itholoinfo.com.com

Cum de a deriva Formula Bhaskara

Unul dintre instrumentele cele mai importante pe care un elev algebră trebuie să îl învețe este Bhaskara

, care este, x = (- b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Cu această formulă, este posibil să se rezolve ecuațiile patratice (sau de gradul al doilea) într-un mod mult mai simplu - să înlocuiască doar valorile coeficienților , b și c și să rezolve operațiile aritmetice. În timp ce "cunoașterea" formulării este suficientă pentru majoritatea studenților, "înțelegerea" cum derivă (cu alte cuvinte, de unde provine) este ceva complet diferit. De fapt, formula este derivată folosind o tehnică numită "completarea pătratului" care are mai multe aplicații în matematică.

pași

Metoda 1
Derivați formula de la Bhaskara

Imagine intitulată Derivează formula cuadratură Pasul 1
1
Începeți cu forma generală a unei ecuații patrate. Toate ecuațiile patratice (sau al doilea grad) au forma topor2 + bx + c = 0. Pentru a începe să derivă formula de la Bhaskara, scrieți ecuația generală pe o foaie de hârtie, lăsând suficient spațiu sub ea. Nu înlocuiți coeficienții , b sau c prin numere - vrem să lucrăm cu forma generală a ecuației.
  • Cuvântul "patrat" ​​se referă la faptul că termenul x este ridicată în pătrat - "quad" vine de la același radical latin care apare în "pătrat". Indiferent de valorile utilizate pentru coeficienții , b și c, dacă o ecuație poate fi scrisă în formă binomică, ea va fi o ecuație patratică. Singura excepție este atunci când este zero, în acest caz, ca termen x2 dispare din ecuație, nu va mai fi patratică.
  • Imagine intitulată Derivează Formula 2 cu dublă formulă
    2
    Împărțiți cele două părți ale ecuației prin . Pentru a deduce formula de la Bhaskara, este necesar să se izoleze termenul x pe o parte a egalității. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda de anulare deja cunoscută în algebra de bază pentru a muta treptat restul variabilelor de la ecuație la cealaltă parte a egalității. Să începem prin împărțirea părții din stânga a ecuației cu variabila . După operații, scrieți noua ecuație în linia de mai jos.
    • Prin împărțirea celor două părți prin , nu uitați să aplicați proprietatea distributivă a diviziei, ceea ce înseamnă că se împarte partea stângă a ecuației este același lucru cu împărțirea fiecăruia dintre termeni individual.
    • După operații ajungem la ecuație x2 + (b / a) x + c / a = 0. Rețineți că care a înmulțit termenul x2 a fost anulat și că partea dreaptă a ecuației rămâne zero (zero împărțit la orice număr, altul decât zero este egal cu zero).
  • Imaginea intitulată
    3
    scădea c / a cele două părți ale ecuației. Acum să eliminăm termenul independent c / a în partea stângă a ecuației. Pentru aceasta, este suficient să-l scăpăm de ambele părți ale ecuației.
    • După această operație, vom avea ecuația x2 + (b / a) x = -c / a. Există încă doi termeni x în partea stângă a ecuației, dar partea dreaptă începe deja să se formeze.
  • Imaginea intitulată
    4
    unele b2/ 4a2 pe ambele părți ale ecuației. Este de aici că procesul devine un pic mai complex. Avem doi termeni x diferiti pe partea stanga a ecuatiei: x2 și un x. La prima vedere pare imposibil de simplificat deoarece regulile algebrelor ne împiedică să adăugăm termeni cu variabile de la exponenți diferiți. Cu toate acestea, vom folosi o metodă practică numită "pătrat complet" pentru a continua rezolvarea noastră.
    • Pentru a completa pătratul, adăugați b2/ 4a2 pe ambele părți ale ecuației. Amintiți-vă că algebra de bază ne permite să adăugăm ceva pe o parte a egalității, atâta timp cât adăugăm același lucru pe cealaltă parte, deci această operație este perfect valabilă. Ecuația ar trebui să arate astfel: x2+(b / a) x + b2/ 4a2 = -c / a + b2/ 4a2.
    • Pentru a înțelege mai bine modul de funcționare a metodei de completare pătrate, treceți la secțiunea următoare.
  • Imaginea intitulată Derive the Formula Quadratic Step 5
    5
    Factorul din partea stângă a ecuației. Acum, să ne concentrăm pe partea stângă pentru ao simplifica. Partea stângă a ecuației ar trebui să arate astfel: x2+(b / a) x + b2/ 4a2. Dacă privim termenii "(b / a)" și "b2/ 4a2"ca coeficienții" m "și respectiv" n ", ecuația noastră poate deveni x2 + mx + n, ceea ce înseamnă că poate fi inclus în (x + p)2, unde p este egal cu m înmulțită cu 1/2 și cu rădăcina pătrată din n.
    • Aceasta înseamnă că putem factoriza partea stângă a ecuației, x2+(b / a) x + b2/ 4a2, pentru a obține (x + (b / 2a))2.
    • Acest lucru este valabil pentru că (x + (b / 2a))2 = x2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a)2 = x2+(b / a) x + b2/ 4a2, ecuația noastră originală.
    • Factoringul este un instrument de algebră valoroasă, dar uneori poate fi destul de complex. Pentru o explicație mai detaliată a factorului și a modului de utilizare a acestuia, accesați legătură din articolul de mai sus.
  • Imaginea intitulată
    6
    Utilizați numitorul comun 4a2 în partea dreaptă a ecuației. Uitați de acum pe partea stângă și concentrați-vă pe găsirea unui numitor comun pentru termenii din partea dreaptă. Pentru a simplifica termenii fracționați din dreapta, trebuie să aibă un numitor comun.
    • Această operație este foarte simplă - -c / a de 4a / 4a pentru a obține -4ac / 4a2. Acum, partea dreaptă a ecuației trebuie să fie -4ac / 4a2 + b2/ 4a2.
    • Rețineți că acești termeni au în prezent același numitor 4a2, prin urmare, le putem adăuga și ajungem la (b2 - 4ac) / 4a2.
    • Nu este nevoie să repetați această multiplicare în partea stângă a ecuației. Cum se înmulțește un termen cu 4a / 4a este același cu înmulțirea cu unul (oricare alt număr decât zero este împărțit de unul singur), nu schimbăm ecuația, deci nu trebuie să compensăm cealaltă parte a egalității.
  • Imaginea intitulată
    7
    Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Ecuația noastră ar trebui să pară așa: (x + b / 2a)2 = (b2 - 4ac) / 4a2). Deoarece scopul nostru este de a izola termenul x dintr-o parte a egalității, următorul pas este de a lua rădăcina pătrată de ambele părți.
    • După această operație, vom avea x + b / 2a = ± √ (b2 - 4ac) / 2a. Nu uitați semnul plus sau minus (numerele negative pot fi, de asemenea, pătrat).
  • Imaginea intitulată


    8
    În cele din urmă, scade b / 2a pe ambele părți ale ecuației. În acest moment, termenul x este aproape singur în partea stângă. Acum trebuie doar să scăpați b / 2a pe ambele părți pentru al face complet izolat. După operații ajungem la ecuație x = (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Arata familiar? Felicitări, tocmai ați derivat formula de la Bhaskara!
    • Hai să împărtășim ultimul pas mai mult. Când se scade b / 2a pe ambele părți, vom avea x = ± √ (b2 - 4ac) / 2a-b / 2a. ca b / 2a și √ "(b2 - 4ac) / 2a au numitorul comun 2a, putem să le însumăm și să ajungem la diviziunea ± √ (b2 - 4ac) -b / 2a, sau prin simplificarea, (B ± √ (b2 - 4ac)) / 2a.

    • Metoda 2
    Aflați cum să "completați pătratul"

    Imaginea intitulată
    1
    Începeți cu ecuația (x + 3)2 = 1. Dacă nu ați fost familiarizat cu metoda folosită pentru a obține formula de la Bhaskara Pe măsură ce începeți să citiți acest tutorial, probabil că trebuie să fiți puțin confuz în legătură cu ceea ce înseamnă "completarea pătratului". Nu vă faceți griji - în această secțiune, veți înțelege cu atenție acest proces. Să începem cu o ecuație polinomială: (x + 3)2 = 1. În următorii pași, vom folosi această ecuație simplă ca exemplu pentru a explica de ce este necesar să se "completeze pătratul" prin derivarea formulei de la Bhaskara.
  • Imaginea intitulată
    2
    Determinați rădăcinile x. Găsiți rădăcinile lui (x + 3)2 = 1 este relativ simplu - luați pur și simplu rădăcina pătrată a celor două laturi ale egalității și apoi izolați x. Consultați rezoluția pas-cu-pas mai jos:
    • (x + 3)2 = 1
      (x + 3) = √1
      x + 3 = ± 1
      x = ± 1 - 3
      x = -2, -4
  • Imaginea intitulată
    3
    Extindeți ecuația. Am găsit deja rădăcinile x, dar nu am terminat încă. De data aceasta vom "deschide" ecuația (x + 3)2 = 1, prin rescrierea acesteia sub forma (x + 3) (x + 3) = 1. Vom extinde ecuația termenii multiplicatoare paranteze împreună. Aplicarea proprietății distributiv de multiplicare, înmulțim primul membru al primei paranteze primul membru al doilea suport și apoi de-al doilea membru al doilea parêntese- apoi multiplica al doilea membru al primei paranteze primul membru al doilea suport și apoi a doua .
    • Aplicând proprietatea distributivă și rezolvând operațiunile, vom avea:
      (x + 3) (x + 3)
      (xxx) + (xx3) + (3xx) + (3x3)
      x2 + 3x + 3x + 9
      x2 + 6x + 9
  • Imaginea intitulată
    4
    Puneți ecuația în formularul standard. Acum, ecuația noastră ar trebui să fie după cum urmează: x2 + 6x + 9 = 1. Rețineți că este aproape egală cu forma standard a unei ecuații patrate. Pentru ca aceasta să rămână în formularul standard, trebuie să ne oprim la o parte a ecuației. Când se scade 1 pe ambele părți, vom avea x2 + 6x + 8 = 0.
  • Imaginea intitulată
    5
    Reșapare. Să revizuim ceea ce știm:
    • Ecuația (x + 3)2 = 1 are două rădăcini pentru x: -2 și -4.
    • Ecuația (x + 3)2 = 1 poate fi rescris ca x2 + 6x + 9 = 1, sau chiar în forma x2 + 6x + 8 = 0 (ecuația patratică).
      Prin urmare, ecuația patratică x2 + 6x + 8 = 0 -2 și -4 ca rădăcini pentru x. Dacă înlocuiți aceste valori cu x, veți observa că cei doi au egalat ecuația, deci sunt corecți și pentru forma patratică.
  • Imaginea intitulată Derivează Formula Patru 14
    6
    Înțelege cum să "completeze pătrat". Așa cum am văzut deja, este mult mai ușor să rezolvăm o ecuație patratică după ce am trecut-o la forma (x + a)2 = b. Cu toate acestea, pentru a transforma o ecuație patratică în forma sa factorială, poate fi necesar să se adauge sau să se scadă o valoare din ambele părți ale ecuației. În general, pentru o ecuație în forma x2 + bx + c = 0, valoarea coeficientului "c" trebuie să fie egală cu (b / 2)2 astfel încât ecuația să poată fi luată în calcul (x + (b / 2))2. Dacă nu este cazul, trebuie să adăugăm sau să scăpăm numere din fiecare parte a ecuației până când putem factoriza ecuația. Aceasta este ceea ce numim completați pătratul, și asta este exact ceea ce am făcut în secțiunea anterioară de a extrage formula de la Bhaskara.
    • Iată mai multe exemple de ecuații patratice - rețineți că în fiecare dintre ele, coeficientul c este egal cu valoarea coeficientului b împărțit la doi și apoi pătrat.
      x2 + 10x + 25 = 0 = (x + 5)2
      x2 - 18x + 81 = 0 = (x + -9)2
      x2 + 7x + 12,25 = 0 = (x + 3,5)2
    • Iată un exemplu de ecuație patratică în care coeficientul c nu merita pătratul de jumătate din coeficient b. În acest caz, trebuie să adăugăm o valoare pe fiecare parte a egalității, astfel încât să putem face factorizarea - cu alte cuvinte, trebuie să "completăm pătratul".
      x2 + 12x + 29 = 0
      x2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
      x2 + 12x + 36 = 7
      (x + 6)2 = 7

    • Materiale necesare

    • Creion (sau creion) și hârtie

    Surse și cotatii

    Afișați mai multe ... (3)
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Cum să găsiți vârful unei ecuații patrateCum să găsiți vârful unei ecuații patrate
    Cum de a găsi VertexCum de a găsi Vertex
    Cum să finalizați pătratulCum să finalizați pătratul
    Cum de a converti Fahrenheit la KelvinCum de a converti Fahrenheit la Kelvin
    Cum să determinați o formulă empiricăCum să determinați o formulă empirică
    Cum să găsiți intersecția lui XCum să găsiți intersecția lui X
    Găsirea pantei unei liniiGăsirea pantei unei linii
    Cum să găsiți inversul unei funcții patrateCum să găsiți inversul unei funcții patrate
    Înțelegerea Coeficientului unghiular în algebrăÎnțelegerea Coeficientului unghiular în algebră
    Cum să faci ecuații algebriceCum să faci ecuații algebrice
    » » Cum de a deriva Formula Bhaskara
    © 2021 itholoinfo.com.com