Cum se simplifică fracțiunile complexe

Fracțiunile complexe sunt cele în care numitorul, numitorul sau ambele conțin fracțiuni în ele însele. Din acest motiv, fracțiunile complexe sunt uneori numite "fracțiuni stivuite". Simplificarea acestora este un proces care poate varia de la ușor la dificil, în funcție de câți termeni sunt prezenți în numărător și numitor, oricare dintre termeni fiind variabil și, dacă da, complexitatea termenilor menționați. Consultați Pasul 1 pentru a începe!

conținut

Pași
Metoda 1simplificarea fracțiilor complexe cu multiplicare inversă
Metoda 2simplificarea fracțiunilor complexe care conțin termeni variabili
Sfaturi

pași

Metoda 1
Simplificarea fracțiilor complexe cu multiplicare inversă

$Imagine intitulată Simplificați fracțiunile complexe Pasul 6$

Dacă este necesar, simplificați numărul și numitorul în fracțiuni unice. Fracțiunile complexe nu sunt în mod necesar dificil de rezolvat. De fapt, aceia în care numitorul și numitorul conțin ambele fracțiuni simple sunt, de obicei, destul de ușor de rezolvat. Astfel, dacă numitorul sau numitorul fracțiunii complexe (sau ambelor) conține fracțiuni multiple sau fracțiuni cu întregi, simplificați cât este necesar pentru a obține o fracțiune simplă în una sau în alta. Acest lucru poate fi necesar găsiți divizorul cel mai puțin comun (mDC) a două sau mai multe fracții.

De exemplu, să presupunem că vrem să simplificăm fracțiunea complexă (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). În primul rând, am simplifica numerotatorul și numitorul fracțiilor complexe în fracțiuni simple.
- Pentru a simplifica numărul de numerar, vom folosi mDC de 15 înmulțind 3/5 cu 3/3. Numerotul nostru va deveni 9/15 + 2/15, rezultând în 11/15.
- Pentru a simplifica numitorul, vom folosi mDC de 70 înmulțind 5/7 cu 10/10 și 3/10 cu 7/7. Numitorul nostru va deveni 50/70 - 21/70, rezultând în 29/70.
- Prin urmare, noua fracțiune complexă va fi (11/15) / (29/70).

Imaginea intitulată Înțelegerea Cercului unității Pasul 10

Întoarceți numitorul pentru a-i găsi inversul. Prin definiție, pentru a împărți un număr pentru altul este echivalent cu înmulțiți primul cu inversul celui de-al doilea. Acum, când obținem o fracțiune complexă cu fracțiuni simple în numitor și numitor, putem folosi proprietatea divizării pentru ao simplifica! Inițial, găsiți inversul fracției din partea inferioară a fracțiunii complexe. Faceți acest lucru prin "inversarea" fracțiunii - prin setarea numărătorului său în locul numitorului și invers.

În exemplul nostru, fracțiunea din numitorul fracțiunii complexe (11/15) / (29/70) este de 29/70. Pentru a-și găsi inversul, noi doar "spin" pentru a obține 70/29.
- Rețineți că, dacă fracțiunea dvs. complexă are un număr în numitor, puteți să o tratați ca o fracțiune și să găsiți inversul în același mod. De exemplu, dacă fracțiunea noastră complexă a fost (11/15) / (29), putem defini numitorul ca 29/1, rezultând inversul 1/29.

Înmulțiți numitorul fracțiunii complexe cu inversul numitorului. Acum că ați obținut inversul numitorului fracțiunii complexe, înmulțiți-l cu numărul de numerar pentru a obține o fracțiune simplă! Amintiți-vă că pentru a multiplica două fracții se înmulțește simplu cuvinte încrucișate - numerotatorul noii fracții este produsul numărătorilor celor doi în original și, în mod asemănător, cu numitorul.

În exemplul nostru, vom multiplica 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 și 15 × 29 = 435. În cele din urmă, noua noastră fracțiune simplă este 770/435.

Imagine intitulată Înțelegerea calculului Pasul 4

Simplificați noua fracție găsind cel mai mare factor comun. Acum avem o fracțiune simplă, deci ceea ce am lăsat este să o rezolvăm în termenii cei mai simpli. Găsiți maxim divizor comun (MDC) a numărătorului și numitorului, împărțind ambele cu acest număr pentru ao simplifica.

Un factor comun de 770 și 435 este 5. Astfel, dacă împărțim numerotatorul și numitorul fracțiunii noastre cu 5, vom obține 154/87. Numerele 154 și 87 nu au nici o comunitate, așa că am găsit răspunsul nostru final!

Metoda 2
Simplificarea fracțiunilor complexe care conțin termeni variabili

$Imaginea intitulată Simplificați fracțiunile complexe Pasul 4$

Când este posibil, utilizați metoda de înmulțire inversă descrisă mai sus. În mod evident, orice fracție complexă poate fi simplificată prin reducerea numărătorului și numitorului său la fracțiuni simple și înmulțirea numărătorului cu inversul numitorului. Fracțiunile complexe care conțin variabile nu sunt o excepție, cu toate că, cu cât expresiile variabile mai complicate în fracțiunea complexă sunt mai complicate, cu atât mai dificilă și mai consumatoare de timp va fi utilizarea multiplicării inverse. Pentru fracții complexe „ușor“ care conțin variabile, multiplicarea inversă este o alegere bună, dar fracțiuni complexe cu multiple termeni variabile în numărătorul și numitorul poate fi mai ușor să fie simplificat prin metoda alternativă descrisă mai jos.

De exemplu, (1 / x) / (x / 6) este ușor de simplificat cu o multiplicare inversă. 1 / x x 6 / x = 6 / x². Aici nu este nevoie să folosiți o metodă alternativă.
Cu toate acestea, (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5).)) Este mai dificil să fie simplificat cu inversul Înmulțire Reducerea numărătorul și numitorul acestui complex fracții la fracții simple, înmulțiți termeni încrucișate și pentru a reduce rezultatul la cei mai simpli factori vor fi probabil un proces complicat. în acest caz, următoarea metodă alternativă se poate dovedi mai ușor.

Imaginea intitulată Rezolvați o expresie algebrică Pasul 4

Dacă multiplicarea inversă nu este practică, începeți prin a găsi numitorul cel mai puțin comun al termenilor complexi ai fracțiunilor. Primul pas în această metodă alternativă de simplificare este acela de a găsi mDC a tuturor termenilor fracțiunii complexe - atât în numărător, cât și în numitorul său. În mod normal, dacă unul sau mai mulți termeni fracționali au variabile în numitorii lor, mDC-ul lor va fi produsul numitorilor lor.

Acest lucru devine mai ușor de înțeles cu un exemplu. Să încercăm să simplifice fracțiunea complexă menționată mai sus :. (((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))) Termenii fracțiunii complexe sunt (1 ) / (x + 3) și (1) / (x - 5) Numitorul comun al acestor două fracții va fi produsul numitorilor lor: (x + 3) (x-5).

Înmulțiți numitorul fracțiunii complexe cu ajutorul mDC-ului găsit. Apoi, trebuie să înmulțim termenii în fracțiunea noastră complexă cu mDC a termenilor ei fracționari. Cu alte cuvinte, se înmulțește toată fracțiunea complex prin (MDC) / (MDC), care se poate face în mod liber, deoarece (MDC) / (MDC) este egal cu 1. Inițial, se înmulțește numărătorul.

În exemplul nostru vom multiplica fracțiunea noastră complexă cu ((x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5) Trebuie să multiplicăm numitorul și numitorul fracțiunii complexe prin înmulțirea fiecărui termen cu (x + 3) (x - 5).
- În primul rând, multiplicați numărul de numerar: ((1) / (x + 3) + x - 10) × ((x + 3) (x - 5)).
  - (x + 3) (x + 5)) + x (x + 3) (x-5)
  - = (x - 5) + (x (x² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
  - = (x - 5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
  - = (x - 5) + x³ - 12x² + 5x + 150
  - = x³ - 12x² + 6x + 145

Imagine intitulată Găsiți vectori perpendiculați în 2 dimensiuni Pasul 5

Înmulțiți numitorul fracțiunii complexe cu mDC, așa cum ați făcut cu numitorul. Continuați să multiplicați fracțiunea complexă cu mDC, urmând cu numitorul.

Denumirea fracțiunii complexe, ((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 1) / (x - 5))) Vom multiplica cu mDC găsită, (x + 3) (x - 5).
- (x + 5))) x (x + 3) (x-5)
- (x + 5) + (x + 5) (x + 5)) (x + 5)
- = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x - 15) + ((x + 3) (x - 5)) / (x - 5)
- = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
- = x³ + 2x² - 23x-60 + (x + 3)
- = x³ + 2x² - 22x - 57

Formați o fracțiune nouă simplificată de la numitorul și numitorul găsit. După ce se multiplică fracțiunea cu expresia ei (mDC) / (mDC) și se simplifică prin combinarea termenilor apropiați, ar trebui să-l lăsați cu o fracțiune simplă fără termeni fracționali. După cum probabil ați observat, prin înmulțirea fractional termenii din fracțiunea Mdc complexă inițială, numitorul acestor fracțiuni sunt anulate, lăsând termeni variabile și numere întregi în numărătorul și numitorul a răspunsului, dar fără fracții.

Folosind numitorul și numitorul descoperit mai sus, putem construi o fracție egală cu complexul inițial, dar fără termeni fracționali. Numărul de numerar obținut a fost x³ - 12x² + 6x + 145 și numitorul x³ + 2x² - 22x - 57, astfel încât noua fracțiune să fie (x³ - 12x² + 6x + 145) / (x³ + 2x² - 22x - 57).

sfaturi

Afișați fiecare pas al muncii dvs. Fracțiile pot deveni cu ușurință confuze dacă încercați să urmați foarte repede sau încercați să le faceți în minte.
Găsiți exemple de fracțiuni complexe online sau în cărțile dvs. Urmați fiecare pas până când vă obișnuiți să le faceți confortabil.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit