Cum se rezolvă ecuațiile liniare cu variabile multiple în algebră

Ecuațiile liniare cu variabile multiple sunt ecuații care au două sau mai multe necunoscute (reprezentate de obicei de "x" și "y"). Există mai multe modalități de a rezolva aceste ecuații, inclusiv eliminarea și substituirea.

conținut

Pași
Metoda 1Înțelegerea componentelor ecuațiilor liniare
Metoda 2rezolvarea unei ecuații liniare cu eliminarea
Metoda 3rezolvarea unei ecuații liniare cu substituție
Sfaturi
Surse și cotatii

pași

Metoda 1
Înțelegerea componentelor ecuațiilor liniare

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 1

Înțelegeți ce ecuații sunt cu mai multe variabile. Două sau mai multe ecuații liniare grupate sunt numite un sistem. Aceasta înseamnă că un sistem de ecuații liniare apare atunci când două sau mai multe ecuații liniare sunt rezolvate în același timp. De exemplu:

8x-3y = -3
5x = 2y = -1
Acestea sunt două ecuații liniare care trebuie rezolvate în același timp, adică trebuie să utilizați ambele ecuații pentru a rezolva cele două.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebra Pasul 2

Știți că încercați să aflați valorile variabilelor sau necunoscute. Răspunsul la problema ecuațiilor liniare este o pereche ordonată de numere care face ca cele două ecuații să fie adevărate.

În cazul exemplului nostru, încercați să aflați care dintre numerele litere "x" și "y" reprezintă cele două ecuații vor fi adevărate. În acest exemplu, x = -3 și y = -7. Înlocuiți-le în ecuație. 8 (-3) -3 (-7) = -3. Este adevărat. 5 (-3) -2 (-7) = -1. Acest lucru este, de asemenea, adevărat.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 3

Știți ce este un coeficient numeric. Coeficientul numeric este pur și simplu numărul care vine înainte de o variabilă. Veți folosi acești coeficienți numerici atunci când utilizați metoda de ștergere. În ecuațiile noastre de exemplu, coeficienții numerici sunt:

8 și 3 în prima ecuație - 5 și 2 în a doua.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 4

Înțelegeți diferența dintre rezolvarea cu metoda de eliminare și cea de substituire. Când utilizați eliminarea pentru a rezolva o ecuație liniară cu mai multe variabile, eliminați una dintre variabilele cu care lucrați (cum ar fi "x"), astfel încât să puteți găsi cealaltă variabilă ("y"). Odată ce ați găsit "y", puteți înlocui valoarea în ecuație și puteți găsi "x" (nu vă faceți griji, acest lucru va fi detaliat în Metoda 2).

Înlocuirea, pe de altă parte, este locul în care începeți să lucrați cu o singură ecuație pentru a putea găsi o singură variabilă. Odată ce ați rezolvat o ecuație, puteți înlocui valoarea găsită în cealaltă ecuație, creând efectiv o ecuație mai mare din cele două ecuații mai mici. Din nou, nu vă faceți griji, acest lucru va fi detaliat în Metoda 3.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 5

Înțelegeți că pot exista ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile. Aceste cazuri pot fi rezolvate în același mod ca și ecuațiile liniare cu două variabile. Puteți utiliza metoda de ștergere și înlocuire, va dura doar puțin mai mult decât dacă ați găsi două variabile, dar procesul este același.

Metoda 2
Rezolvarea unei ecuații liniare cu eliminarea

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 6

Uită-te la ecuația ta. Pentru a rezolva problema, va trebui să vă familiarizați cu componentele ecuațiilor. Să folosim următorul exemplu pentru a afla cum să eliminăm variabilele:

8x-3y = -3
5x = 2y = -1

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebra Pasul 7

Alegeți o variabilă de șters. Pentru a elimina o variabilă, coeficientul numeric (numărul din fața variabilei) unei variabile trebuie să fie opus unul față de celălalt (de exemplu, 5 și -5 sunt opuse). Scopul este de a scăpa de o variabilă, astfel încât să puteți găsi cealaltă, eliminând-o prin scădere. Acest lucru înseamnă că se fac anulați coeficienții aceleiași variabile în ambele ecuații. De exemplu:

La 8x - 3y = -3 (ecuația A) și 5x - 2y = -1 (ecuația B), puteți înmulți ecuația A cu 2 și B cu 3 pentru a obține 6y în ambele ecuații.
Aceasta ar arata astfel: ecuatia A: 2 (8x - 3y = -3) = 16x - 6y = -6.
Ecuația B: 3 (5x - 2y = -1) = 15x - 6y = -3

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 8

Adăugați sau scădeți cele două ecuații pentru a elimina una dintre variabile și a găsi cealaltă. Acum că aveți o variabilă care poate fi ștearsă, puteți face acest lucru prin adăugarea sau scăderea. A face un lucru sau altul va depinde de modul în care veți putea elimina variabila. În exemplul nostru este necesar să se scadă, deoarece 6y este în fiecare dintre ecuații:

(16x-6y = -6) - (15x-6y = -3) = 1x = -3. Prin urmare, x = -3.
Pentru alte cazuri, dacă coeficientul numeric al lui x nu este 1 după adăugarea sau scăderea, trebuie să împărțim ambele părți cu coeficientul numeric pentru a simplifica ecuația.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 9

Introduceți valoarea găsită pentru a găsi variabila rămasă. Acum că ați găsit valoarea lui `x`, puteți înlocui acest număr într-una din ecuațiile originale pentru a găsi `y`. Când știți că a funcționat în una din ecuații, ați putea încerca să introduceți valoarea într-o altă ecuație pentru a vă asigura că:

Ecuația B: 5 (-3) - 2y = -1, apoi -15-2y = -1. Adăugați 15 pe ambele părți, astfel încât -2y = 14. Împărțim ambele părți cu -2 pentru a găsi y = -7.
Prin urmare, x = -3 și y = -7.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 10

Înlocuiți rezultatele în ambele ecuații pentru a vă asigura că acestea sunt corecte. După ce ați găsit variabilele, înlocuiți valorile din ecuațiile originale pentru a vă asigura că acestea sunt corecte. Dacă una dintre ecuații nu merge bine cu variabilele pe care le-ați găsit, va trebui să încercați din nou.

8 (-3) - 3 (-7) = -3, apoi -24 +21 = -3 TRUE.
5 (-3) -2 (-7) = -1, apoi -15 + 14 = -1 TRUE.
Prin urmare, variabilele pe care le găsim sunt corecte.

Metoda 3
Rezolvarea unei ecuații liniare cu substituție

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 11

Începeți prin rezolvarea unei ecuații pentru a găsi varianta. Indiferent de ce ecuație vă decideți să lucrați, nici măcar ce variabilă veți găsi mai întâi, soluția va fi întotdeauna aceeași. Cu toate acestea, este important ca procesul să fie cât mai simplu posibil. Ar trebui să alegeți ecuația care credeți că va funcționa cel mai mult. De exemplu, dacă există o ecuație în care unul dintre coeficienți este 1, cum ar fi x - 3y = 7, este mai recomandabil să alegeți acest lucru deoarece va fi ușor să găsiți valoarea lui `x`. De exemplu, să presupunem că ecuațiile noastre sunt:

x-2y = 10 (ecuația A) și -3x-4y = 10 (ecuația B). Puteți alege să lucrați cu x - 2y = 10, deoarece coeficientul de x din această ecuație este 1.
Pentru a găsi x în ecuația A, ar trebui să adăugăm 2y la ambele părți. Prin urmare, x = 10 + 2y.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebra Pasul 12

Înlocuiți constatările de la Pasul 1 în cealaltă ecuație. Pentru această etapă, va trebui să inserați (sau să înlocuiți) soluția de "x" în cealaltă ecuație cu care nu ați lucrat. Aceasta vă va permite să găsiți cealaltă variabilă, în acest caz "y". Să încercăm:

Introduceți "x" din ecuația B în ecuația A: -3 (10 + 2y) -4y = 10. Rețineți că eliminăm "x" din ecuație și introduceți valoarea pe care o reprezintă.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebra Pasul 13

Găsiți valoarea celeilalte variabile. Acum, că ați eliminat una din variabilele din ecuație, puteți găsi cealaltă variabilă. Pentru aceasta, este suficient să rezolvăm o ecuație liniară comună a unei variabile. Să rezolvăm a noastră:

-3 (10 + 2y) -4y = 10 este -30-6 și -4y = 10.
Dați valorile y: -30 - 10y = 10.
Deplasați -30 pe cealaltă parte: -10y = 40.
Găsiți valoarea lui y: y = -4.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebră Pasul 14

Găsiți a doua variabilă. Pentru aceasta, înlocuiți rezultatele pe care le-ați găsit pentru `y` sau prima variabilă într-una din ecuații. Apoi găsiți cealaltă variabilă, în acest caz `x`. Să încercăm:

Găsiți "x" în ecuația A prin introducerea y = -4: x - 2 (-4) = 10.
Simplificați ecuația: x + 8 = 10.
Găsiți valoarea lui x: x = 2.

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile liniare multivariabile în algebra Pasul 15

Verificați dacă valorile găsite pentru variabile funcționează pentru ambele ecuații. Înlocuiți valoarea celor două variabile din fiecare ecuație pentru a vă asigura că acestea creează ecuații adevărate. Să vedem dacă funcționează:

Ecuația A: 2 - 2 (-4) = 10 este TRUE.
Ecuația B: -3 (2) -4 (-4) = 10 este TRUE.

sfaturi

Fiți atenți la semne. Deoarece vor fi folosite multe operații de bază, schimbarea semnalelor poate afecta fiecare pas al calculului.
Confirmați răspunsurile finale. Puteți face acest lucru prin înlocuirea variabilelor cu valorile corespunzătoare obținute în răspunsul final în oricare dintre ecuațiile originale. Dacă ambele părți ale ecuației au aceeași valoare, înseamnă că răspunsul dvs. este corect.