Cum se grafice o funcție rațională

O funcție rațională este o ecuație care ia forma y

conținut

Pași
Sfaturi

= N (x) / D (x), unde N și D sunt polinoame. Încercați să schițeze o diagramă exactă a modului în care acestea mână poate reprezenta o revizuire extensivă a multora dintre cele mai importante concepte de matematică de liceu de algebra de bază pentru calcul. Luați în considerare următorul exemplu: y = (2x² - 6x + 5) / (4x + 2).

pași

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 1

Găsiți intersecția y. Pur și simplu definiți x = 0. Cu excepția termenilor constanți, totul dispare, plecând y = 5/2. Exprimându-l ca o pereche de coordonate (0, 5/2) devine un punct pe grafic. Imaginează acest punct.

Imaginea intitulată Graph a Function Rational Pasul 2

Găsiți asimptotul orizontal. divide numitor în numerotator pentru a determina comportamentul lui y pentru valori absolute absolute de x. În acest exemplu, divizia arată că y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). Pentru valori pozitive sau negative mari x, 17 / (8x + 4) se apropie de zero și graficul se apropie de linie y = (1/2)x - (7/4). Folosind o linie întreruptă sau întreruptă, graficează linia.

În cazul în care grad a numărătorului este mai mică decât gradul numitorului, nu se face nicio diviziune și asimptotul este y = 0.
dacă gradul (N) = gradul (D), asimptota este o linie orizontală în valoarea coeficienților primari.
dacă gradul (N) = gradul (D) + 1, asimptota este o linie a cărei curbură reprezintă valoarea coeficienților primari.
dacă grad (N)> grad (D) + 1, pentru valori mari de |x|, y ajunge rapid la infinit pozitiv sau negativ ca un polinom de putere cubic sau mai mare. În acest caz, probabil că nu merită să comportați coeficientul divizării.

Imaginea intitulată Graph a Function Rational Pasul 3

Găsiți zerourile. O funcție rațională are un zero atunci când numărul său este zero, deci definiți N (x) = 0. În exemplu, 2x² - 6x + 5 = 0. Discriminatorul patrat este b² - 4AC = 6² - 4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Deoarece discriminatorul este negativ, N (x) și, în consecință, f (x), nu are rădăcini reale. Graficul nu va trece niciodată x. Dacă se găsesc niște zerouri, adăugați aceste puncte în grafic.

Imaginea intitulată Graph a Function Rational Pasul 4

Găsiți asimptotele verticale. Asimptotele verticale apar atunci când numitorul este zero. defini 4x + 2 = 0 rezultă în linia verticală x = -1/2. Graficul fiecare asimptote verticale cu o linie netedă sau punctată. Dacă orice valoare a x definește N (x) = 0 și D (x) = 0, poate sau nu poate fi un asymptote verticale. Acesta este un caz rar - verificați sfaturile privind modul de gestionare a acestei situații.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 5

Observați restul fragmentului de la pasul 2. Când va fi pozitiv, negativ sau egal cu zero? În exemplul următor, numărul de cifre rămase este de 17, fiind întotdeauna pozitiv. Numitorul, 4x + 2, este pozitiv la dreapta asimptotei verticale și negativ la stânga. Aceasta înseamnă că graficul aproximează asimptota liniară în sus, la valori pozitive mai mari de x, și în jos, în valori negative mai mari de x. întrucât 17 / (8x + 4) nu poate fi niciodată zero, acest grafic nu intersectează linia y = (1/2)x - (7/4). Nu adăugați acum nicio informație în diagramă, dar rețineți concluziile pentru mai târziu.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 6

Găsiți extremele locale. O extremă locală se poate întâmpla oricând N `(x) D (x) -N (x) D „(x) = 0. În exemplu, N `(x) = 4x - 6 și D „(x) = 4. N `(x) D (x) -N (x) D „(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x² - 6x + 5) * 4 = 0. Extinderea, combinarea termenilor și împărțirea cu 4 permite x² + x - 4 = 0. Formula quadratică prezintă rădăcini apropiate x = 3/2 și x = -5 / 2 - Acestea diferă cu aproximativ 0,06 de valorile exacte, dar acest grafic nu trebuie să fie suficient de precis pentru a vă îngrijora acest nivel de detaliu. Alegerea unei abordări raționale face următorul pas mai ușor.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 7

Găsiți valorile y din fiecare capăt local. Introduceți valori x din pașii anteriori înapoi la funcția rațională originală pentru a găsi valorile y corespondenți. În exemplu, f (3/2) = 1/16 și f (-5/2) = -65/16. Adăugați aceste puncte, (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16), la grafic. Deoarece am încheiat etapa anterioară, acestea nu reprezintă punctele minime și maxime exacte, dar sunt destul de aproape - Știm că (3/2, 1/16) este destul de aproape de minimul local. Din pasul 3, știm asta y va fi întotdeauna pozitivă când x > -1/2 și găsim o valoare la fel de mică ca 1/16, adică, cel puțin în cazul de față, eroarea va fi probabil mai mică decât lățimea liniei.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 8

Conectați punctele și extindeți ușor graficul punctelor cunoscute la asimptote, având grijă să le apropiați din direcția corectă. Aveți grijă să nu treceți axa x cu excepția punctelor deja găsite la pasul 3. Nu traversați asimptotele liniare sau orizontale, cu excepția punctelor deja găsite la pasul 5. Totuși, nu schimbați de la panta de sus până la panta de mai jos, cu excepția capetelor din pasul anterior.

sfaturi

Dacă urmați pașii în ordine, în mod normal nu va trebui să utilizați teste derivate secundare sau metode similare potențial complicate pentru a determina dacă valorile critice sunt maxime sau minime locale sau nici una. Încercați să utilizați informațiile din pașii anteriori și mai întâi un pic de logică.
Dacă încercați să faceți prezent cu metode de pre-calcul, puteți trece peste pașii pentru a găsi extreme extreme la calculul mai multor perechi ordonate (x, y) între fiecare pereche de asimptote. Alternativ, dacă nu vă pasă de de ce nu există niciun motiv pentru care un elev de pre-calcul nu este derivă un polinom și rezolva N `(x) D (x) -N (x) D „(x) = 0.
Unele dintre aceste etape pot implica rezolvarea unui polinom grad înalt. Dacă nu puteți găsi soluții exacte prin factoring, formule sau alte mijloace, estimați-le folosind tehnici numerice, cum ar fi metoda lui Newton.
În cazuri rare, numitorul și numitorul pot avea a factor comun de neîncredere. Dacă urmați pașii, acesta ar fi afișat ca un asimptot zero și vertical într-un singur loc. Acest lucru este imposibil și ceea ce are loc este unul dintre următoarele:
- Valoarea zero în N (x) are o multiplicitate mai mare decât zero în D (x). Graficul graficului f(x) se apropie de zero în acest moment, dar aici devine nedefinit. Indicați-l cu un cerc deschis în jurul punctului.
- Valoarea zero în N (x) și zero în D (x) au multiplicitate egală. Graful se apropie de un punct diferit de zero pentru această valoare de x, dar aici devine nedefinit. Indicați-o din nou, cu un cerc deschis.
- Valoarea zero în N (x) are o multiplicitate mare de zero în D (x). Există o asimptote verticale în acest moment.