Găsirea domeniului și imaginea unei funcții

Fiecare funcție conține două tipuri de variabile: independente și dependente - ale căror valori literal "depind" de variabilele independente. De exemplu, în y = f (x) = 2 x + y

conținut

Pași
Metoda 1găsirea domeniului unei funcții
Metoda 2găsirea imaginii unei funcții patrate
Metoda 3găsirea grafică a imaginii unei funcții
Surse și cotatii

, x este independent și y este dependentă (cu alte cuvinte, y este o funcție de x). Valori valide pentru o anumită variabilă independentă x sunt numite colectiv "domeniu". Valorile valide pentru o variabilă dependentă dată y sunt numite în mod colectiv "imagine".

pași

Metoda 1
Găsirea domeniului unei funcții

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 1

Determinați tipul de funcție cu care lucrați. Domeniul funcției constă în toate valorile x (axa orizontală) care vor avea o valoare și vor fi valide. Ecuația poate fi patratică, poate fi o funcție sau chiar poate conține rădăcini. Pentru a calcula domeniul funcției, trebuie mai întâi să evaluați termenii interni ai ecuației.

Funcția patratică are toporul format² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4
Exemple de funcții care conțin fracțiuni includ: f (x) = (¹/_x), f (x) = ^{(x + 1)}/_{(X - 1)}, etc.
Fracțiile cu rădăcini includ: f (x) = √x, f (x) = √ (x² + 1), f (x) = √-x etc.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 2

Introduceți domeniul în formatul corect. Scrierea domeniului unei funcții implică utilizarea parantezelor pătrate [,] și paranteze (,). Utilizați brațul când numărul este inclus în domeniu și paranteza atunci când domeniul nu include numărul. Scrisoarea U indică o uniune care interconectează părți ale unui domeniu care pot fi separate de un spațiu.

De exemplu, un domeniu de [2, 10] U (10, 2) include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
Utilizați întotdeauna paranteze dacă doriți să utilizați simbolul infinit, ∞.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 3

Desenați un grafic al ecuației patrate. Ecuațiile quadratice au ca rezultat o parabolă orientată în sus sau în jos. Având în vedere faptul că va continua infinit de-a lungul axei x, domeniul celor mai multe funcții patratice constă în numere reale. În caz contrar, ecuația cuadratoare constă din toate valorile x din linia numerică, care R (simbol pentru toate numerele reale) domeniul dvs.

Pentru a obține o idee despre funcție, alegeți orice valoare x și introduceți-o în ecuație. Rezolvarea ei cu această valoare va da o valoare de y. Aceste valori, la rândul lor, reprezintă coordonatele (x, y) pe graficul funcției.
Puneți această coordonată pe grafic și repetați procesul cu o altă valoare x.
Introducerea unor valori în acest fel vă va oferi o idee generală despre forma funcției patrate.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 4

Setați rigla la zero dacă este o fracțiune. Când lucrați cu o fracțiune, nu vă puteți împărți niciodată cu zero. Prin potrivirea numitorului la zero și descoperirea valorii lui x, puteți calcula valorile care vor fi excluse în funcție.

De exemplu: identificați domeniul funcției f (x) = ^{(x + 1)}/_{(X - 1)}.
Numitorul acestei funcții este egal cu (x - 1).
Setați-l la zero și găsiți valoarea x: x - 1 = 0, x = 1.
Scrieți domeniul: Domeniul acestei funcții nu poate include 1, ci include toate numerele reale cu excepția pentru 1-logo, domeniul este (-∞, 1) U (1, ∞).
(-∞, 1) U (1, ∞) poate fi citit ca mulțimea tuturor numerelor reale minus 1. Simbolul infinitului, ∞, reprezintă toate numerele reale. În acest caz, toate numerele reale mai mari și mai mici de 1 sunt incluse în acest domeniu.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 5

Determinați că termenii din rădăcină sunt mai mari sau egali cu zero dacă există o funcție rădăcină. Nu puteți obține rădăcina pătrată a unui număr negativ - deci orice valoare x care are ca rezultat un număr negativ trebuie să fie exclusă din domeniul acelei funcții.

De exemplu: identificați domeniul funcției f (x) = √ (x + 3).
Termenii din cadrul radicalului sunt (x + 3).
Faceți-le mai mari sau egale cu zero: (x + 3) ≥ 0.
Găsiți valoarea x: x ≥ -3.
Domeniul acestei funcții include toate numerele reale mai mari sau egale cu -3, astfel încât domeniul este [-3, ∞].

Metoda 2
Găsirea imaginii unei funcții patrate

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 6

Confirmați că este o funcție patratică. Funcția patratică are toporul format² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4. Forma unei funcții patrate pe grafic este egală cu o parabolă în sus sau în jos. Există metode diferite de calculare a imaginii unei funcții, în funcție de tipul cu care ați lucrat.

Cea mai ușoară modalitate de a identifica imaginea altor funcții, cum ar fi rădăcina sau fracțiunea, este să desenați graficul utilizând un calculator de grafic.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 7

Găsiți valoarea x a vârfului funcției. Vârful unei funcții patrate este, pe scurt, vârful parabolei. Amintiți-vă că ecuația cuadratoare are forma toporului² + bx + c. Pentru a găsi coordonatele x, utilizați ecuația x = -b / 2a. Această formulă este un derivat al funcției patratice care reprezintă ecuația zero a pantei (adică, la vârful graficului, panta funcției este zero).

De exemplu, aflați ce reprezintă imaginea de 3x² + 6x - 2.
Calculați coordonatul x al vârfului: x = -b / 2a = -6 / (2 × 3) = -1.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 8

Calculați valoarea y a vârfului funcției. Introduceți coordonatele x în funcție pentru a calcula valoarea y a vârfului. Această valoare y reprezintă sfârșitul imaginii funcției.

Calculați coordonata y: y = 3x² + 6x - 2 = 3 (-1)² + 6 (-1) -2 = -5.
Vârful acestei funcții este punctul (-1, -5).

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 9

Determinați direcția parabolei introducând cel puțin o valoare x. Alegeți orice altă valoare x și plasați-o în funcție pentru a afla valoarea y corespunzătoare. Dacă valoarea y este deasupra vârfului, parabola continuă până la + ∞. În caz contrar, dacă este sub vârful, acesta continuă să -∞.

Utilizați valoarea x -2: y = 3x² + 6x = 2 = y = 3 (-2)² + 6 (-2) -2 = 12-12-2 = -2.
Aceasta are ca rezultat coordonatele (-2, -2).
Această coordonată indică faptul că parabola depășește vârful (-1, -5) - astfel încât imaginea să cuprindă toate valorile y peste -5.
Imaginea acestei funcții este [-5, ∞].

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și intervalul unei funcții Pasul 10

Scrieți valorile imaginii cu notația corespunzătoare. Ca și domeniul, imaginea trebuie scrisă în același mod. Utilizați o bandă atunci când numărul este inclus în domeniul în cauză sau, altfel, o paranteză. Scrisoarea U indică uniunea care interconectează părți ale unui domeniu care pot fi separate printr-un interval.

De exemplu, imaginea [2, 10] U (10, 2) include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
Utilizați întotdeauna paranteze atunci când lucrați cu simbolul infinit, ∞.

Metoda 3
Găsirea grafică a imaginii unei funcții

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 11

Reprezintă funcția grafic. Adesea, este mai ușor să determinați imaginea unei funcții printr-o reprezentare vizuală. Multe funcții rădăcină au ca imagine o interfață (-∞, 0] sau [0, + ∞) deoarece vârful parabolei laterale este pe axa orizontală x. În acest caz, funcția cuprinde toate valorile y pozitive atunci când parabola se ridică sau chiar toate valorile y atunci când aceasta coboară. Funcțiile fracțiunii vor avea asimptote care vor defini imaginea lor.

Unele funcții rădăcină pornesc deasupra sau dedesubtul axei x. În acest caz, imaginea este determinată de punctul în care începe funcția. Dacă parabola începe la y = -4 și se ridică, imaginea va fi [-4, + ∞].
Cea mai ușoară modalitate de a reprezenta o funcție vizuală este printr-o aplicație grafică sau calcul grafic.
Dacă nu aveți un calcul grafic, puteți face o schiță vizuală prin introducerea valorilor x în funcție și obținerea valorilor y corespunzătoare. Puneți coordonatele pe diagramă pentru a obține o idee despre forma sa.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 12

Găsiți valoarea minimă a funcției. Odată ce ați făcut reprezentarea vizuală a funcției, puteți vedea clar care este punctul cel mai de jos al graficului. Dacă nu există un punct minim evident, știți că există funcții care continuă până la -∞.

O funcție fracționată include toate punctele dincolo de asimptote. Adesea, ele prezintă imagini ca (-∞, 6) U [6, ∞).

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 13

Determinați valoarea maximă a funcției. Încă o dată, după reprezentarea vizuală, puteți identifica punctul maxim al funcției. Unele funcții continuă să ajungă la + ∞ și deci nu au un punct maxim specific.

Imaginea intitulată Găsiți domeniul și gama unei funcții Pasul 14

Scrieți fotografia cu notația corespunzătoare. Ca și domeniul, imaginea trebuie scrisă în același mod. Ca și domeniul, imaginea trebuie scrisă în același mod. Utilizați o bandă atunci când numărul este inclus în domeniul în cauză sau, altfel, o paranteză. Scrisoarea U indică uniunea care interconectează părți ale unui domeniu care pot fi separate printr-un interval.

De exemplu, imaginea [2, 10] U (10, 2) include -2 și 2, dar nu include numărul 10.
Utilizați întotdeauna paranteze atunci când lucrați cu simbolul infinit, ∞.