Cum se calculează transformarea Laplace a unei funcții

Transformarea Laplace este o transformare a integrala, care permite transformarea unei ecuatii diferentiale intr-o ecuatie algebrica mai simpla, facilitand rezolvarea ei.

conținut

Pași
Metoda 1terminologie
Metoda 2rezolvarea transformării
Metoda 3funcții discontinue
Metoda 4folosind proprietățile transformării laplace
Sfaturi
Surse și cotatii

Deși puteți utiliza tabelele Laplace Transform, nu este o idee proastă să știți cum să faceți acest lucru.

pași

1
Aflați dacă încercați să găsiți o transformare unilaterală Laplace sau o transformare bilaterală cu o singură funcție. Dacă tipul de transformare nu este specificat, se poate presupune că versiunea unilaterală trebuie calculată.
- Transformarea unilaterală Laplace este definită ca:
- Transformarea bilaterală Laplace este definită ca:
2
Puneți funcția, f (t), în definiția transformării Laplace.

Metoda 1
terminologie

1
Luați în considerare "Transformările Laplace" - în parte, este un sistem de transformare a relațiilor unui domeniu dependent într-un set de ecuații exprimate în termenii operatorilor Laplace. Deci soluția la problema inițială se face prin "manipulări algebrice complexe" în domeniul lui "s" sau Laplace.
- Aplicarea Laplace Transforms este analogă utilizării logaritmilor pentru a simplifica anumite tipuri de operații matematice. Luând logaritmii, numerele sunt transformate în puteri de 10 sau e (logaritmi naturali). Ca urmare a acestor transformări, multiplicările și divizările matematice sunt înlocuite cu adăugiri și, respectiv, scăderi. "
2
„In mod similar, aplicarea transformatei Laplace pentru a analiza sistemele care pot fi descrise ca fiind liniare“ ecuații diferențiale temporale „depășirea unora dintre complexitatea întâlnite în soluțiile acestor ecuații de domeniu de timp“, și, de asemenea:
- Transformarea Laplace implică integrarea unei variabile de timp f (t) între 0 și infinit și multiplicarea acelei variabile cu "e".^-st.
- f (t) este funcția aplicată, care trebuie definită pentru toate valorile pozitive ale lui t.
- s este o variabilă complexă algebrică definită de s = a + jω, unde j = sqrt (-1), atunci ea va folosi numere imaginare.
  - Simbolul i (j în inginerie electrică) este utilizat pentru a reprezenta √ -1. Apoi, de exemplu, √ (-4) = 2i. Numărul numit i, sau 1i, sau xi sunt numiți pur și simplu din numere imaginare.
- O utilizare pentru planul complex este cunoscută sub numele de s-plane, și este folosit pentru a vizualiza rădăcinile unei ecuații care descrie grafic comportamentul unui sistem (ecuațiile caracteristice). Ecuația este de obicei exprimată ca un polinom în parametrul "s" al unei transformări Laplace. De aici numele planului.
  - Planurile complexe utilizate în diagrame din Argand arată z-plane, unde z = x + iy și poate folosi, de asemenea, z-transform și Laplace. În matematica și prelucrarea semnalului, transformarea z convertește un semnal de domeniu discret, care este o secvență de numere reale sau imaginare, într-o reprezentare complexă a unui domeniu de frecvență. Acesta poate fi considerat cu o transformare echivalentă în timp discret. Această similitudine este explorată în teoria "calculului timpului scalar". În ciuda transformărilor bilineare, planul complex (al transformării Laplace) este mapat într-un plan complex-z (al transformării z).
    - „= A + ib Z, r = e ^ (i teta) = partea reală a lui z, b = partea imaginară a lui z, z = modulul r theta = z argument, b sunt numere reale. „Deși această cartografiere este neliniare, este util hărți planul jΩ-axa sunt în cercul planul z unități adică, avionul este pe jΩ“ regiune de convergență a transformatei Laplace. "

Metoda 2
Rezolvarea transformării

1
Continuați integrarea folosind integrarea fragmentară. În funcție de funcția dvs., f (t), poate fi necesar să faceți integrarea divizării de mai multe ori înainte de a obține un rezultat.
Dacă calculați transformarea bilaterală, înlocuiți limita 0 pentru -∞
2
Puneți limitele asupra rezultatului. Scrieți ecuația înlocuind T de infinit, și apoi scriind negativ din aceeași ecuație, înlocuind t cu 0 Simplificați acest lucru la fel de mult ca tine poate, amintindu-ne următoarele:
3
Verificați răspunsul folosind tabela de transformare Laplace.

Metoda 3
Funcții discontinue

O funcție discontinuă poate fi scrisă ca:

, unde c este o constantă și a și b pot fi fie constante, fie funcții ale lui t. Deși acest exemplu are doar două părți, acesta poate fi orice număr finit.

1
Scrieți suma Transformării Laplace pentru fiecare parte a funcției discontinue, folosind limitele specificate, în loc de cele obișnuite între 0 și ∞.
2
Calculați transformările Laplace așa cum se arată mai sus. Nu uitați să înlocuiți limitele corecte, în loc de 0 și ∞.
Acest exemplu presupune constantele a și b, rezultatul va fi mai complicat dacă acestea sunt funcții ale lui t
.
3
Simplificați rezultatul cât de mult puteți.
Acest exemplu presupune constantele a și b, rezultatul va fi mai complicat dacă acestea sunt funcții ale lui t
.

Metoda 4
Folosind Proprietățile Transformării Laplace

1
Încercați să obțineți o transformare Laplace dintr-o funcție, dacă aceasta arată una sau mai multe alte funcții, din care cunoașteți transformarea. De exemplu:
- Transformarea unei combinații liniare de funcții este aceeași combinație liniară a transformărilor Laplace.
- Transformarea Laplace a lui f (t) este egală cu -F `(s), unde F (s) este transformarea Laplace a f (t) și F` (s)
- Transformarea Laplace a lui f `(t) este egală cu sF (s) -f (0).
- Transformarea Laplace a lui e (f) (f) este egală cu F (s-a).
- Transformarea Laplace a unei convoluții a două funcții f și g este egală cu produsul transformărilor sale.
2
Utilizați diferitele proprietăți ale transformărilor cunoscute Laplace pentru a le putea deduce utilizând pașii de mai sus. De asemenea, este util să cunoaștem semnificația din spatele proprietății.
3
Examinați această afirmație generală: "Transformarea Laplace a f (t) este egală cu funcția F a s" și scrieți: la locul {f (t)} = F (s)
- În mod similar, transformarea Laplace a unei funcții g (t) va fi scrisă ca: la locul {g (t)} = G (s)

sfaturi

Transformările Laplace au multe aplicații în matematică, fizică, optică, inginerie electrică, inginerie de comandă, procesarea semnalelor și teoria probabilităților. Invenția sa din 1782 a fost o lucrare privind probabilitatea. În fizică, este utilizat pentru a analiza sisteme liniare, cum ar fi circuite electrice, oscilatoare armonice, dispozitive optice și sisteme mecanice.