Cum se utilizează teorema lui Pythagorean

Teorema pitagoreană descrie atât de elegant și practic lungimile laturilor unui dreptunghi triunghi care până astăzi este utilizat pe scară largă. El afirmă că pentru orice triunghi drept, suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuză

conținut

Pași
Metoda 1găsirea coșurilor unui triunghi dreptunghiular
Metoda 2calculul distanței dintre două puncte pe un plan cartesian
Sfaturi

. Cu alte cuvinte, pentru un dreptunghi triunghi cu laturi perpendiculare de lungime și b și o hipotenză lungă c, ² + b² = c². Teorema lui Pitagora este unul dintre pilonii fundamentali ai geometriei de bază, având astfel numeroase aplicații practice - cu teorema, de exemplu, este ușor să descoperiți distanța dintre două puncte într-un plan de coordonate.

pași

Metoda 1
Găsirea coșurilor unui triunghi dreptunghiular

Asigurați-vă că este un triunghi dreptunghi. Teorema pitagoreană este aplicabilă numai triunghiurilor dreptunghiulare, astfel încât, înainte de a continua, este important să se asigure că triunghiul în cauză corespunde definiției tipului de dreptunghi. Din fericire, există un singur factor de calificare - pentru a fi un dreptunghi triunghi, triunghiul în cauză trebuie să conțină un unghi de exact 90 de grade.

Ca o scurtătură vizuală, unghiurile dreptunghiului sunt adesea marcate cu un pătrat mic, în loc de "curba" rotunjită, care le identifică ca atare. Căutați acea notă specială în colțul triunghiului.

Denumiți laturile triunghiului dvs. ca a, b și c. În teorema Pitagora, variabilele și b se referă la picioare care sunt în unghi drept, în timp ce variabila c se referă la hypotenuse - cea mai mare parte, întotdeauna vizavi de unghiul drept. Deci, pentru început, numele părților mai mici ale triunghiului tău și b (indiferent ce titlu se duce la care unul) și dați hipotensiunea variabila c.

Determinați partea (părțile) triunghiului pe care doriți să o aflați. Teorema Pitagora permite matematicienilor să găsească lungimea oricărui o laturile unui triunghi drept, cu condiția ca lungimea celuilalt două părți. Determinați care parte în cauză are o lungime necunoscută - , b și / sau c. Dacă lungimea unei singure părți nu este cunoscută, puteți continua.

Să spunem, de exemplu, că hypotenuse are o lungime de 5 și că una din celelalte laturi are o lungime de 3, dar nu suntem siguri de lungimea celei de-a treia părți. În acest caz, știm că rezolvăm problema în căutarea lungimii celei de-a treia părți și, odată ce știm lungimea celorlalte două, putem continua! Vom reveni la acest exemplu în următorii pași.
Dacă lungimile două a laturilor sunt necunoscute, trebuie să determinați lungimea unei alte părți, cu teorema pitagoreană. Funcții trigonometrice de bază poate fi de mare ajutor în acest caz dacă știți valoarea unuia dintre unghiurile acute ale triunghiului.

Introduceți cele două valori cunoscute în ecuație. Puneți valorile pe lungimile laturilor triunghiului în ecuație ² + b² = c². Ține minte asta și b sunt catetele și c, hypotenuse.

În exemplul nostru, știm lungimea unei părți și hypotenuse (3 și 5), așa că vom scrie ecuația noastră ca 3² + b² = 5².

Calculați pătratele. Pentru a rezolva ecuația, începeți să luați pătratul fiecărei laturi cunoscute. În mod alternativ, dacă credeți că este mai ușor, puteți lăsa lungimea laturilor în format exponent, stimulându-le ulterior.

În exemplul nostru, vom avea pătratele de 3 și 5, adică, 9 și 25, respectiv. Putem rescrii ecuația noastră ca 9 + b² = 25.

Izolați variabila necunoscută pe o parte a ecuației. Dacă este necesar, utilizați operațiile de bază algebrice pentru a plasa variabila necunoscută pe o parte a ecuației și pe cele două pătrate pe cealaltă. Dacă doriți să descoperiți hipotensiunea, c acesta va fi deja izolat, deci nu vor fi necesare pași suplimentari.

În exemplul nostru, ecuația actuală este 9 + b² = 25. Pentru izolare b², scădem 9 din ambele părți ale ecuației. Ne lasă cu asta b² = 16.

Extrageți rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Acum veți avea o variabilă mare de pătrat, pe o parte a ecuației, și un număr pe cealaltă. Trageți pur și simplu rădăcina pătrată a ambelor părți pentru a găsi lungimea laturii necunoscute.

În exemplul nostru, b² = 16, extragerea rădăcinii pătrată a ambelor părți ne dă rezultatul b = 4. Prin urmare, putem spune că lungimea piciorului necunoscut este egală cu 4.

Utilizați teorema lui Pythagorean pentru a găsi laturile triunghiurilor rectangulare reale. Motivul pentru care această teoremă este atât de răspândită este numărul aproape nelimitat de aplicații practice. Învățați să recunoașteți triunghiurile dreptunghiului în situații reale în care două obiecte sau linii se află într-un unghi drept și o a treia (a) se extinde diagonală de-a lungul unghiului drept - în acest fel puteți utiliza teorema din Pythagoras pentru a descoperi lungimea unei laturi dacă celelalte două sunt cunoscute.

Să facem un test din viața reală cu puțin mai multe dificultăți. O scară se sprijină pe o clădire. Baza sa este la 5 metri de baza peretelui. Ea atinge 20 de metri înălțime față de peretele clădirii. Cât timp este scara?
Exemplele "La 5 metri de la baza peretelui„Și“20 de metri înălțime față de perete"Dați-ne sugestii cu privire la lungimea picioarelor triunghiului. Odată ce peretele și solul (eventual) se află într-un unghi drept, iar scara se sprijină diagonală pe perete, ne putem gândi la acest aranjament ca un triunghi dreptunghic a = 5 și b = 20. Lungimea scării este hypotenuse, fiind c necunoscutul nostru. Să folosim teorema lui Pitagora:
² + b² = c²
(5)² + (20)² = c²
25 + 400 = c²
425 = c²
√ (425) = c
c = 20,6
- Lungimea aproximativă a scării este egală cu 20,6 metri.

Metoda 2
Calculul distanței dintre două puncte pe un plan cartesian

Stabiliți două puncte pe un plan cartezian. Teorema Pitagora poate fi folosită cu ușurință pentru a calcula o linie dreaptă între două puncte într-un plan cartesian. Tot ce trebuie să știți sunt coordonatele x și y oricare două puncte. În mod obișnuit, aceste coordonate sunt scrise ca perechi ordonate în format (x, y).

Pentru a găsi distanța dintre aceste două puncte, vom trata fiecare dintre ele ca fiind balamalele unui triunghi drept. În acest fel, va fi ușor să găsiți lungimea laturilor și b, pentru a continua calcularea c, hypotenuse, care reprezintă distanța dintre ambele puncte.

Imaginați cele două puncte dintr-un avion. Într-un plan tipic cartezian, pentru fiecare punct (x, y), x ne dă o coordonată pe axa orizontală, în timp ce y reprezintă o coordonată pe axa verticală. Puteți găsi distanța dintre cele două puncte fără a le reprezenta într-un avion, dar în acest fel nu va exista o referință vizuală care să poată fi folosită ca o garanție că răspunsul are sens.

Găsiți lungimile picioarelor triunghiului. Folosind cele două puncte ca vârfuri adiacente hypotenusei, găsiți lungimile laturilor și b a triunghiului. Puteți să o faceți vizual, în avion sau prin formule | x₁ - x₂| la partea orizontală și | y₁ - y₂| la verticală, unde (x₁, y₁) este primul punct și (x₂, y₂), a doua.

Să spunem că cele două puncte sunt (6, 1) și (3, 5). Lungimea laturii orizontale a triunghiului este egală cu:
- | x₁ - x₂|
- | 3 - 6 |
- | -3 | = 3
Lungimea laturii verticale este egală cu:
- | y₁ - y₂|
- | 1-5 |
- | -4 | = 4
În acest fel, putem spune că, în triunghiul nostru dreptunghi, a = 3 și b = 4.

Utilizați teorema pitagoreană pentru a afla valoarea ipotezei. Distanța dintre cele două puncte este hypotenuse a triunghiului ale cărui laturi tocmai au fost descoperite. Utilizați teorema pitagoreană în mod normal pentru a găsi hypotenuse prin definirea ca lungimea primei părți și b, ca al doilea.

În exemplul nostru cu puncte (3, 5) și (6, 1), lungimile noastre de picioare sunt egale cu 3 și 4, astfel încât să putem găsi hypotenuse în felul următor:
- (3)² + (4)² = c²
- c = √ (9 + 16)
- c = √ (25)
- c = 5
  - Distanța dintre puncte (3, 5) și (6, 1) este egal cu 5.

sfaturi

Hipotensiunea este întotdeauna:
- Poziționate în unghi drept (fără atingere) -
- Cea mai mare parte a dreptunghiului -
- Înlocuitorul c în teorema lui Pitagora.
Nu uitați să verificați întotdeauna rezoluția. Dacă un răspuns pare să fie incorect, încercați din nou.
O altă verificare importantă - cea mai mare parte va fi opusă unghiului mai mare, iar partea mai mică, opusă unghiului mai mic.
Dacă triunghiul nu este un dreptunghi, veți avea nevoie de mai multe informații decât lungimea celor două picioare.
Diagramele reprezintă cheia pentru stabilirea valorilor corecte pentru , b și c. Dacă rezolvați o problemă cu o declarație, asigurați-vă că traduceți mai întâi textul într-o diagramă.
Dacă aveți o singură măsură, Teorema Pitagora nu vă va ajuta. Încercați să utilizați în schimb date trigonometrice (sen, cos, bronza) sau proporțiile 30-60-90 / 45-45-90.