Cum să finalizați pătratul

Completarea pătratului reprezintă o tehnică foarte utilă care vă permite să reordonați o ecuație cuadratoare într-un mod mai ușor de vizualizat sau de rezolvat. Este posibil să completați pătratul pentru a rearanja o ecuație mai complicată sau chiar pentru ao rezolva. Dacă doriți să învățați cum să faceți acest lucru, urmați pașii de mai jos.

conținut

Pași
Metoda 1transformarea unei ecuații de la formularul standard la forma vârfului
Metoda 2rezolvarea unei ecuații patratice
Sfaturi

pași

Metoda 1
Transformarea unei ecuații de la formularul standard la forma vârfului

Scrieți formula. Să presupunem că lucrați cu următoarea ecuație: 3x² - 4x + 5.

Imagine intitulată Completați Piața Pasul 2

Factorul este coeficientul termenului maxim din primii doi termeni. Pentru a face un 3 din primii doi termeni, extrageți numărul și plasați-l prin înmulțirea parantezelor care conțin ambele numere și împărțiți câte câte trei. 3x² împărțit la 3 va fi egal cu x² și 4x împărțit la 3 va arăta ca 4x / 3. Astfel, noua ecuație va fi similară cu: 3 (x² - 4 / 3x) + 5. Numărul 5 va rămâne în afara ecuației deoarece nu a fost împărțit la 3.

Imaginea intitulată Completați Piața Pasul 3

Împărțiți al doilea semestru la jumătate și ridicați-l drept. Al doilea termen, de asemenea cunoscut sub numele de b din ecuație, este egală cu 4/3. Găsiți-vă jumătatea, împărțind-o cu 2. 4/3 ÷ 2 sau 4/3 × 1/2, ceea ce va duce la 2/3. Acum găsiți pătratul acestui termen prin ridicarea numărătorului și a numitorului fracțiunii la a doua putere. (2/3)² = 4/9. Scrieți acest termen.

Imaginea intitulată Completați Piața Pasul 4

Adăugați și scadeți acest termen din ecuație. Veți avea nevoie de termenul "extra" pentru a face primii trei termeni ai ecuației într-un pătrat perfect. Cu toate acestea, trebuie să vă amintiți că ați adăugat-o în scăderea formulei. Deși, evident, nu va fi foarte util să combinați termenii, deoarece vă veți întoarce la punctul de plecare. Noua ecuație va arăta astfel: 3 (x² - 4 / 3x + 4/9 - 4/9) + 5.

Extrageți termenul scurs din paranteze. Deoarece lucrați cu un coeficient de 3 din paranteze, nu puteți elimina doar -4 / 9. Este necesar să se înmulțească cu 3. -4/9 × 3 = -12/9 sau -4/3. Dacă nu lucrați cu o ecuație care conține un coeficient diferit de 1 pentru termenul x², puteți trece peste acest pas.

Imaginea intitulată Completați etapa pătratului 6

Transformați termenii în paranteze într-un pătrat perfect. Acum, aveți 3 (x² - 4 / 3x + 4/9) în interiorul parantezelor. Aveți 4/9, care era doar o altă modalitate de a găsi termenul care să completeze pătratul. În acest fel, puteți rescrie acești termeni după cum urmează: 3 (x - 2/3)². Tot ce trebuie făcut este să reducem al doilea semestru la jumătate și să eliminăm al treilea. Puteți verifica rezultatul multiplicând-o și notând că rezultă în primii trei termeni ai ecuației.

3 (x - 2/3)² =
3 (x - 2/3) (x - 2/3) =
3 [(x² - 2 / 3x - 2 / 3x + 4/9)] =
3 (x² - 4 / 3x + 4/9)

Imaginea intitulată Completați etapa pătratului 7

Potriviți termenii constanți. Acum există doi termeni constanți care nu sunt atașați la nici o variabilă. Deci aveți 3 (x - 2/3)² - 4/3 + 5. Tot ce trebuie să faceți este să adăugați -4/3 și 5 pentru a obține 11/3. Puteți face acest lucru prin punerea lor cu același numitor: -4/3 și 15/3, adăugând numărătorii pentru a obține 11 și menținerea numitorului ca 3.

-4/3 + 15/3 = 11/3

Scrieți ecuația ca pe un vârf. Gata! Ecuația finală este 3 (x - 2/3)² + 11/3. Puteți elimina coeficientul de 3 împărțind ambele părți ale ecuației pentru a obține (x - 2/3)² + 11/9. Acum, ați scris ecuația în formă de vârf sau a (x-h)2 + k, unde k reprezintă termenul constant.

Metoda 2
Rezolvarea unei ecuații patratice

Scrieți problema. Să presupunem că lucrați cu următoarea ecuație: 3x² + 4x + 5 = 6

Imaginea intitulată Completați Piața Pătratului 10

Congelați termenii constanți și plasați-i pe partea stângă a ecuației. Termenii constanți sunt toți cei care nu sunt atașați la nici o variabilă. În acest caz, aveți 5 pe partea stângă și 6 pe partea dreaptă. Ar trebui să mutați partea 6 în partea stângă pentru a scădea această valoare din ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, veți avea 0 pe partea dreaptă (6 - 6) și -1 pe partea stângă (5 - 6). Acum, ecuația va fi scrisă ca: 3x² + 4x = 1.

Imagine intitulată Finalizați etapa 11 din Piață

Factorul este coeficientul termenului pătrat. În acest caz, 3 este coeficientul termenului x². Pentru a factoriza 3, extrageți pur și simplu acest număr, puneți termenii rămași în paranteze și împărțiți câte câte trei. Astfel, 3x² ÷ 3 = x², 4x ÷ 3 = 4 / 3x și 1 ÷ 3 = 1/3. Acum, ecuația va fi scrisă ca: 3 (x² + 4 / 3x - 1/3) = 0.

Imaginea intitulată Completați pașii din Piața 12

Împărțiți constanta pe care tocmai ați făcut-o. Aceasta înseamnă că este posibil să scapi definitiv de cele 3 care sunt în afara parantezelor. Deoarece ați împărțit fiecare termen cu 3, acesta poate fi eliminat fără interferențe în ecuație. Veți avea acum x² + 4 / 3x - 1/3 = 0.

Imaginea intitulată Completați Piața Pătratului 13

Împărțiți al doilea termen în jumătate și ridicați-l în mod corespunzător. Apoi, luați al doilea termen, 4/3, afișat și ca termen b, și găsiți-vă jumătate. 4/3 ÷ 2 sau 4/3 × 1/2 este egal cu 4/6 sau 2/3. Cu toate acestea, 2/3 pătrat este egal cu 4/9. Când ați terminat, va trebui să o scrieți pe partea stângă și dreapta a ecuației, deoarece se adaugă în esență un nou termen. Pentru ao menține echilibrată, trebuie să o ai pe ambele părți ale ecuației. Acum va arata ca x² + 4 / 3x + 2/3² - 1/3 = 2/3².

Imaginea intitulată Completați pașii patrați 14

Treceți termenul constant original în partea dreaptă a ecuației și adăugați-l la termenul existent de pe acea parte. Transferați termenul constant inițial, -1/3, în partea dreaptă, ca 1/3. Adăugați-o la termenul prezent, 4/9 sau 2/3². Găsiți un numitor comun care se potrivește cu 1/3 și 4/9 și înmulțiți atât numărul și numitorul cu 1/3 cu 3. 1/3 × 3/3 = 3/9. Acum, adăugați 3/9 și 4/9 pentru a obține 7/9 în partea dreaptă a ecuației. Ca rezultat, veți primi: x² + 4 / 3x + 2/3² = 4/9 + 1/3, iar apoi x² + 4 / 3x + 2/3² = 7/9.

Imaginea intitulată Finalizați etapa 15 din Piața

Scrieți partea stângă a ecuației ca pătrat perfect. Din moment ce ați folosit deja o formulă pentru a afla ce este termenul lipsă, partea dificilă se face. Acum tot ce este rămas este de a pune x și jumătate din al doilea coeficient în paranteze și a le ridica la pătrat, după cum urmează: (x + 2/3)². Rețineți că factoring pătrat perfect vă va oferi trei termeni: x² + 4 / 3x + 4/9. Acum, ecuația va arăta astfel: (x + 2/3)² = 7/9.

Scoateți rădăcina pătrată pe ambele părți. În partea stângă a ecuației, rădăcina pătrată a (x + 2/3)² este pur și simplu x + 2/3. În partea dreaptă, veți avea +/- (√7) / 3 rămase. Rădăcina pătrată a numitorului, 9, este exact 3, iar rădăcina pătrată a lui 7 va fi √7. Nu uitați să scrieți +/-, deoarece rădăcina pătrată poate fi pozitivă sau negativă.

Izolați variabila. Pentru a izola variabila x, treceți termenul constant 2/3 în partea dreaptă a ecuației. Acum aveți două răspunsuri posibile pentru x: ± (√7) / 3 - 2/3. Acestea sunt singurele posibilități. Puteți lăsa ecuația așa cum este sau puteți găsi rădăcina pătrată de 7 dacă doriți un răspuns fără semnul rădăcină.

sfaturi

Nu uitați să puneți - în locul potrivit, sau veți primi doar un singur răspuns.
Chiar și după cunoașterea formulei patrate, obișnuiți-vă să completați pătrat ocazional, dovedind formula brută sau rezolvând exerciții de practică. În acest fel, nu veți uita cum să faceți acest lucru când este necesar.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit