Cum se rezolvă ecuațiile trigonometrice

O ecuație trigonometrică este o ecuație care conține una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei arc x trigonometrice. Rezolvarea valorii lui x înseamnă găsirea valorilor arcurilor trigonometrice ale căror funcții trigonometrice fac ca ecuația să fie adevărată.

Răspunsurile sau valorile arcurilor de soluție sunt exprimate în grade sau radiani. Exemple:

x = Pi / 3-x = 5Pi / 6-x = 3Pi / 2-x = 45 °. - x = 37,12 °. - x = 178,37 °.

Notă: În cercul unității trigonometrice, funcțiile trigonometrice ale oricărui arc sunt aceleași funcții trigonometrice ale unghiului corespunzător. Cercul trigonometric definește toate funcțiile arcului x variabil. Este, de asemenea, folosit ca dovadă a soluției de ecuații trigonometrice de bază și a inegalităților.
Exemple de ecuații trigonometrice:
- sin x + păcat 2x = 1/2 - tg x + pătuț x = 1.732 -
- cos 3x + păcat 2x = cos x - 2sen 2x + cos x = 1.

Cercul trigonometric.
- Este un cerc cu Ray = 1 unitate, cu 0 ca origine. Este cercul unității trigonometrice care definește cele 4 funcții trigonometrice principale ale variabilei arc x care se rotește în sens invers acelor de ceasornic în ea.
- Atunci când arcul, cu valoarea x, variază într-un cerc trigonometric:
- Axa orizontală 0Ax definește funcția trigonometrică f (x) = cos x.
- Axa verticală 0By definește funcția trigonometrică f (x) = sin x.
- Axa verticală AT definește funcția trigonometrică f (x) = tg x.
- Axa orizontală BU definește funcția trigonometrică f (x) = patul x.

Cercul trigonometric este, de asemenea, folosit pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice de bază și inegalitățile, luând în considerare diferitele poziții ale arcului x în acest cerc.

pași

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 1

Cunoașteți conceptul de Rezoluție.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, transformați-o în una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice rezolvă pur și simplu 4 tipuri de bază ale ecuațiilor trigonometrice.

Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 2

Aflați cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice de bază.

Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
sin x = a - cos x = a
tg x = a - pătuț x = a
Rezolvați ecuațiile trigonometrice de bază studiind diferitele poziții ale arcului x în cercul trigonometric și utilizând un tabel de conversie trigonometric (sau calculator). Pentru a înțelege pe deplin modul de rezolvare a acestor ecuații trigonometrice de bază și a altor ecuații similare, consultați cartea intitulată "Trigonometrie: Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților" (Amazon E-book 2010).
Exemplul 1. Calculați păcatul x = 0,866. Tabela de conversie (sau calculatorul) ne dă răspunsul: x = Pi / 3. Cercul trigonometric ne dă un alt arc (2Pi / 3) care are aceeași valoare ca păcatul (0.866). Cercul trigonometric ne oferă, de asemenea, un număr infinit de răspunsuri.
x1 = Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = 2Pi / 3. (Răspunsuri în intervalul (0, 2Pi))
x1 = Pi / 3 + 2k Pi și x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Un alt răspuns).
Exemplul 2. Calculați cossen x = -1/2. Calculatoarele ne dau x = 2 Pi / 3. Cercul trigonometric ne dă un alt x = -2Pi / 3.
x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = -2Pi / 3. (Răspunsuri în intervalul (0, 2Pi))
x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi și x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Un alt răspuns)
Exemplul 3. Se calculează: tg (x-Pi / 4) = 0.
x = Pi / 4 - (răspuns)
x = Pi / 4 + k Pi- (Un alt raspuns)
Exemplul 4. Calculați cotangenta = 1732. Calculatoarele și cercul trigonometric ne dau:
x = Pi / 12 - (Răspuns)
x = Pi / 12 + k Pi - (Un alt raspuns)

Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 3

Aflați transformările utilizate în calculul ecuațiilor trigonometrice.

Pentru a transforma o ecuație trigonometrică dată în ecuații de bază, utilizați transformările comune algebrice (factoring, factor comun, identități polinomiale ...), definiții și proprietăți ale funcțiilor trigonometrice și identitățile trigonometrice. Există 31 dintre ele și ultimele 14, de la 19 la 31, sunt numite Identități de transformare, deoarece ele sunt folosite pentru a transforma ecuațiile trigonometrice. Vedeți cartea menționată mai sus.
Exemplul 5: Ecuația trigonometrică: sinx x + sin 2x + sin 3x = 0 poate fi transformat folosind identitățile trigonometrice într-un produs al ecuațiilor trigonometrice de bază: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / = 0. Ecuațiile trigonometrice de bază care trebuie rezolvate sunt: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - și cos (x / 2) = 0.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile trigonometrice Pasul 4

Găsiți arcele ale căror funcții trigonometrice sunt cunoscute.

Înainte de a afla cum să rezolvați funcțiile trigonometrice, trebuie să știți cum să găsiți rapid arcul a cărui funcție trigonometrică este cunoscută. Valorile de conversie ale arcurilor (sau unghiurilor) sunt date de tabelele trigonometrice sau de calculator.
Exemplu: După rezolvare, aveți cos x = 0.732. Calculatoarele dau soluția de arc x = 42.95. Cercul trigonometric ne va da alte arce de soluție care au aceeași valoare cosinus.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 5

Graficul arcurilor de soluție din cercul trigonometric.

Puteți face graficul pentru a ilustra arcurile de soluție din cercul dvs. trigonometric. Punctele finale ale acestor arce de soluție constau în poligoane regulate în cerc. De exemplu:
Punctele terminale ale arcurilor x = Pi / 3 + k.Pi / 2 constituie un pătrat în cercul trigonometric.
Arcurile soluției x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sunt reprezentate de vârfurile unui hexagon obișnuit în cercul trigonometric.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 6

Aflați Abordările pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice.

Dacă o ecuație trigonometrică dată are o singură funcție trigonometrică, o rezolvați ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă ecuația dată conține două sau mai multe funcții trigonometrice, există două abordări în rezoluție, în funcție de posibilitatea transformării.
- A. Abordarea 1.
Fie f (x) = g (x) = 0 sau f (x) .g (x) .h (x) = 0, unde f (x), g (x) eh (x) sunt ecuații trigonometrice de bază.
Exemplul 6. Rezolvare: 2cos x + sin 2x = 0 (0 < x < 2Pi)
Soluția de rezolvare. Înlocuiți ecuația păcatului 2x folosind identitatea: păcat 2x = 2 * sin x * cos x.
cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Apoi rezolvati cele 2 functii trigonometrice de baza: cos x = 0 si (sin x + 1) = 0.
Exemplul 7. Rezolvare: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi)
Soluția de rezolvare. Transformați-vă într-un produs folosind identitățile trigonometrice: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Apoi rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
Exemplul 8. Rezolvare: păcat x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi)
Soluția de rezolvare. Transformați-vă într-un produs folosind identitățile trigonometrice: -cos 2x * (2sen x + 1) = 0. Apoi rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sen x + 1) = 0.
- B. Abordarea 2.
Transformați ecuația trigonometrică într-o ecuație trigonometrică cu o singură funcție trigonometrică ca variabilă. Există câteva sfaturi despre cum să alegeți variabila potrivită. Variabilele comune de selectat sunt: sin x = t cos x = t cos 2x = t, tg x = t și tg (x / 2) = t.
Exemplul 9. Rezolvare: 3Si-2x-2cos-2x = 4sen x + 7 (0 < x < 2Pi).
Soluția de rezolvare. Înlocuiți ecuația (cos ^ 2 x) cu (1 - sin ^ 2 x), apoi simplificați ecuația:
sin x 2 x - 2 - 2sen ^ 2 x - 4sen x - 7 = 0. Spuneți că păcatul x = t. Ecuația se transformă: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație patratică care are 2 rădăcini reale: t1 = -1 și t2 = 9/5. Al doilea t2 este respins, deoarece este> 1. Atunci rezolvați: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
Exemplul 10. Rezolvare: tg x + 2 tg ^ 2 x = pătura x + 2.
Soluția de rezolvare. Spuneți că tg x = t. Transformați ecuația cu t ca variabilă: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Solveți t pentru a obține produsul, apoi rezolvați pentru ecuația trigonometrică tg x = t pentru a obține x.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 7

Rezolvați tipuri speciale de ecuații trigonometrice.

Există câteva tipuri speciale de ecuații trigonometrice care necesită anumite tipuri de transformări. Exemple:
a * sin sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x =
a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile trigonometrice Pasul 8

Aflați proprietatea periodică a funcțiilor trigonometrice.

Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, ceea ce înseamnă că ele revin la valoarea inițială după o rotație pentru o perioadă. Exemple:
- Funcția f (x) = sin x are 2Pi ca perioadă.
- Funcția f (x) = tg x are Pi ca perioadă.
- Funcția f (x) = sin 2x are Pi ca perioadă.
- Funcția f (x) = cos (x / 2) are 4Pi ca perioadă.
Dacă perioada este specificată în problemă / întrebare, trebuie să găsiți soluția arcului de x în această perioadă.
NOTĂ: Rezolvarea unei ecuații trigonometrice este o operație complicată care duce deseori la erori. Prin urmare, răspunsurile trebuie verificate întotdeauna cu atenție. După rezolvare, puteți verifica răspunsurile utilizând un calculator de grafică pentru a grafice direct ecuația dată R (x) = 0. Răspunsurile (rădăcinile reale) vor fi date în numere zecimale. De exemplu, Pi are o valoare de 3,14