Cum se calculează transformarea Fourier a unei funcții

Transformările Fourier pot fi ușor de înțeles dacă anumite pași sunt urmăriți cu atenție. Aceste transformări stau la baza multor părți ale civilizației moderne, printre care comunicarea mobilă și fotografia digitală, laserele și optica. Transformatelor Fourier sunt ramificate la alte instrumente ca onduletas discrete transformate (cunoscute a fi utilizate în JPEG și MPEG), recunoașterea modelelor, finanțe, imagistică medicală și multe alte aplicații.

pași

1
Aflați ce este o funcție periodică. O funcție periodică își reia forma la intervale de timp cunoscute. Asta este f ( T ) = f ( T + nT), unde n este orice număr întreg.
- Aceste intervale sunt numite perioade. În relația anterioară, T este perioada.
2
3
Aflați ideea de bază despre Fourier în propria voastră limbă.
- Orice funcție periodică poate fi descompusă și scrisă în funcție de anumite cantități de funcții sinusoidale de bază cu perioade simple.
- Fiecare funcție sinusoidală are o frecvență de un număr întreg de frecvență de bază.
4
5
Ecuația de mai sus spune că orice funcție periodică poate fi scrisă sau extinsă ca suma de
- o valoare constantă, ½ ₀, cunoscută și sub numele de valoarea DC, și diferite funcții sinusoidale. În funcție de funcția inițială, o parte din expansiune poate fi zero.
- ω₀ este frecvența de bază circulară care poate fi ușor calculată din perioada de bază T.
- Numai rămâne să calculați ₀ și o formulă care creează toate ₀ și toate b₀. Faceți acest lucru utilizând proprietatea ortogonalității funcției sinusoidale.
6
Aflați semnificația funcțiilor "ortogonale". Funcțiile ortogonale sunt perpendiculare între ele. Aceasta înseamnă că, dacă alegeți două, de exemplu, f ( T ) și g ( T ) din total, atunci
- ortogonalitate
- Funcțiile sinusoidale sunt mai multe funcții ortogonale.
- Comparați aceasta cu noțiunea de bază a vectorilor perpendiculați, unde produsul lor scalar este egal cu zero. Produsul scalar este suma produselor parțiale ale celor doi vectori. În acest caz, în loc de suma, trebuie calculat un integral.
7
Cunoașteți diferența dintre un "vector" și un "phasor".
- Un vector ia un punct într-o linie dreaptă în alt punct.
- Un phasor implică un vector în jurul unui punct cu un gard de frecvență circulară ω. Un phasor este un vector rotativ.
8
Rețineți că, atunci când un vector de lungime fixă este de cotitură în jurul unui punct, proiecția sa pe axa reale modificările de la o valoare maximă la zero și apoi, treptat, la o valoare maximă negativă, și apoi înapoi la zero și valoarea maximă pozitivă.
9
Lungimea de proiecție a unui vector rotativ - umbrit pe axa imaginară - modifică sinusoidal.
10
Să concluzionăm că o funcție sinusoidală poate fi scrisă ca un phasor și că în acest fel este mai ușor să se ocupe de seria Fourier. Comparați rezultatul cu forma sinusoidală. Toate preocupările ₀_nb_n nu mai există. Există un singur factor _k care trebuie calculată. Calculele sunt realizate dintr - un simplu element integrat f ( T ) care obține toți coeficienții dintr-o dată. Acum bucătarul menționat mai sus face orice fel de tort cu un singur ingredient.
11
Interpretați extinderea pentru f ( T ). Ce nu este cunoscut în expansiune?
- Trebuie să calculați un număr infinit de _k„S.
- toate _ks pot fi ușor calculate prin integrare f ( T ) care are ca rezultat toți termenii.
  - În loc de "toți termenii", notația {a_k } este utilizat.
  - {a_k } este cunoscut sub numele de f ( T ).
- f ( T ) este, de fapt, sinteza numerelor infinite de fazori cu lungimi diferite care se rotesc cu frecvențe armonice în raport cu ω₀ de f ( T ) în ambele direcții, în sensul acelor de ceasornic și în sens antiorar, deoarece k cicluri prin numerele întregi pozitive și negative.
12
Uită-te la pereche de formule ca o transformare, mai degrabă decât ca o serie de expansiune. Când ai f ( T ), tu ai _k. În schimb, când _k, unul se obține f ( T ). Valorile lui _k sunt transformate din f ( T ). Valoarea lui f ( T ) este transformarea inversă a lui _k„S. Aceasta este scrisă după cum urmează,
13
Notă. Se pare că există două domenii. f ( T ) este în domeniul timpului, dar_ksunt în domeniul numerelor întregi. Astfel, extinderea Fourier transformă un domeniu în altul și invers.
- Din acest motiv, este considerat o transformare a lui timp continuu.
- Oamenii care studiaza undele folosesc un osciloscop pentru a observa unda continua de timp si un spectru pentru a analiza liniile sau spectrele undei respective.
14
Observați cel mai frecvent exemplu. O fereastră dreptunghiulară, de exemplu, care se deschide și se închide regulat. Sau o ștampilă temporizată care lucrează în mod regulat. Este o secvență de impulsuri cu durată fixă.
15
- Acesta este cel mai simplu exemplu de a calcula folosind K-12 sau cunoștințe de calcul echivalente, deoarece integralele interne f ( T ) este egal cu unul dintr-o parte și egal cu zero în altele și trebuie să calculați integralul unui exponențial care este egal cu el însuși, independent de coeficient. La acest nivel, sunteți familiarizați cu convertirea exponențelor complexe la un sinusoidal. Rezultatul este o funcție sinc. Pur și simplu, sinc ( x ) = Sen ( x ) / x. Elimină o funcție sinusoidală la unghiul său, similar procentului.
- Funcția de sincronizare ca plic
  Desenați plicul de la _k .
- Desenați plicul de la |_k | pentru a aprecia scăderea salturilor.
- Fiecare curbă din funcție sinc este umplut cu o anumită cantitate de linii de spectru.
- Efectuarea fiecărui puls al fluxului mai îngust determină creșterea numărului de linii din spectru și apare mai densă și dau impresia că spectrul este de fapt o funcție sinc și nu discret.
16
Rețineți că acum priviți extinderea seriei Fourier a unei funcții periodice ca o transformare a două domenii. Rămâne să vedem care este transformarea unei funcții neperiodice.
17
Afirmă-ți așteptările că extinderea unei funcții neperiodice va fi sub forma unei integrări, mai degrabă decât a unei însumări.
- Esti corect ca acest integrator Fourier contrasteaza cu seria Fourier.
18
Astfel, transformarea Fourier pentru funcțiile "timpului continuu" poate fi o serie Fourier sau integrale.
19
Luați în considerare un singur impuls dreptunghiular. Vedeți pulsul dacă se deschide o fereastră dreptunghiulară și este închisă o singură dată. Sau dacă se pornește și se oprește un motor pas cu pas.
20