Cum să găsiți inversul unei funcții patrate

Calculul invers al unei funcții liniare este ușor: faceți doar x subiectul ecuației și înlocuiți y cu x în expresia rezultată. Găsirea inversă a unei funcții patratice este considerabil mai complicată deoarece funcțiile patratice nu sunt limitate de un domeniu adecvat cu funcții unu-la-unu.

conținut

Pași
Sfaturi

pași

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 1

Faceți y sau f (x) subiectul formulei, dacă nu este deja așa. În timpul manipulării algebrice, nu schimbați funcția în nici un fel și efectuați aceleași operații pe ambele părți ale ecuației.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei funcții patratice Pasul 2

Rearanjați funcția astfel încât să fie în forma y = a (x-h)²+k. Aceasta nu este doar fundamentală pentru a găsi inversa funcției, ci și dacă funcția are chiar și o inversă. Puteți face acest lucru prin două metode:

Completarea pătratelor
1. "Luați factorul comun" al întregii ecuații cu valoarea lui a (coeficientul x²). Faceți acest lucru scriind valoarea unui paranteză de deschidere și scriind întreaga ecuație, apoi împărțind fiecare termen cu valoarea a, după cum se arată în diagramă. Lăsați partea de stânga a ecuației neatinsă, deoarece nu au existat modificări pe partea dreaptă.
2. Finalizați pătratul. Coeficientul x este (b / a). Împărțiți pe două, luând (b / 2a) și pătrați, pentru a avea (b / 2a)². Se adaugă și se scade din ecuație. Acest lucru nu va avea nici un efect asupra ecuației. Dacă te uiți atent, vei vedea că acești primii trei termeni din paranteze sunt sub formă²+2ab + b², unde este x, și b este (b / 2a). Desigur, aceste două valori vor fi numerice, mai degrabă decât algebrice, pentru o ecuație reală. Acesta este un pătrat complet.
3. Întrucât primii trei termeni sunt acum un pătrat perfect, le puteți scrie în forma (a-b)² sau (a + b)². Semnalul dintre cei doi termeni va fi același ca și coeficientul x din ecuație.
4. Luați termenul care se află în afara pătratului perfect, în afara parantezelor pătrate. Aceasta va face ecuația formei y = a (x-h)²+k, conform planului.
5. Compararea coeficienților
  1. Formați o identitate la x. În stânga, puneți funcția exprimată în termeni de x, iar în dreapta puneți funcția în forma dorită, în acest caz a (x-h)²+k. Aceasta vă va permite să găsiți valorile a, h și k, care sunt valori reale pentru x.
  2. Deschideți și extindeți parantezele din partea dreaptă a identității. Nu trebuie să atingem partea stângă a ecuației și o putem omite din lucrare. Rețineți că toate lucrările din partea dreaptă sunt algebrice, așa cum este arătat, nu numeric.
  3. Identificați coeficienții fiecărei puteri de x. Apoi grupați-le și plasați-le în paranteze, după cum se arată.
  4. Comparați coeficienții fiecărei puteri de x. Coeficientul de x² pe partea dreaptă ar trebui să fie aceeași cu cea din partea stângă. Aceasta oferă valoarea a. Coeficientul de x pe partea dreaptă ar trebui să fie egal cu cel din partea stângă. Aceasta duce la formarea unei ecuații cu a și h, care poate fi rezolvată prin înlocuirea valorii a, care a fost deja descoperită. Coeficientul de x⁰, sau 1, pe partea stângă trebuie să fie egală cu cea din partea dreaptă. Comparația lor are ca rezultat o ecuație care va ajuta la găsirea valorii lui k.
  5. Folosind valorile a, h și k găsite anterior, putem scrie ecuația în forma dorită.

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 3

Asigurați-vă că valoarea h este fie la limita domeniului, fie în afara acestuia. Valoarea ed h dă coordonata la x a punctului de inflexiune al ecuației. Un punct de inflexiune în domeniu ar însemna că funcția nu este una pentru una și deci nu ar avea un caracter invers. Rețineți că ecuația este (x-h)²+k. Deci, dacă (x + 3) în interiorul parantezelor, valoarea lui h este 3 negativă.

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 4

Faceți (x-h)² subiectul formulării. Faceți acest lucru scăzând valoarea lui k pe ambele părți ale ecuației și apoi împărțind cele două părți printr-o a. Acum veți avea valori numerice pentru a, h și k, deci utilizați-le, nu simbolurile.

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 5

Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Aceasta va elimina puterea lui (x-h). Nu uitați să puneți semnul "+/;" pe cealaltă parte a ecuației.

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 6

Decideți între semnul + și -, deoarece nu puteți pune cele două (punerea ambelor ar face o funcție unu-la-multe, ceea ce ar invalida). Pentru a face acest lucru, uita-te la domeniu. Dacă domeniul este la stânga punctului staționar, adică x < um certo valor, use o sinal -. Se o domínio estiver à direita do ponto estacionário, isso é, x > utilizați semnul +. Apoi, x face obiectul formula.

Imaginea intitulată Găsiți inversa unei funcții patratice Pasul 7

Înlocuiți y cu x și x cu f^-1(x), și vă felicit pentru că ați găsit inversul unei funcții patrate.

sfaturi

Confirmați inversul calculând valoarea f (x) pentru o anumită valoare de x și apoi înlocuind valoarea f (x) în invers pentru a vedea dacă rezultă valoarea inițială a lui x. De exemplu, dacă funcția lui 3 [f (3)] este 4, înlocuirea 4 în invers ar trebui să aibă ca rezultat 3.
Dacă nu funcționează prea mult, puteți verifica și conversația prin inspectarea graficului. Ar trebui să arate ca funcția originală reflectată prin linia y = x.