Cum se calculează inversul unei matrice

Matricea algebră este esențială pentru dezvoltarea graficii și ingineriei moderne pe calculator. Așa cum funcționează algebra obișnuită cu numere reale, algebra matriceală oferă instrumente și metode de manipulare a matricelor și a ecuațiilor vectoriale. O matrice este o formă de numere de grup aranjate în coloane și lines- inversa unei matrice (numită și inversul multiplicativ) funcționează în mod similar cu inversul unui număr real.

conținut

Pași
Metoda 1inversează o matrice 2x2
Metoda 2inversează o matrice mai mare decât 2x2
Sfaturi

pași

Metoda 1
Inversează o matrice 2x2

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 1

Asigurați-vă că matricea este pătrată. O matrice este inversibilă (adică poate avea numai o matrice inversă) dacă numărul de coloane este egal cu numărul de rânduri. Dacă o matrice nu este pătrată, atunci nu are nici o inversă.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 2

Asigurați-vă că matricea dvs. este 2x2. Dacă matricea dvs. are 2 rânduri și 2 coloane, puteți calcula inversul prin această metodă. Dacă matricea are 3 sau mai multe rânduri și 3 sau mai multe coloane, utilizați a doua metodă.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 3

Cunoașteți formula. Pentru a calcula inversul unei matrice 2x2, folosiți formula prezentată în figura de mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 4

Calculați cofactorii. Fii_ij elementul matricei în rândul i și în coloana j, cofactorul său A_ij se va calcula prin expresia (-1)^{(i + j)} x det_ij), unde det_ij) reprezintă determinantul matricei 2x2 formată prin îndepărtarea rândului i și a coloanei j a cărui element este parte. Determinantul unei matrice 2x2 poate fi obținut așa cum se arată mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 5

Calculați determinantul matricei. Determinantul este o valoare absolută care poate fi calculată din orice matrice pătrată. Pentru a calcula determinantul, pur și simplu adăugați cofactorii elementelor din primul rând al matricei.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 6

Verificați dacă factorul determinant este zero. Dacă valoarea determinantului matricei este egală cu 0, atunci această matrice nu are nici o inversă.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 7

Găsiți matricea inversă. După cum rețineți mai sus, este foarte simplu să obțineți inversa unei matrice 2x2: modificați poziția elementelor a₁₁ și₂₂, schimbați semnul elementelor₁₂ și₂₁ și, în final, le împărțiți cu valoarea determinantului.

Pentru a înțelege mai bine modul în care funcționează această procedură, rețineți exemplul celei de-a doua metode.

Metoda 2
Inversează o matrice mai mare decât 2x2

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 8

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 9

Asigurați-vă că matricea dvs. este 2x2. Dacă matricea dvs. are 2 rânduri și 2 coloane, puteți calcula inversul prin metoda de mai sus. Dacă matricea dvs. are 3 sau mai multe rânduri și 3 sau mai multe coloane, utilizați această metodă.

De exemplu, uita-te la matricea de figura de mai sus: această matrice A are 3 rânduri și 3 coloane, deci trebuie să urmați această metodă pentru a găsi invers.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 10

Calculați toți cofactorii din matricea dvs. Fii_ij elementul matricei în rândul i și în coloana j, cofactorul său A_ij se va calcula prin expresia (-1)^{(i + j)} x det_ij), unde det_ij) reprezintă determinantul matricei 2x2 formată prin îndepărtarea rândului i și a coloanei j a cărui element este parte.

În matricea de exemplu de mai sus, cofactorii sunt: A₁₁= 5, A₁₂= -1, A₁₃= -7, A₂₁= -1, A₂₂= -7, A₂₃= -5, A₃₁= -7, A₃₂= 5 și A₃₃= -1.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 11

În matricea de exemplu, determinantul ar fi calculat după cum urmează:₁₁ + ₁₂ + ₁₃ = 5-1 -7 = -3.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 12

Verificați dacă factorul determinant este zero. Dacă valoarea determinantului matricei este egală cu 0, atunci această matrice nu are nici o inversă.

În matricea de mai sus, determinantul nu este egal cu 0 (valoarea sa este egală cu 3), astfel încât să puteți trece la pasul următor.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 13

Construiți matricea cofactorilor. Dacă determinantul matricei este nenul, următorul pas este să construiască o matrice cu toți cofactorii.

În matricea de exemplu, matricea cofactorilor ar fi așa cum se arată în figura de mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice Pasul 14

Transpuneți rândurile și coloanele acestei matrice. După construirea matricei de cofactori, trebuie să schimbați rândurile prin coloane și rânduri prin rândurile acelei matrice pentru a construi transpunerea matricei cofactori.

În exemplu, matricea transpozabilă a cofactorilor ar fi așa cum se arată în figura de mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți inversul matricei Pasul 15

Împărțiți elementele matricei transpuse de determinant. După obținerea matricei transpuse, împărțiți fiecare dintre elementele sale cu valoarea determinantului. Matricea rezultată a acestui proces va fi inversul matricei originale.

În exemplul nostru, matricea inversă ar fi așa cum se arată în figura de mai sus.

sfaturi

O matrice de identitate nxn are toate elementele sale egale cu zero, cu excepția elementelor diagonale care sunt toate egale cu 1.
Reamintim că inversa unei matrice 2x2 există numai dacă₁₁*₂₂ - ₂₁*₁₂ este nonzero.
Puteți verifica cu ușurință valabilitatea unei matrice inverse înmulțind-o cu matricea originală - prin înmulțirea unui matrice prin inversul său ^-1, ar trebui să obțineți o matrice de identitate eu (trebuie să aibă aceleași dimensiuni ca cele două matrice).

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit