Cum să faci polinomi de gradul al doilea (ecuații patratice)

Un polinom conține o variabilă (x) ridicată la o putere, cunoscută ca grad, și câțiva termeni și / sau constante. Factorizarea unui polinom înseamnă împărțirea expresiei în expresii mai mici care se înmulțesc. Aceste cunoștințe sunt studiate de la Algebra I și pot fi greu de înțeles dacă nu aveți o cunoaștere matematică a acelui nivel.

conținut

Pași
Noțiuni de bază
Metoda 1proces și eroare
Metoda 2descompunere
Metoda 3triple match
Metoda 4diferența dintre două rădăcini
Metoda 5formula quadratică
Metoda 6utilizarea unui calculator
Sfaturi
Avertismente
Materiale necesare

pași

Noțiuni de bază

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 1

Montați expresia. Formatul standard pentru ecuația patratică este:

topor² + bx + c = 0
Începeți prin a comanda ecuația pe care o avem de la puterea cea mai mare la cea mai mică, precum și în forma de mai sus. De exemplu,

6 + 6x² + 13x = 0
Expresia va fi rearanjată astfel încât să poată fi manipulată mai ușor prin schimbarea locației termenilor:

6x² + 13x + 6 = 0

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 2

Găsiți formularul facturat folosind una din metodele de mai jos. Factorizarea unui polinom duce la două expresii mai mici care pot fi multiplicate pentru a produce polinomul original:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
În acest exemplu, (2x + 3) și (3x + 2) sunt factori din expresia originală, 6x² + 13x + 6.

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 3

Verificați rezultatul! Multiplicați factorii identificați. Apoi combinați termenii similari. Începeți cu:

(2x + 3) (3x + 2)
Să o testați folosind metoda FOIL (engleză pentru Primul exterioară, interiorul, ultima - mai întâi cei din afară, apoi cei din interior), numit și proprietatea distributivă a multiplicării, obținându-se:

6x² + 4x + 9x + 6
Acum este posibil să adăugați 4x și 9x, deoarece aceștia sunt termeni similari. Știți că factorii sunt corecți deoarece ecuația inițială a fost obținută:

6x² + 13x + 6

Metoda 1
Proces și eroare

Dacă aveți un polinom destul de simplu, ați putea să vă dați seama de factorii în timp ce îl priviți. De exemplu, după practicare, mulți matematicieni sunt capabili să identifice expresia 4x² + 4x + 1 are factorii (2x + 1) și (2x + 1) după ce a lucrat foarte tare cu această expresie anterior. Dar, bineînțeles, acest lucru nu va fi atât de ușor cu polinoamele mai complicate. În acest exemplu, vom folosi o expresie mai puțin obișnuită:

3x² + 2x - 8

Imaginea intitulată Polinomi de factor de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 4

Listează factorii termenilor și c. Utilizând formatul implicit topor² + bx + c = 0, identificați termenii și c și listați factorii dvs. Pentru 3x² + 2x - 8, aceasta înseamnă:

a = 3 și are un set de factori: 1 * 3
c = -8 și are patru seturi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 5

Asamblați două seturi de paranteze goale. Le vei umple cu constantele fiecărei expresii:

(x) (x)

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 6

Completați spațiile din fața lui x cu câțiva factori posibili pentru valoare . Pentru termen în exemplul utilizat, 3x², există o singură posibilitate:

(3x) (1x)

Imagine intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pasul 7

Completați cele două spații după x-uri cu câțiva factori pentru constante. Imaginați-vă că alegeți numerele 8 și 1. Scrieți-le jos:

(3x 8) (x 1)

Imagine intitulată Polinomi de gradul II de grad 2 (ecuații patratice) Pasul 8

Decideți ce semnale (adunare sau scădere) ar trebui să treacă între variabilele lui x și numerele. În funcție de semnele din expresia originală, este posibil să se afle care ar trebui să fie semnele constantelor. Să numim cele două constante pentru cei doi factori h și k:

Dacă toporul² + bx + c, atunci (x + h) (x + k)
Dacă toporul² - bx-c sau ax² + bx - c, atunci (x - h) (x + k)
Dacă toporul² - bx + c, atunci (x - h) (x - k)
De exemplu, 3x² + 2x - 8, semnalele ar trebui să fie: (x - h) (x + k), rezultând doi factori:

(3x + 8) și (x - 1)

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 9

Testați alegerile utilizând proprietatea distributivă. O primă încercare rapidă care trebuie efectuată este să vezi dacă termenii mediului corespund valorilor corecte. Dacă nu sunt, este posibil să fi ales factorii greșiți c. Să testați răspunsul:

(3x + 8) (x - 1)
Când efectuați multiplicarea, veți obține:

3x² - 3x + 8x - 8
Prin simplificarea acestei expresii prin adăugarea termenilor similari (-3x) și (8x), primiți:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
Acum știm că trebuie să identificăm factorii greși:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 10

Modificați factorii dacă este necesar. În exemplul utilizat, vom încerca să folosim 2 și 4 în loc de 1 și 8:

(3x + 2) (x - 4)
Acum, termenul c este egal cu -8, dar produsul extern / intern (3x * -4) și (2 * x) este egal cu -12x și 2x, care nu vor fi combinate pentru a crea termenul corect b de + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x

Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de grad II (ecuații patratice) Pasul 11

Dacă este necesar, inversați ordinea. Să încercăm să mutăm 2 și 4:

(3x + 4) (x - 2)
Acum, termenul c (4 * 2 = 8) este încă corect, dar produsele externe / interne sunt -6x și 4x. Prin combinarea lor:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xSuntem aproape de 2x, dar semnalul este în neregulă.

Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de grad 2 (ecuații patratice) Pasul 12

Verificați semnele dacă este necesar. Păstrați aceeași comandă, dar modificați-o cu semnul minus:

(3x-4) (x + 2)
Acum, termenul c este încă corect, dar produsele externe / interne sunt (6x) și (-4x). Cum să:

6x - 4x = 2x
2x = 2xAcum este posibil să recunoaștem termenul pozitiv de 2x din problema inițială. Acestea ar trebui să fie factorii potriviți.

Metoda 2
descompunere

Această metodă identifică toți factorii posibili ai termenilor și c și le utilizează pentru a afla ce factori ar trebui să fie. Dacă numerele sunt prea mari sau celelalte metode par mai complicate, utilizați această metodă. Să folosim exemplul:

6x² + 13x + 6

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Etapa 13

Înmulțiți termenii și c. În acest exemplu, ambele sunt egale cu 6.

6 * 6 = 36

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 14

Descoperiți valoarea termenului b factoring și testare. Este necesar să se găsească două numere care sunt factori de produs ai * c și sunt, de asemenea, echivalente cu termenul b (13) atunci când sunt adăugate împreună.

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Imaginea intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pasul 15

Înlocuiți cele două numere obținute în ecuație ca sumă a termenului b. Să folosim k și h pentru a reprezenta cele două numere obținute, 4 și 9:

topor² + kx + hx + c
6x² + 4x + 9x + 6

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 16

Factorul polinomului prin grupare. Aranjați ecuația astfel încât să puteți lua în calcul cel mai mare factor comun al primilor doi și ultimii doi termeni. Ambele grupuri facturate ar trebui să fie aceleași. Adăugați cei mai importanți factori comuni și plasați-i în paranteze alături de grupul factored - rezultatul vor fi cei doi factori:

6x² + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3
Triple match

Similar cu descompunerea, metoda "triple start" examinează factorii posibili ai produselor termenilor și c, apoi folosiți-le pentru a găsi valoarea b. Ca exemplu, luați în considerare următoarea ecuație:

8x² + 10x + 2

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 17

Înmulțiți termenii și c. Acest lucru vă va ajuta să identificați posibilitățile termenului b, precum și metoda de descompunere. În acest exemplu, este egal cu 8 și c este echivalent cu 2.

8 * 2 = 16

Imagine intitulată Polinomi de gradul II de grad 2 (ecuații patratice) Pasul 18

Găsiți două numere cu aceste numere ca produs și suma sunt echivalente cu termenul b. Acest pas este identic cu metoda de descompunere - trebuie să testați și să respingeți candidații pentru constante. Produsul termenilor și c este 16, iar termenul c este egal cu 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 19

Luați aceste două numere și încercați înlocuirea lor în formula "triple match". Luați cele două numere din pasul anterior - să le sunăm h și k - și le-a pus în expresia aceea:

(ax + h) (ax + k)) / a

În acest caz, vom obține:

(8x + 8) (8x + 2)) / 8

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pas 20

Vedeți care dintre cei doi termeni ai numărătorului este la fel de divizibil . În acest exemplu, verificăm dacă (8x + 8) sau (8x + 2) poate fi împărțit la 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, deci să împărțim acest termen și lăsați pe ceilalți așa cum sunt.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termenul pe care îl salvăm în acest caz este restul diviziunii prin termen : (x + 1)

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 21

Luați cel mai mare factor comun pentru unul sau ambii termeni, dacă este cazul. În acest exemplu, al doilea termen are ca factor comun numărul 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu termenul identificat în pasul anterior. Acestea sunt factorii ecuației.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4
Diferența dintre două rădăcini

Unii coeficienți din polinomi pot fi identificați drept "rădăcini" sau produsul a două numere. Identificarea acestor rădăcini vă permite să factorizați polinoamele mult mai rapid. Luați în considerare ecuația:

27x² - 12 = 0

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 22

Factorul cel mai mare factor comun, dacă este posibil. În acest caz, putem vedea că 27 și 12 sunt ambele divizibile prin 3, deci să le separăm:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 23

Identificați dacă coeficienții ecuației sunt numere pătrate. Pentru a utiliza această metodă, ar trebui să puteți lua rădăcina pătrată exactă a termenilor. Rețineți că semnele de scădere sunt lăsate afară, deoarece aceste numere sunt pătrate care pot fi produse cu două numere pozitive sau negative.

9x² = 3x * 3x și 4 = 2 * 2

Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 24

Folosind rădăcinile pătrate identificate, scrieți factorii. Luați valorile și c pasul de mai sus ( = 9 și c = 4) și calculați rădăcinile pătrate ale acestora - √ = 3 și √c = 2. Acestea vor fi coeficienții factorului expresiilor:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x2)

Metoda 5
Formula quadratică

Dacă celelalte metode nu reușesc și ecuația nu este luată în considerare în mod uniform, utilizați formula patratică. Luați în considerare următorul exemplu:

x² + 4x + 1 = 0

Poză intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 25

Înlocuiți valorile corespunzătoare în formula patratică:

x = -b ± √ (b² - 4ac)
---------------------
2a
Obținem expresia:

x = -4 ± √ (4² - 4 • 1 • 1) / 2

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 26

Calculați valoarea x. Trebuie să obțineți două valori pentru x. Așa cum am arătat mai sus, primim două răspunsuri:

x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 27

Utilizați valorile x pentru a calcula factorii. Înlocuiți x. Acestea vor fi factorii. Dacă identificăm cele două răspunsuri ca h și k, trebuie să scrieți factorii după cum urmează:

(x - h) (x - k)
În acest caz, răspunsul final este:

(x + 2 + √ (3)) (x + (2 + √ (3))

Metoda 6
Utilizarea unui Calculator

Dacă este posibil să se folosească, un calculator de grafică face procesul de factoring mult mai ușor, mai ales în timpul testelor. Următoarele instrucțiuni sunt pentru un calculator grafic. Luați în considerare următorul exemplu:

y = x² - x - 2

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 28

Introduceți ecuația în calculator. Veți folosi un rezolvator de ecuații, cunoscut și sub numele de ecran [Y =].

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 29

Asamblați graficul ecuației în calculator. După intrarea în ecuație, apăsați tasta [GRAPH] - ar trebui să vedeți un arc de cerc care reprezintă ecuația (și va fi un arc, din moment ce avem de-a face cu polinoame).

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 30

Vezi unde arcul intersectează axa x. Deoarece ecuațiile polinomiale sunt de obicei scrise ca topor² + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori ale lui x care fac expresia egală cu zero:

(-1,0), (2,0)
x = -1, x = 2

Dacă nu puteți identifica unde trece graficul x, apăsați [2nd] și apoi [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați "zero". Glisați cursorul spre stânga intersecției și apăsați [ENTER]. Glisați cursorul spre dreapta intersecției și apăsați pe [ENTER]. Glisați cursorul la intersecția cea mai apropiată și apăsați [ENTER]. Calculatorul va găsi valoarea x. Faceți același lucru pentru cealaltă intersecție.

Imagine intitulată Polinomi de gradul doi de gradul II (ecuații patratice) Pasul 31

Înlocuiți x obținută în etapa anterioară în două expresii factoriale. Când folosiți cele două x (h și k), expresia folosită va fi:

(x - h) (x - k) = 0
Prin urmare, cei doi factori ar trebui să fie:

(x - 2) = (x + 1) (x - 2)

sfaturi

Dacă aveți un calculator TI-84 (grafic), există un program numit "SOLVER" care rezolvă o ecuație patratică. De asemenea, rezolvă polinomi de alte grade.
Dacă un termen nu există, coeficientul este 0. Poate fi util să rescrieți ecuația dacă apare acest lucru, de exemplu: x² + 6 = x² + 0x + 6.
Dacă ați calculat un polinom folosind formula patratică și ați primit răspunsuri cu radicalii, convertiți valorile lui x pentru fracțiuni pentru a le conferi.
Dacă termenul nu are un coeficient scris, acesta va fi 1, adică x² = 1x².
După o practică suficientă, în cele din urmă veți putea să factorizați polinomii capului. Până atunci, scrie-le pe hârtie.

avertismente

Dacă învățați acest concept într-o clasă de matematică, acordați atenție sfaturilor profesorului și nu folosiți doar metoda preferată. Profesorul dvs. poate solicita utilizarea unei metode specifice într-un test sau nu permite utilizarea unui calculator grafic.