor ecuații trigonometrice de bază. Apoi, rezolvați aceste ecuații trigonometrice de bază pentru a obține toate valorile lui x în perioada obișnuită. Aceste valori x vor fi folosite în PASUL 4.
- Exemplu. Rezolva inegalitatea trigonometrică: cos x + cos 2x + cos 3x> 0.
- Soluția de rezolvare. Folosind identități trigonometrice, transforma ecuația R [x] = x cos cos + cos 2x + 3x = 0 într-un produs: cos 2x (1 + 2cos x) = 0.
- Apoi, rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază f (x) = cos 2x = 0 și g (x) = 1 + cos 2x = 0 pentru a obține toate valorile lui x în perioada obișnuită.
b. A doua abordare transformă ecuația trigonometrică dată într-o ecuație trigonometrică care conține doar o funcție trigonometrică (numită t) ca variabilă. Rezolvați pentru t din această ecuație trigonometrică transformată. Apoi rezolvați aceste valori de la t la x. Variabilele funcționale comune de selectat sunt sinusurile x = cos cos cos = tan tan x = t și tan x / 2 = t.
- Exemplu. Rezolvați: R [x] = cos 4x + 3cos2x + 1> 0.
- Soluția de rezolvare. Transformați ecuația R [x] într-o ecuație trigonometrică triunghiulară cu cos 2x x = t ca variabilă:
- 2cos ^ 2 + 2x 1 + 2x 3cos = 2t 2 + 3t + 1 = 0
Rezolvați această ecuație patratică pentru t. Există 2 rădăcini reale pentru aceasta: t = -1 și t = -1/2. Apoi rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază cos 2x = t = -1 și cos 2x = t = -1/2 pentru x. Toate aceste valori x vor fi utilizate în PASUL 4.

Imaginea intitulată Verificați cu ușurință problemele de matematică Pasul 2

Pasul 4. Rezolva inegalitatea trigonometrică R (x)> 0 (sau> 0) prin metoda algebrică, folosind un tabel de semnal.

Exemplu. Rezolva inegalitatea R [x] = sin x + sin 3x < -sen 2x (1)
Soluția de rezolvare. Forma standard: păcat x + păcat 2x + păcat 3x < 0. O período comum é 2Pi. Transforme (1) em um produto: R[x] = 2sen 2x(cos x - 1/2) < 0. No passo 3 resolva R(x) = 0. Resolva a equação básica f(x) = sen 2x = 0. Os arcos de solução são: 0, Pi/2, Pi, 3Pi/2, 2Pi. Então, resolva a equação g(x) = cos x - 1/2 = 0. Os arcos são Pi/3, 5Pi/3. Todos esses 7 valores de x serão usados para fazer uma tabela de sinais no passo 4. Para resolver R(x) < 0 (ou > 0)

Imaginea intitulată Rezolva inegalitățile trigonometrice Pasul 9

Efectuați un tabel de semnale în care valorile din rândul superior sunt toate valorile x variind în mod progresiv de la 0 la 2Pi. Aceste valori consecutive ale lui x creează mai multe intervale între ele.

Mai întâi, găsiți variația f (x) = sin 2x în al doilea rând al tabelului. Aceasta se întâmplă din cauza diferitelor poziții ale arcului x care se rotește în cercul unității trigonometrice. De exemplu, dacă x este în primul cvadrant, arcul 2x este în cel de-al doilea cvadrant și păcatul 2x este pozitiv. Marcați intervalele cu + și -, în funcție de variația f (x).
Apoi, găsiți variația g (x) = cos x - 1/2 în rândul al treilea al tabelului de semnale. Rezolva intervale de timp și verificați + sau - ca în operația de mai sus.
Linia de jos reprezintă variația lui R [x], cu + și - semnale care sunt combinate produsul R [x] = f (x) .g (x) în fiecare interval. În acest exemplu, toate intervalele - pe linia de jos constituie setul de soluții ale inegalității trigonometrice R (x) < 0 dentro do período comum. O conjunto de soluções: (Pi/3 , Pi/2) e (Pi , 3Pi/2) e (5Pi/3 , 2Pi).
1. Abordarea pentru determinarea variației f (x) și g (x) este exact aceeași ca și pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice de bază, care este studiul mai multor poziții ale arcului variabil x în cercul unității trigonometrice.
2. Metoda grafică. Această metodă utilizează calculatoarele grafice pentru a arăta direct inegalitatea trigonometrică R [x]> 0 (sau < 0). Este método, se permitido pelos professores/testes/exames é rápido, preciso e conveniente. Para saber como proceder, pesquise a internet ou livros de matemática especiais sobre trigonometria.