Cum să rezolvi o ecuație cubică

Prima dată când te uiți la o ecuație de gradul trei, care urmează formula topor

conținut

Pași
Metoda 1utilizând formula quadratică
Metoda 2găsirea soluțiilor complete cu lista de factori
Metoda 3utilizarea metodei discriminant

³ + bx² + cx + d = 0, este comun să credem că nu are nicio soluție. Cu toate acestea, metoda de a găsi rădăcinile acestor funcții a fost în jur de secole! Descoperit acum 500 de ani de matematicienii italieni Niccolò Tartaglia și Gerolamo Cardano, această procedură a fost una dintre puținele care nu au fost cunoscute de greci și de romani. Rezolvarea ecuațiilor cubice poate fi dificilă, dar cu abordarea corectă (și o mică cunoaștere de bază), chiar și cei mai ciudați pot fi stăpâniți.

pași

Metoda 1
Utilizând Formula Quadratică

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 1

Verificați dacă ecuația are o constantă. După cum este descris mai sus, aceste funcții urmează topor³ + bx² + cx + d = 0. b, c, și d poate fi 0 fara a afecta gradul ecuatiei, adica nu are nevoie sa aiba termenii de ordine 2, 1 si 0. Pentru a folosi aceasta metoda relativ simpla, verificati daca ecuatia are o constanta sau daca d este diferit de zero. Dacă d = 0, puteți folosi ghid pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul doi pentru a găsi motivele pentru funcția patratică după o manipulare matematică simplă.

Pe de altă parte, dacă ecuația are o constantă, va trebui să folosiți alte metode. Continuați să citiți articolul pentru a afla mai multe despre ele.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 2

Puneți "x" în evidență. Deoarece ecuația dvs. nu are o constantă, toți termenii au variabila "x" în ele, adică "x" poate fi pusă în evidență pentru a simplifica funcția. Faceți acest lucru rescriind ecuația în formular x(topor² + bx + c).

De exemplu, să presupunem că ecuația inițială a fost de 3x³ + -2x² + 14x = 0. Punerea "x" în evidență, avem x(3x² + -2x + 14) = 0.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 3

Utilizați formula quadratică pentru a găsi rădăcinile părții în paranteze. S-ar putea să fi observat că funcția din paranteze este de gradul doi (topor² + bx + c). Aceasta înseamnă că ne putem găsi rădăcinile folosind formula lui BASKHARA ({b +/ -v (b²- 4AC)} / 2). Faceți acest lucru pentru a găsi două dintre rădăcinile pentru ecuația dvs. cubică.

În exemplul nostru, vom folosi valorile a b și c valorile (3, -2 și, respectiv, 14) din formula BASKHARA:
{-b +/ -v (b²- 4AC)} / 2
(- (- 2) +/- v ((-2)²- 4 (3) (14) / 2 (3)
(2 +/- v (4 - (12) (14)) / 6
(2 +/- v (4 - (168)) / 6
{2 +/- v (-164)} / 6
Răspunsul 1:
{2 + v (-164)} / 6
{2 + 12,8eu} / 6
Răspunsul 2:
{2 - 12.8 laeu} / 6

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 4

Rădăcinile ecuației cubice sunt zero și cele două se găsesc în patrate. În timp ce funcțiile patratice au două rădăcini, cele cubice au trei, ați găsit deja două motive pentru ecuația cubică care rezolvă problema patratică. În cazurile în care puteți pune în evidență "x", a treia rădăcină va fi "0". Felicitări, tocmai v-ați rezolvat prima ecuație cubică.

Motivul pentru aceasta este că "orice număr de ori zero duce la zero". Când faci ecuația în formă x(topor² + bx + c) = 0, este împărțit în două părți: o parte este "x" iar cealaltă este funcția patratică. Pentru ca această ecuație fuzionată să fie nulă, una sau ambele părți trebuie să fie nulă. Din acest motiv, ambele rădăcini ale funcției patrate sunt și rădăcinile cubului. Pentru a zero prima parte a ecuației (sau "x"), avem nevoie de x = 0 și, prin urmare, aceasta este cealaltă rădăcină a cubului.

Metoda 2
Găsirea soluțiilor complete cu lista de factori

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 5

Asigurați-vă că ecuația are o constantă. Deși metoda de mai sus este practică deoarece nu utilizează nici o cunoaștere matematică nouă, nu va funcționa întotdeauna. Dacă ecuația are forma topor³ + bx² + cx + d = 0, adică cu "d" nu este nulă, nu puteți pune "x" în evidență și, prin urmare, trebuie să utilizați metoda descrisă în această secțiune sau în secțiunea de mai jos.

De exemplu, să luăm ecuația 2x³ + 9x² + 13x = -6. În acest caz, pentru a anula partea dreaptă a egalității, trebuie doar să adăugați 6 pe ambele părți. Prin urmare, noua ecuație este: 2x³ + 9x² + 13x + 6 = 0 și, ca d = 6, nu putem izola "x".

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 6

Pentru a rezolva ecuația cubică, începe prin factoring "a" (coeficientul de x³) și d (constanta). Factorii unui număr sunt cei ale căror rezultate au ca rezultat. De exemplu, 6 poate fi obținut prin înmulțirea a 6x1 și 2x3. Prin urmare, factorii ei sunt {1, 2, 3 și 6}.

În exemplul nostru, a = 2 și d = 6. Factorii lui 2 sunt {1, 2} și cei ai lui 6 sunt {1, 2, 3, 6}

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 7

Împărțiți factorii "a" prin factorii "d". Apoi, listați valorile obținute prin împărțirea fiecărui factor de "a" cu fiecare factor de "d". De obicei, acest lucru va avea ca rezultat mai multe fracții și câteva întregi. Soluțiile pentru ecuația dvs. cubică vor fi numerele întregi sau opusul unuia dintre aceste numere.

În exemplul nostru, împărțirea (1, 2) prin factorii lui d (1, 2, 3, 6), avem următorul set: {1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 și 2/3}. Apoi adăugăm opusul setului pentru a-l completa: {1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2 , 2/3 și -2/3}. Soluțiile pentru ecuația cubică sunt neapărat în acest set.

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 8

Utilizați divizarea sintetică sau verificați manual rezultatele. Odată ce ați găsit lista rădăcinilor posibile în mână, puteți găsi soluțiile prin înlocuirea manuală a numerelor în ecuația inițială și verificarea valabilității egalității. Cu toate acestea, dacă nu doriți să pierdeți timpul efectuând acest lucru, există o metodă mai simplă care implică o tehnică numită diviziune sintetică. Practic, valorile întregului sunt împărțite de coeficienții ecuației inițiale. Dacă diviziunea dă odihnă 0, atunci valoarea și întrebarea sunt o rădăcină a ecuației.

Divizarea sintetică este un subiect destul de complex - verificați linkul de mai sus pentru mai multe informații despre subiect. Apoi, vom arăta cum este posibil să găsim una din soluțiile ecuației noastre folosind această metodă.
-1 | 2 9 13 6
__ | -2-7-6
__ | 2 7 6 0
Deoarece avem un rest 0, știm că (-1) este o soluție a ecuației cubice.

Metoda 3
Utilizarea metodei Discriminant

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 9

Scrieți valorile pentru a b c și d. În această metodă vom lucra din greu asupra coeficienților. Din acest motiv, este important să notăm valorile lor înainte de a începe, pentru a nu le uita în timpul calculelor.

De exemplu, pentru ecuația x³ - 3x² + 3x - 1, trebuie notat a = 1, b = -3, c = 3 și d = -1. Nu uitati ca atunci cand nu exista un coeficient in fata "x", aceasta se datoreaza faptului ca aceasta valoare este 1.

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 10

Calculați Δ0 = b² - 3AC. Această metodă necesită unele calcule complicate, dar urmând pasul cu pas, veți realiza că este un instrument fundamental pentru găsirea rădăcinilor ecuațiilor cubice. Pentru început, găsiți valoarea lui Δ0, prima dintre multele constante care vor fi necesare, înlocuind coeficienții din formula b² - 3AC.

Rezolvind pentru exemplul nostru, avem:
b² - 3AC
(-3)² - 3 (1) (3)
9 - 3 (1) (3)
9-9 = 0 = Δ0

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 11

Calculați Δ1 = 2b³ - 9Abc + 27²d. Cealaltă constanță de care avem nevoie, Δ1, necesită puțin mai multă muncă, dar este calculată în același mod ca Δ0. Pur și simplu înlocuiți valorile coeficienților din formula 2b³ - 9Abc + 27²d pentru a găsi Δ1.

În exemplul nostru:
2 (-3)³ - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)²(-1)
2 (-27) -9 (-9) + 27 (-1)
-54 + 81 - 27
81 - 81 = 0 = Δ1

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 12

Rezolvați ecuația Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27². Apoi, calculăm funcția cubică discriminantă cu valorile Δ0 și Δ1. Un discrimant este, în esență, un număr care ne oferă informații despre rădăcinile unui polinom (probabil că știi discriminatorul lui Bhaskara, de exemplu, b² - 4AC). În cazul unei ecuații cubice, dacă discriminantul este pozitiv, va avea trei rădăcini, dacă discriminantul este negativ, va avea o singură rădăcină. O funcție cubică va avea întotdeauna o soluție reală deoarece graficul tău trebuie să taie axa orizontală cel puțin o dată.

În exemplul nostru, atât Δ0 cât și Δ1 = 0, calculul Δ va fi extrem de simplu:
Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27²
(0)² - 4 (0)³) ÷ -27 (1)²
0 - 0 ÷ 27
0 = Δ, deci ecuația noastră are unul sau două răspunsuri.

Imaginea intitulată Rezolva o ecuație cubică Pasul 13

calcula C = ³v (v ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2). Ultima constantă care trebuie calculată este "C". Pentru ao găsi, pur și simplu înlocuiți valorile Δ1 și Δ0 după cum este necesar.

În exemplul nostru:
³v (v ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2)
³v (v 0² - 4 (0)³) + (0)) / 2)
³v (v ((0-0) + (0)) / 2)
0 = C

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 14

Calculați cele trei rădăcini ale ecuației cubice cu constantele calculate. Acestea sunt definite de formula (b + uⁿC + (Δ0 /uⁿC)) / 3, unde u = (-1 + v (-3)) / 2 și n presupune valoarea 1, 2 sau 3. Înlocuiți valorile după cum este necesar. Deși sunt necesare mai multe calcule, ar trebui să găsiți cele trei rădăcini ale ecuației cubice.

În exemplul nostru, putem rezolva ecuația pentru valorile n = 1, 2 sau 3. Răspunsurile găsite sunt soluții posibile ale ecuației cubice (înlocuiți-le doar și verificați dacă obținem 0). De exemplu, dacă obținem valoarea de 1 în unul dintre testele noastre, cum ar fi înlocuirea "x" cu una din funcții x³ - 3x² + 3x - 1 rezultă în 0, știm că 1 este una dintre rădăcinile ecuației cubice în cauză.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit