Cum se demonstrează proprietatea sumă a unghiurilor interioare ale unui triunghi

Știm că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 °, dar cum putem fi siguri? Pentru a dovedi că suma tuturor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 °, este necesar să înțelegem unii teoreme geometrice simple.

conținut

Pași
Partea 1dovada proprietății sumelor unghiurilor
Partea 2Înțelegerea proprietății sumei unghiurilor
Surse și cotatii

Folosind unele dintre aceste concepte, poate fi scrisă o dovadă simplă.

pași

Partea 1
Dovada proprietății sumelor unghiurilor

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pasul 1

Desenați o linie paralelă cu partea BC a triunghiului, care trece prin vertexul A. Apelați linia PQ. Ar trebui să fie paralel cu baza triunghiului.

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pasul 2

Scrieți unghiul de ecuație PAB + unghi BAC + unghi CAQ = 180 °. Rețineți că toate triunghiurile care se fac pe o linie dreaptă trebuie să adauge până la 180º. Deoarece unghiurile PAB, BAC și CAQ se conectează pentru a forma linia dreaptă PQ, suma lor trebuie să fie 180º. Vom numi aceasta din ecuația 1.

Imaginea intitulată Demonstrați caracterul Suma unghiului unui triunghi Pasul 3

Puteți spune că unghiul PAB = unghiul ABC și unghiul CAQ = unghiul ACB. Deoarece linia dreaptă PQ a fost construită paralel cu partea BC BC a triunghiului, unghiurile interne alternante PAB și ABC generate de linia transversală AB sunt congruente. În același mod, unghiurile interne alternante CAQ și ACB generate de linia transversală AC sunt de asemenea congruente.

Ecuația 2: unghiul PAB = unghiul ABC
Ecuația 3: unghiul CAQ = unghiul ACB
Există o teoremă geometrică care spune că unghiurile alternante interne ale liniilor paralele sunt congruente.

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pasul 4

Înlocuiți unghiul PAB și unghiul CAQ în ecuația 1 în unghi ABC și unghi ACB (conform ecuațiilor 2 și 3). Știind că unghiurile interne alternative sunt aceleași, vă permite să înlocuiți unghiurile triunghiului cu unghiurile liniei.

Astfel, avem unghiul ABC + unghiul BAC + unghiul ACB = 180 °.
Cu alte cuvinte, în triunghiul ABC, unghiul B + un unghi A + unghiul C = 180 °. Prin urmare, suma tuturor unghiurilor interne ale triunghiului este de 180º.

Partea 2
Înțelegerea proprietății sumei unghiurilor

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pas 5

Setați proprietatea sumei unghiurilor. Se spune că suma unghiurilor interne ale unui triunghi va fi întotdeauna 180 °. Fiecare triunghi are trei unghiuri, care pot fi clare, obtuzate sau drepte, dar suma lor va fi întotdeauna de 180º.

În triunghiul ABC, de exemplu, unghiul A + unghiul B + un unghi C = 180 °.
Această teoremă este utilă pentru a găsi măsura unui unghi necunoscut atunci când cunoașteți celelalte două.

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pasul 6

Exemple de studii. Pentru a înțelege cu adevărat acest concept, este important să studiem câteva exemple. Gândiți-vă la un dreptunghi triunghi în care unul dintre unghiuri măsoară 90º, iar celelalte două măsoară 45º. Suma 90 ° + 45 ° + 45 ° = 180 °. Studiați alte triunghiuri, de diferite forme și dimensiuni, și adăugați unghiurile lor. Veți vedea că rezultatul va fi întotdeauna de 180º.

În cazul triunghiului drept: unghiul A = 90 °, unghiul B = 45 ° și unghiul C = 45 °. Teorema spune că unghiul A + unghiul B + un unghi C = 180 °. Adăugarea unghiurilor rezultă la 90 ° + 45 ° + 45 ° = 180 °. Prin urmare, partea stângă a ecuației este egală cu partea dreaptă.

Imaginea intitulată Demonstrați proprietatea Suma unghiului unui triunghi Pasul 7

Utilizați teorema pentru a găsi un unghi necunoscut. Folosind algebra simplă, puteți folosi suma teoremei unghiulare pentru a găsi un unghi necunoscut dacă cunoașteți măsura celorlalte două unghiuri ale triunghiului. Ajustați ecuația inițială pentru a găsi unghiul necunoscut.

De exemplu, în triunghiul ABC unde unghiul A = 67 °, unghiul B = 43 °, dar unghiul C este necunoscut, putem folosi ecuația după cum urmează:
unghi A + unghi B + unghi C = 180 °
67 ° + 43 ° + unghi C = 180 °
unghiul C = 180 ° - 67 ° - 43 °
unghiul C = 70 °