Cum de a inversa o matrice 3X3

Operațiile inversate sunt adesea folosite în algebră pentru a simplifica operațiunile care altfel ar fi mai dificile. De exemplu, dacă o problemă vă cere să divizați cu o fracțiune, este mai ușor să înmulțiți prin reciprocitate. Acest caz este o operație inversă. În mod similar, deoarece nu există un operator de divizare pentru matrice, este necesar să se înmulțească prin matricea inversă. Calculul invers al unei matrice 3x3 manual este o operație destul de plictisitoare, dar merită verificată. De asemenea, puteți găsi matricea inversă cu un calculator avansat de grafic.

conținut

Pași
Metoda 1crearea matricei atașate pentru a găsi inversul
Metoda 2folosind reducerea liniară pentru a calcula matricea inversă
Metoda 3utilizarea unui calculator pentru a calcula matricea inversă
Sfaturi
Avertismente
Surse și cotatii

pași

Metoda 1
Crearea matricei atașate pentru a găsi inversul

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 1

Calculați determinantul matricei. Ca pas inițial, trebuie să calculați determinantul matricei. Dacă aceasta este egală cu 0, munca dvs. este terminată, deoarece matricea nu are un caracter invers. Determinantul matricei M poate fi reprezentat simbolic ca Det (M).

Pentru a găsi inversul unei matrice 3x3, trebuie mai întâi să calculați determinantul.
Pentru a reaminti calculul determinantului, citiți "Cum se găsește determinantul unei matrice 3x3“.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 2

Transformați matricea originală. Transpune constă dintr-o matrice o reflecta pe diagonala principala, sau, echivalent, pentru a face schimb de elementele (i, j) prin (j, i). În transpunerea termenii matricei, veți vedea că diagonala principală (de la stânga sus la dreapta jos) nu se schimbă.

Un alt mod de a gândi despre transpunere este să rescrieți prima linie în locul primei coloane, a doua linie în locul coloanei de mijloc și a treia linie în locul ultimei coloane. Uită-te la elementele colorate din diagrama de mai sus și vezi unde au fost schimbate pozițiile.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 3

Calculați factorul determinant al fiecărei matrice 2x2 mai mici. Fiecare element al matricei noi transpuse 3x3 este asociat cu o matrice 2x2 mai mică. Pentru a calcula matricea minoră respectivă pentru fiecare termen, evidențiați rândul și coloana termenului inițial. Ar trebui să includă cinci valori din matrice. Cele patru valori rămase, la rândul lor, vor alcătui matricea mai mică.

În exemplul de mai sus, dacă doriți cea mai mică matrice a termenului din cel de-al doilea rând al primei coloane, evidențiați cele cinci valori prezente în al doilea rând și în prima coloană. Cei patru termeni rămași vor alcătui matricea minoră.
Calculați factorul determinant al fiecărei matrici mai mici făcând o multiplicare încrucișată între diagonale și scăderea așa cum este arătat mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 4

Creați matricea cofactorului. Se pune rezultatele etapei anterioare într-o nouă serie de co-factori, aliniind fiecare matrice mai mici cu poziția corespunzătoare din matrice originală. Astfel, determinantul calculat de la punctul (1.1) al matricei originale va fi în poziția (1,1). Apoi, trebuie să inversați semnalul cu termeni alternativi din această nouă matrice, urmat de modelul "placă" prezentat mai sus.

Când setați semnalele, primul element al primei linii va păstra semnalul original. Al doilea element, la rândul său, va fi inversat, în timp ce cel de-al treilea element va rămâne cu semnalul original. Continuați, în același mod, pe întreaga matrice. Rețineți că semnele (+) sau (-) din diagramă nu sugerează că termenul final ar trebui să fie pozitiv sau negativ. Ele sunt indicatori că este necesar să păstrați (+) sau să inversați (-) semnalul pe care la avut numărul la început.
Rezultatul final al acestei etape se numește matricea parentală a originalului. Este exprimată ca Adj (M).

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 5

Împărțiți fiecare termen al matricei închise de determinant. Luați valoarea determinantului lui M calculat în prima etapă (pentru a dovedi că inversul a fost posibil) și acum împărțiți fiecare dintre termenii matricei cu acea valoare. Puneți rezultatul fiecărui calcul în spațiul inițial al termenului. Rezultatul va fi inversul matricei originale.

Pentru matricea exemplului prezentat în diagramă, determinantul va fi egal cu 1. Astfel, împărțirea fiecărui termen al matricei închise va duce la el (nu veți fi întotdeauna atât de norocos).
În loc de împărțire, unele surse reprezintă acest pas prin înmulțirea fiecărui termen al lui M cu 1 / Det (M). Matematic, ambele sunt echivalente.

Metoda 2
Folosind reducerea liniară pentru a calcula matricea inversă

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 6

Adăugați matricea de identitate la original. Scrieți matricea originală M, face o linie verticală la dreapta de ea, și apoi scrie matricea de identitate la dreapta liniei. Veți avea acum ceea ce pare a fi o matrice cu trei rânduri și șase coloane.

Nu uitați că matricea identitate este un tip special, care conține 1 valori în fiecare dintre spațiile de pe diagonala principală, din stânga sus spre dreapta jos, și valoarea 0 în toate celelalte.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 7

Faceți operațiile de reducere liniară. Scopul este de a crea matricea de identitate pe partea dreaptă a acestei matrice extinsă. În timp ce facem reducerea liniară pe partea stângă, este necesar să facem aceleași operații pe partea dreaptă, care au început ca matrice de identitate.

Rețineți că reducerile liniare sunt făcute ca o combinație între operațiile de multiplicare scalară și operațiile de adăugare sau scădere liniară pentru a izola termenii individuali de matrice.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 8

Continuați până când ați format matricea de identitate. Continuați să faceți scăderi liniare până când partea stângă a matricei extinse afișează matricea de identitate (diagonală cu valori 1 și valori 0 în spațiile rămase). La atingerea acestui punct, partea dreaptă a divizorului vertical va fi aceeași cu cea inversă a matricei originale.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 9

Scrieți matricea inversă. Copiați elementele care apar acum pe partea dreaptă a divizorului vertical ca matrice inversă.

Metoda 3
Utilizarea unui calculator pentru a calcula matricea inversă

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 10

Alegeți un calculator capabil să calculeze matricele. Calculatoarele simple, din patru operații, nu vă pot ajuta direct să calculați matricea inversă. Cu toate acestea, datorită calculelor repetitive efectuate, un calculator avansat de grafică, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86, poate face munca mult mai ușoară.

Imaginea intitulată Găsiți inversarea matricei 3x3 Pasul 11

Introduceți matricea în calculator. Mai întâi, introduceți funcția de matrice în calculator apăsând pe matrice, dacă este prezent. Pe calculatoarele Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați 2^nd matrice.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 12

Accesați submeniul edita. Pentru a le găsi, în funcție de model, este posibil să fie nevoie să utilizați săgețile sau să alegeți tasta funcțională corespunzătoare din partea de sus a tastaturii numerice a calculatorului.

Imaginea intitulă Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 13

Determinați un nume pentru matrice. Cele mai multe calculatoare sunt echipate pentru a lucra cu un număr de trei până la zece matrici, etichetate A la J. De obicei, alegeți doar [A] pentru a începe lucrarea. Apăsați tasta. introduce după efectuarea selecției.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 14

Setați dimensiunile matricei. În exemple, lucrăm cu matrice 3x3, dar calculatorul se poate ocupa de dimensiuni mai mari. Introduceți numărul de linii dorite, apăsați introduce, și introduceți numărul de coloane apăsând introduce.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 15

Introduceți fiecare dintre elementele matrice. Ecranul pentru calculator va afișa un tablou. Dacă ați făcut deja modificări la funcția corespunzătoare, matricea definită va fi afișată pe ecran. Cursorul, la rândul său, deblochează primul dintre elementele sale. Introduceți valoarea matricei pe care doriți să o găsiți și apăsați introduce. Cursorul se va muta automat la următorul element din matrice, suprascriind alte valori anterioare.

Dacă doriți să introduceți un număr negativ, puteți utiliza butonul (-) de pe computer în loc să efectuați scăderea. Funcția de matrice, în caz contrar, nu va citi numărul corect.
Dacă este necesar, puteți utiliza tastele săgeți de pe calculator pentru a vă deplasa în jurul matricei.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 16

Ieșiți din funcția matrice. După ce ați introdus toate valorile necesare, apăsați pe părăsi (sau 2^nd părăsi, dacă este necesar). Aceasta va ieși din funcția de matrice și vă va reveni pe ecranul principal al calculatorului.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 17

Utilizați tasta inversă pentru a găsi matricea inversă. Mai întâi, re-deschideți funcția și utilizați funcția Nume pentru a alege eticheta utilizată în denumirea matricei sale (posibil [A]). Apoi apăsați butonul invers al calculatorului,

{ displaystyle x ^ -1}

-1{ displaystyle A-1}

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei 3x3 Pasul 18

Convertiți matricea inversă în răspunsuri exacte. Prima operație oferită de calculator este în format zecimal și nu este considerată "exacte" în majoritatea cazurilor. Ar trebui să convertiți răspunsurile zecimale la forma fracționată după cum este necesar (dacă aveți noroc, rezultatele vor fi întregi, dar acest lucru este rar).

Calculatorul are probabil o funcție care transformă automat zecimalele în fracții. De exemplu, atunci când utilizați un TI-86, introduceți Math, selecta Diverse și frac, presare introduce să urmeze. Decimalele vor apărea automat ca fracțiuni.

sfaturi

Puteți urma pașii de mai sus pentru a calcula inversul unui matrice care conține nu numai numere, ci variabile, necunoscute sau chiar expresii algebrice.
Scrieți toți pașii deoarece este foarte dificil să calculați inversul unei matrice 3x3.
Există programe de calculator care calculează inversul meselor pentru dvs., venind să lucreze cu dimensiuni de 30x30 sau mai mari.
Verificați exactitatea rezultatului dvs., indiferent de metoda aleasă, deînmulțit M de M^-1. În acest fel, puteți confirma că M * M^-1 = M^-1* M = I. I reprezintă matricea identității, care constă din valori 1 pe diagonala principală și valori 0 în celelalte spații. Dacă nu este cazul, este posibil să fi greșit undeva.

avertismente

Nu toate matricile 3x3 au invers. Dacă determinantul matricei este egal cu 0, indică faptul că nu are o inversă (rețineți că în formula am făcut o împărțire de către Det (M) - o divizare cu zero este considerată nedeterminată).