Înțelegerea ciclului trigonometric

Ciclul trigonometric este unul dintre cele mai importante instrumente de trigonometrie. Dacă sunteți în stare să înțelegeți ce este ciclul trigonometric și pentru ce este, trigonometria va fi mult mai ușoară.

pași

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 1

Înțelegeți ciclul trigonometric. Ciclul trigonometric (sau cercul) este un cerc centrat pe originea sistemului cartesian și a cărui rază se măsoară 1. Ecuația lui (în conic) este x²+y²= 1. Acest cerc poate fi folosit pentru a obține anumite proprietăți trigonometrice speciale, precum și pentru a facilita marcarea graficelor. Valorile distribuite în jurul circumferinței ajută de asemenea la calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice.

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 2

Cunoașteți cele șase rapoarte trigonometrice.

sinθ = picior opus / hypotenuse
cosθ = picioarele adiacente / hypotenuse
tgθ = piciorul adiacent / piciorul adiacent
cossecθ = 1 / sinθ
secθ = 1 / cosθ
cotgθ = 1 / tgθ

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 3

Înțelege ce este radianul. Radianul este un alt mod de a măsura un unghi. Unul (1) radian este unghiul a cărui lungime a arcului este egală cu raza circumferinței (măsura radianului este independentă de mărimea cercului sau de orientarea acestuia). De asemenea, trebuie să cunoașteți cantitatea de radiani într-un cerc complet (360 de grade). Deoarece lungimea unui cerc este dată de 2πr (unde "r" este valoarea de rază a acelui cerc), avem măsurători de 2p radius. Deoarece, prin definiție, radianul este unghiul unde lungimea razei este egală cu lungimea arcului, vom avea o rază completă de 2π radiani.

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 4

Aflați cum să convertiți între radiani și grade. La o întoarcere completă în circumferință, avem 2π radiani (sau 2π rad) sau 360 de grade (sau 360). Astfel, relația dintre cele două măsuri va fi:

2π rad = 360
1 rad = (360 / 2π)
1 rad = (180 / n)
1 radian = (180 / π) grade
360 = 2πrad
1 = (2π / 360) rad
1 = (π / 180) rad
1 grad = (π / 180) radiani

Imagine intitulată Obțineți un examen de ultimă oră pe un examen de matematică Pasul 1

Cunoașteți unghiurile remarcabile. Unghiurile remarcabile ale ciclului trigonometric (în radiani) sunt π / 6, π / 3, π / 4, π / 2, π și toți multiplii acestora (de exemplu 5π / 6).

Cunoașteți și memorați identitățile din care sunt derivate cele șase funcții trigonometrice din orice unghi. Pentru a obține aceste identități, este necesar mai întâi să observăm ciclul trigonometric. Amintiți-vă că există valori în jurul circumferinței. Un punct pe cerc reprezintă valoarea radiantă a unghiului format între originea ciclului și punctul respectiv. De exemplu, punctul π / 2 corespunde punctului din cerc unde raza formează un unghi π / 2 de la origine. Cheia pentru determinarea valorilor trigonometrice ale unghiului este găsirea coordonatelor punctului. Știm că sinusul unui unghi este egal cu valoarea piciorului opus împărțit la valoarea ipotezei. De asemenea, știm că valoarea ipotezei este egală cu 1 (precum și cu valoarea razei). Întrucât un număr împărțit la 1 este egal cu el însuși, iar piciorul opus al triunghiului înscris în ciclul trigonometric este echivalent cu valoarea y, valoarea sinusoidală va fi egală cu valoarea coordonatei y a punctului. Urmăm același principiu pentru a ajunge la valoarea cosinusului. Știm că cosinusul este egal cu valoarea piciorului adiacent împărțit de hypotenuse. Deoarece valoarea de hypotenuse a ciclului trigonometric este întotdeauna egală cu 1 și piciorul adiacent este echivalent cu valoarea lui x, valoarea cosinusului va fi egală cu coordonata x a punctului. Derivarea tangentei este un pic mai complexă. Știm că tangenta unui unghi într-un triunghi drept este egală cu valoarea piciorului adiacent împărțită la valoarea piciorului opus. Totuși, deoarece nu există valori constante în numitor, ca în exemplele de mai sus, trebuie să fii puțin mai creativ. Amintiți-vă că partea opusă este echivalentă cu coordonatele y și că partea adiacentă este echivalentă cu coordonatele x- înlocuind astfel în formula, concluzionăm că valoarea tangentei va fi egală cu y / x. Pentru a determina funcțiile trigonometrice inverse, găsiți pur și simplu fracțiunea reciprocă a celorlalte formule. În rezumat, identitățile trigonometrice sunt:

senθ = y
cosθ = x
tgθ = y / x
cossecθ = 1 / y
sec = 1 / x
cotgθ = x / y

Imaginea intitulată Verificați cu ușurință problemele de matematică Pasul 5

Calculați și memorați cele șase funcții trigonometrice ale unghiurilor situate pe axe. Acestea sunt π / 2 și multiplii lui (0, π / 2, π, 3π / 2, 2π, etc). Pentru a determina valoarea funcțiilor acestor unghiuri, trebuie doar să vă uitați unde sunt situate. Dacă unghiul este pe x, sinusul său va fi 0 și cosinusul său va fi 1 sau -1 (în funcție de situația în care se află în stânga sau în dreapta axei y). În mod similar, dacă unghiul este pe axă y, cosinusul său va fi 0 iar sinusoidele sale vor fi 1 sau -1 (în funcție de dacă este mai sus sau mai jos de axă x).

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 8

Calculați și memorați cele șase funcții trigonometrice ale unghiului remarcabil π / 6. Începeți prin marcarea unghiului π / 6 (30) în ciclul trigonometric. Știm cum să se calculeze măsurătorile laturilor unui dreptunghi triunghi cu unghiuri de 30 și 60. De asemenea, știm că raza ciclului trigonometric este 1 și că acesta este hypotenuse a triunghiului format de unghiul din primul cvadrant. Pe baza acestor date, concluzionăm că partea mai mică (opusă) a triunghiului măsoară 1/2 și, prin urmare, coordonatele y va fi 1/2 în același mod ca și măsurile mai mari (adiacente) ale piciorului (√3) / 2, coordonatele x va fi (√3) / 2. Coordonatele acestui punct sunt, prin urmare, (√3 / 2, 1/2). Aplicând identitățile de mai sus, vom avea:

sin (π / 6) = 1/2
cos (π / 6) = (√3) / 2
tg (π / 6) = 1 / (√3)
cossec (π / 6) = 2
sec (π / 6) = 2 / (√3)
cotg (π / 6) = √3

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 9

Calculați și memorați cele șase funcții trigonometrice ale unghiului remarcabil π / 3. Punctul π / 3 (60) are coordonate x egală cu coordonatele y unghi π / 6 și coordonate y egală cu coordonatele x din π / 6. Coordonatele acestui punct sunt deci (1/2, √3 / 2). În acest fel, celelalte funcții trigonometrice vor fi:

sin (π / 3) = (√3) / 2
cos (π / 3) = 1/2
tg (π / 3) = √3
cossec (π / 3) = 2 / (√3)
sec (π / 3) = 2
cotg (π / 3) = 1 / (√3)

Imaginea intitulată Înțelegerea Cercului unității Pasul 10

Calculați și memorați cele șase funcții trigonometrice ale unghiului remarcabil π / 4. Triunghiul dreptunghi cu două unghiuri de 45 (și cu hypotenuse 1) are două laturi egale care măsoară √2 / 2. Prin urmare, în ciclul trigonometric, funcțiile trigonometrice ale unghiului π / 4 vor fi:

sin (π / 4) = 1 / (√2)
cos (π / 4) = 1 / (√2)
tg (π / 4) = 1
cossec (π / 4) = √2
sec (π / 4) = √ 2
cotg (π / 4) = 1

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 11

Aflați ce unghi de referință să utilizați. Ați învățat deja să calculați funcțiile trigonometrice ale celor trei unghiuri notabile - totuși, toate aparțin primului cvadrant. Pentru a determina valoarea funcției unui unghi multiplu al unuia dintre ele, este necesar să se descopere în fața căruia "familia" unghiurilor face parte. Unghiurile 2π / 3, 4π / 3 și 5π / 3, de exemplu, aparțin familiei de unghi π / 3. Regula de cunoaștere a unghiului de referință pentru utilizare este de a simplifica fracțiunea la maxim și apoi să se uite la numitorul său.

Dacă numitorul este egal cu 3, unghiul aparține familiei π / 3
Dacă numitorul este egal cu 6, unghiul aparține familiei π / 6
Dacă numitorul este egal cu 2, unghiul aparține familiei π / 2
Dacă numitorul este egal cu 1, unghiul aparține familiei π
Dacă numitorul este egal cu 4, unghiul aparține familiei π / 4

Imaginea intitulată Înțelegerea cercului unității Pasul 12

Aflați când valoarea coordonatelor este pozitivă sau negativă. Relațiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor din aceeași familie au aceeași valoare (în modul) a unghiului de referință - totuși, în funcție de cvadrant unde sunt unghiurile, valorile funcțiilor lor pot fi pozitive sau negative.

Dacă unghiul este situat în primul cvadrant, toate relațiile sale trigonometrice vor avea o valoare pozitivă.
Dacă unghiul este situat în cel de-al doilea cvadrant, toate relațiile sale trigonometrice vor avea o valoare negativă (cu excepția sinusului și a cosecantului).
Dacă unghiul este situat în cel de-al treilea cvadrant, toate relațiile sale trigonometrice vor avea o valoare negativă (cu excepția tangentei și a co-tangentei).
Dacă unghiul este situat în al patrulea cadran, toate relațiile lui trigonometrice vor avea o valoare negativă (cu excepția cosinusului și secantului).