Cum se fac fracții echivalente

Două fracțiuni sunt considerate echivalente atunci când au aceeași valoare. Știind cum să convertești o fracție la un echivalent este o aptitudine matematică esențială folosită de la algebra de bază la calculul avansat. Acest articol va acoperi mai multe moduri de calculare a fracțiunilor echivalente, de la înmulțire și diviziune de bază la metode mai complexe în rezolvarea problemelor.

conținut

Pași
Metoda 1formarea fracțiilor echivalente
Metoda 2folosind multiplicarea de bază pentru a determina echivalența
Metoda 3utilizarea diviziei de bază pentru a determina echivalența
Metoda 4folosind multiplicarea încrucișată pentru a rezolva o variabilă
Metoda 5folosind formula quadratică pentru a rezolva variabilele
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
Formarea fracțiilor echivalente

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 1$

Înmulțiți numitorul și numitorul cu același număr. Două fracții diferite, dar echivalente, au, prin definiție, numărători și numitori care sunt multiplii ai fiecăruia. Cu alte cuvinte, multiplicarea numărătorului și a numitorului unei fracții cu același număr va produce o fracție echivalentă. Deși numerele din noua fracție sunt diferite, fracțiile vor avea aceeași valoare.

De exemplu, dacă luăm fracțiunea 4/8 și înmulțim atât numerotatorul, cât și numitorul cu 2, avem (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Aceste două fracții sunt echivalente.
(4 × 2) / (8 × 2) este în esență egală cu 4/8 × 2/2. Amintiți-vă că prin înmulțirea a două fracții, se înmulțește transversal, adică numărător cu numărător și numitor cu numitor.
Rețineți că 2/2 este egal cu 1, când se face divizarea. Prin urmare, este ușor de văzut de ce 4/8 și 8/16 sunt echivalente, deoarece se înmulțesc 4/8 × (2/2) = 4/8. Puteți spune același lucru în 4/8 = 8/16.
Orice fracție are un număr infinit de fracțiuni echivalente. Este posibil să se înmulțească numărătorul și numitorul cu orice număr întreg, indiferent cât de mare sau mic, pentru a obține o fracție echivalentă.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 2$

Împărțiți numitorul și numitorul cu același număr. Ca și în cazul înmulțirii, diviziunea poate fi de asemenea utilizată pentru a descoperi o nouă fracție echivalentă cu fracțiunea inițială. Pur și simplu împărțiți numitorul și numitorul unei fracții cu același număr pentru a obține o fracțiune echivalentă. Există un punct în acest proces - fracția rezultată trebuie să aibă numere întregi atât în numerotator cât și în numitor, pentru a fi considerată valabilă.

De exemplu, să aruncăm o privire la fracția 4/8. Dacă, în loc de înmulțire, divizăm atât numerotatorul cât și numitorul cu 2, vom avea (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Ambele 2 și 4 sunt numere întregi, astfel încât fracțiunea echivalentă este validă.

Metoda 2
Folosind multiplicarea de bază pentru a determina echivalența

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 3$

Găsiți numărul prin care trebuie multiplicat cel mai mic numitor pentru a genera cel mai mare numitor. Multe probleme fracționate implică determinarea dacă două fracții sunt echivalente. Când se calculează acest număr, puteți începe să puneți ambele fracții pe termeni egali pentru a determina echivalența.

De exemplu, luați din nou fracțiunile 4/8 și 8/16. Cel mai mic numitor, 8, și noi ar trebui să înmulțim acest număr cu 2 pentru a-l face cel mai mare, care este 16. Astfel, numărul în acest caz va fi 2.
În cazul unor numere mai grele, puteți împărți cel mai mare numitor cu cel mai mic număr. În acest caz, 16 vor fi împărțite la 8, rezultând 2.
Este posibil ca numărul să nu fie întotdeauna întreg. De exemplu, dacă numitorii au fost 2 și 7, numărul în cauză ar fi de 3,5.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 4$

Înmulțiți numitorul și numitorul fracțiunii exprimate în termeni mai mici cu numărul primei etape. Două fracții diferite, dar echivalente au, prin definiție, numărătorii și numitorii multipli ai celuilalt. Cu alte cuvinte, multiplicarea numărătorului și a numitorului unei fracții cu același număr va produce o fracție echivalentă. Deși numerele din această nouă fracție vor fi diferite, fracțiile vor avea aceeași valoare.

De exemplu, dacă luăm primul pas al fracțiunii 4/8 și multiplicatori atât numărătorul și numitorul cu numărul 2, așa cum este determinat de mai sus, avem (4 x 2) / (8 x 2) = 8/16 - dovedind astfel că ambele fracțiuni sunt echivalente.

Metoda 3
Utilizarea diviziei de bază pentru a determina echivalența

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 5$

Calculați fiecare fracție ca număr zecimal. În cazul fracțiilor simple fără variabile, puteți explica fiecare fracție ca număr zecimal pentru a determina echivalența. Deoarece fiecare fracțiune este într-adevăr o problemă de diviziune de la început, aceasta este cea mai simplă modalitate de a determina echivalența.

De exemplu, să luăm pe cele deja folosite 4/8. Fracțiunea 4/8 este echivalentă cu calculul a 4 împărțit la 8, adică 4/8 = 0,5. De asemenea, puteți rezolva și celălalt exemplu, adică 8/16 = 0,5. Indiferent de termenii unei fracțiuni, ele sunt echivalente dacă ambele numere sunt exact aceleași atunci când sunt exprimate în formă zecimală.
Amintiți-vă că expresia zecimală poate urma mai multe cifre înainte ca diferența de echivalență să devină evidentă. Ca exemplu de bază, 1/3 = 0,333, în timp ce 3/10 = 0,3. Când utilizați mai mult de o cifră, puteți observa că cele două ecuații nu sunt echivalente.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 6$

Împărțiți numitorul și numitorul unei fracțiuni cu același număr pentru a obține o fracție echivalentă. În cazul fracțiunilor mai complexe, metoda divizării necesită etape suplimentare. Ca și în metoda de multiplicare, este posibilă împărțirea numărătorului și a numitorului unei fracții cu același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Există un secret al acestui proces. Fracțiunea rezultată trebuie să aibă valori întregi în numerotator și numitor.

De exemplu, să aruncăm o privire la fracția 4/8. Dacă, în loc să le multiplicăm, pentru a împărți numitorul și numitorul cu 2, vom avea (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 și 4 sunt ambele numere întregi, astfel încât această fracție echivalentă este validă.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 7$

Reduceți fracțiunile la termenii lor minime. Cele mai multe fracții ar trebui exprimate în mod normal în termenii lor minime și va fi posibil să le convertiți la acești termeni minime prin împărțirea lor cu cel mai mare factor comun (MFC). Acest pas operează folosind aceeași logică în exprimarea fracțiunilor echivalente atunci când le convertește pentru a avea același numitor, dar această metodă încearcă să reducă fiecare fracțiune la termenii săi cei mai scăzuți.

Atunci când o fracțiune este în termenii ei cei mai simpli, numerotatorul și numitorul ei sunt atât de mici cât pot fi, și nici nu pot fi împărțiți cu nici un număr întreg pentru a obține un număr mai mic. Pentru a converti o fracțiune care nu este în cel mai simplu termen într-o astfel de este, împărțim numitorul și numitorul cu acesta cel mai mare factor comun.
Cel mai mare factor comun (CFM) al numărătorului și numitorului este numărul mai mare care împarte cele două pentru a obține un rezultat întreg. Astfel, în copia noastră 4/8, de atunci 4 este cel mai mare număr care împarte atât la 4 la 8, se împarte numărătorul și numitorul fracției noastre de 4 pentru a obține cei mai simpli termeni: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. În celălalt exemplu, 8/16, MFC este 8, prin care ajungem și la rezultatul 1/2 ca fiind cea mai simplă expresie a fracției.

Metoda 4
Folosind multiplicarea încrucișată pentru a rezolva o variabilă

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 8$

Se potrivesc cele două fracții. Noi folosim multiplicare încrucișată în probleme matematice pe care le cunoaștem a fi echivalente, dar în care unul dintre numerele uneia dintre ele a fost înlocuit de o variabilă (de obicei x) care trebuie rezolvată. În astfel de cazuri, știm că fracțiunile sunt echivalente, deoarece sunt singurii termeni de pe laturile opuse ale semnului egalității, însă această rezoluție nu este întotdeauna evidentă. Din fericire, în multiplicarea încrucișată, rezolvarea acestor probleme este ușoară.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 9$

Luați ambele fracțiuni echivalente și înmulțiți-le transversal, sub formă de "X". Cu alte cuvinte, trebuie să multiplicăm numitorul unei fracții de către numitorul celuilalt și viceversa, apoi să determinăm aceste două răspunsuri egale și rezolvând problema.

Luați cele două exemple 4/8 și 8/16. Ele nu conțin o variabilă, dar este posibil să demonstrăm conceptul, deoarece deja știm că suntem echivalenți. Prin multiplicarea încrucișată, avem 4 × 16 = 9 × 9 sau 64 = 64, ceea ce este fără îndoială adevărat. Dacă cele două numere nu sunt identice, fracțiunile nu sunt echivalente.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 10$

Introduceți o variabilă. Deoarece multiplicarea încrucișată este cea mai ușoară cale de a determina fracțiuni echivalente atunci când rezolvăm o variabilă, să introducem una necunoscută.

De exemplu, ia în considerare ecuația 2 / x = 10/13. Pentru a multiplica încrucișarea, vom înmulți 2 cu 13 și 10 cu x, apoi definind aceleași răspunsuri unul altuia:
- 2 × 13 = 26
- 10x = 10x
- 10x = 26
  - De aici, obținerea unui răspuns la variabila noastră este o chestiune de algebră simplă. X = 26/10 = 2.6, definind fracțiunile echivalente inițiale ca 2 / 2.6 = 10/13.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 11$

Utilizați multiplicarea încrucișată în ecuații cu mai multe variabile sau expresii cu necunoscute. Unul dintre cele mai bune puncte în multiplicarea încrucișată este acela că funcționează în esență același mod, indiferent dacă aveți de-a face cu două fracții simple (ca mai sus) sau cu fracțiuni mai complexe. De exemplu, dacă ambele fracții conțin variabile, ar trebui să le eliminați numai la sfârșitul procesului de rezoluție. În mod similar, dacă numerotatorii sau numitorii fracțiunilor conțin expresii cu variabile (cum ar fi x + 1), pur și simplu "multiplicați" proprietate distributivă și rezolva-le în mod normal.

De exemplu, ia în considerare ecuația [(x + 3) / 2] = [(x + 1) / 4)]. În acest caz, ca și înainte, îl vom rezolva cu multiplicarea încrucișată:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) x 2 = 2 x 2
- 2x + 2 = 4x + 12
  - Vom simplifica ecuația scăzând 2x de ambele părți.
- 2 = 2x + 12
  - Aici, vom izola variabila scăzând 12 de ambele părți.
- -10 = 2x
  - Vom împărți ambele numere cu 2 pentru a descoperi x.
- -5 = x

Metoda 5
Folosind formula quadratică pentru a rezolva variabilele

$Imagine intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 12$

Înmulțiți cele două fracțiuni în cruce. În problemele de echivalență care necesită formula quadratică, vom începe încă prin multiplicarea încrucișată. Cu toate acestea, orice multiplicare care implică înmulțirea termenilor variabili cu alți termeni variabili va duce probabil la o expresie care nu va fi ușor rezolvată cu algebră pură. În astfel de cazuri, poate fi necesar să se utilizeze tehnici precum factoring și formulele patrate.

De exemplu, să observăm ecuația [(x + 1) / 3] = [4 / (2x-2)]. Inițial, vom multiplica încrucișat:
- (x + 1) x (2x-2) = 2x²+2x-2x-2 = 2x²-2
- 4 × 3 = 12
- 2x²-2 = 12

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 13$

Exprimați ecuația ca o ecuație patratică. În acest moment, dorim să exprimăm această ecuație în formă patratică (ax²+bx + c = 0), care se poate face prin echivalarea lui la zero. În acest caz, scădem 12 de ambele părți pentru a obține 2x²-14 = 0.

Unele valori pot fi egale cu 0. Deși 2x²-14 = 0 este cea mai simplă formă pentru ecuație, ecuația quadratică reală este reprezentată de 2x²+0x + (- 14) = 0. Este util să observați forma quadratică a unei ecuații, chiar dacă unele dintre valorile sale sunt egale cu 0.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 14$

Soluiți-o introducând numerele ecuației în formula patratică. Formula quadratică x = [-b ± √ (b²-4ac)] / 2a ne va ajuta să ne dăm seama de valoarea x. Nu fi intimidat de dimensiunea formulei. Pur și simplu luați valorile ecuației patrate în pasul doi și inserați-le în punctele corespunzătoare înainte de a le rezolva.

[x = (-b ± √ (b²-4ac)] / 2a
- În ecuația noastră, 2x²-14 = 0, a = 2, b = 0 și c = -14.
x = [-0 ± √ (0²-4 (2) (- 14))] / 2 (2)
x = [± √ (0 - (- 112)]] / 2 (2)
x = [± √112] / 2 (2)
x = ± √ 10,58 / 4
x = ± 2,64

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 15$

Verificați răspunsul introducând valoarea x în ecuația patratică. Introducând valoarea calculată în ecuația patratică a pasului doi, puteți să determinați cu ușurință dacă ați ajuns la răspunsul corect. În acest exemplu, veți pune atât 2,64, cât și -2,64 în ecuația patratică.

sfaturi

Convertirea fracțiunilor în forma echivalentă este o modalitate de multiplicare a acestora cu 1. Când convertiți 1/2 la 2/4, înmulțiți numitorul și numitorul cu 2 este același cu multiplicarea 1/2 cu 2/2, rezultând 1.
Dacă preferați, convertiți numerele mixte în fracțiuni necorespunzătoare pentru a facilita conversia. Evident, nu toate fracțiunile vor fi la fel de simple de convertit ca exemplul 4/8 de mai sus. De exemplu, numerele mixte (cum ar fi 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) pot face procesul de conversie un pic mai complicat. Dacă aveți nevoie pentru a converti un număr de amestecat într-o fracție echivalentă, o puteți face în două moduri: transformarea numărului amestecat într-o fracțiune necorespunzătoare și transformarea acestuia în mod normal, sau păstrarea numărului mixt și obținerea unui număr mixt de răspuns.
- Pentru ao transforma într-o fracțiune necorespunzătoare, multiplicați componenta intregă cu numitorul componentei fracționate adăugând-o numeratorului. De exemplu, 1 2/3 = [(1 × 3) +2] / 3 = 5/3. Apoi, dacă preferați, îl puteți converti liber. De exemplu, 5 / x × 2/2 = 10/6, care este echivalent cu 1 2/3.
- Cu toate acestea, nu este necesar transformați-o într-o fracțiune necorespunzătoare, așa cum a fost descris anterior. Dacă nu facem acest lucru, vom ignora componenta intregă, vom converti componenta fracționată izolată și apoi vom adăuga componenta intregă neschimbată. De exemplu, în cazul celor 3 4/16, vom observa doar 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Astfel, atunci când adăugăm componenta intregă, avem un nou număr mixt, sau 3 1/4.

avertismente

Înmulțirea și divizarea prin obținerea de fracțiuni echivalente, deoarece multiplicarea și împărțirea prin formele fracționate de numărul 1 (2/2, 3/3, etc.) rezultă, prin definiție, în răspunsuri echivalente cu fracțiunea inițială. Adăugarea și scăderea nu permit această posibilitate.
Deși multiplicați numerotatorii și numitorii împreună prin înmulțirea fracțiunilor, nu puteți adăuga sau scădea numitori atunci când adăugați sau scădeți fracții.
- De exemplu, mai sus, descoperim că 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Dacă, în schimb, pentru a adăuga 4/4, vom avea un răspuns complet diferit: 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 sau 3/2, dintre care nici unul nu este egal cu 4/8.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit