Cum se determină coordonatele unui punct de inflexiune al unei funcții

În calculul diferențial, punctul de inflexiune este un punct pe o curbă în care semnalul de curbură schimbă semnalul (de la plus la mai puțin și de la mai puțin la mai mult). Acesta este un concept aplicat în diferite discipline (inclusiv inginerie, economie și statistici) pentru a determina variațiile de date. Dacă trebuie să învățați cum să găsiți punctele de inflexiune ale unei curbe, urmați pașii de mai jos.

conținut

Pași
Partea 1Înțelegeți conceptele fundamentale
Partea 2determinați derivații funcției
Partea 3determinați punctul de inflexiune
Sfaturi

pași

Partea 1
Înțelegeți conceptele fundamentale

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 1

Înțelegeți ce este o funcție concavă. Pentru a înțelege ce puncte de inflexiune sunt, trebuie să știi mai întâi cum să distingi o funcție concavă de o funcție convexă. Funcția concavă este o funcție pentru care nu există niciun segment al unei linii care unește două puncte ale graficului dvs. și care este deasupra acestuia.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 2

Înțelegeți ce este o funcție convexă. O funcție convexă este, în esență, opusul unei funcții concave: pentru acest tip de funcție nu există niciun segment al unei linii care să unească două puncte ale graficului său și să se afle sub el.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 3

Înțelegeți ce este rădăcina unei funcții. Rădăcina unei funcții este punctul în care aceasta este egală cu zero.

În graficul unei funcții, rădăcinile sunt punctele din grafic care traversează axa abscisei (axa x).

Partea 2
Determinați derivații funcției

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 4

Calculați primul derivat al funcției. Înainte de a găsi un punct de inflexiune pentru o funcție dată, trebuie mai întâi să determinați derivatele funcției. Metoda pentru determinarea derivatului unei funcții algebrice poate fi găsită cu ușurință în orice manual de calcul (trebuie să învățați cum să obțineți înainte de a trece la pașii următori). Primul derivat al unei funcții este reprezentat de f `(x). Pentru funcții în format axp + bx (p-1) + cx + d, primul derivat va fi apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.

De exemplu, să presupunem că trebuie să determinăm punctul de inflexiune al funcției f (x) = x³ +2x - 1. Pentru a calcula primul derivat al acestei funcții, procedați în felul următor:

f `(x) = (x³ +2x - 1) `= (x³) + (2x) `- (1)` = 3 * x² + 2 + 0 = 3x² + 2.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 5

Calculați al doilea derivat al funcției. Al doilea derivat al funcției este primul derivat al primei derivate a funcției și este reprezentat de f "(x).

Continuând exemplul de mai sus, efectuați următoarele pentru a determina al doilea derivat al funcției:

f "(x) = (3x² + 2) = 2 * 3 * x + 0 = 6x.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 6

Este egal cu al doilea derivat la zero. Ecuați expresia obținută ca al doilea derivat la zero și rezolvați ecuația. Rezultatul ecuației va fi un posibil punct de inflexiune.

În exemplul de mai sus, calculul se va face după cum urmează:

f "(x) = 0
6x = 0
x = 0.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 7

Calculați al treilea derivat al funcției. Pentru a fi sigur că soluția găsită este de fapt un punct de inflexiune, găsiți al treilea derivat al funcției, reprezentat de f `` `(x): pentru aceasta, derivă al doilea derivat al funcției.

Continuând exemplul, vom avea:

f `` `(x) = (6x)` = 6.

Partea 3
Determinați punctul de inflexiune

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 8

Evaluați al treilea derivat al funcției. Regula principală pentru identificarea unui posibil punct de inflexiune este "dacă al treilea derivat al unei funcții este nenul, adică f `` `(x) ≠ 0, atunci punctul posibil de inflexiune este de fapt un punct de inflexiune “. Verificați al treilea derivat: dacă nu este egal cu zero, atunci candidatul este un punct de inflexiune (obținut prin rezolvarea ecuației care reprezintă al doilea derivat) este de fapt un punct de inflexiune.

În exemplul de mai sus, al treilea derivat este 6, nu 0 - prin urmare, candidatul de a fi punctul de inflexiune este cu adevărat un punct de inflexiune.

Imaginea intitulată Găsiți puncte de inflexiune Pasul 9

Determinați punctul de inflexiune. Coordonatele punctului de inflexiune sunt reprezentate de perechea ordonată (x, f (x)), unde x reprezintă valoarea obținută prin rezolvarea ecuației celui de-al doilea derivat și f (x) reprezintă valoarea funcției la punctul de inflexiune.

În exemplul de mai sus, valoarea obținută prin potrivirea celui de-al doilea derivat la zero a fost x = 0. Acum, trebuie să calculam valoarea f (0) pentru a determina coordonatele. Când înlocuiți valoarea lui x, vom avea:

f (0) = 0³ +2 * 0 - 1 = -1.