Cum să faci ecuații algebrice

În matematică, factoring

conținut

Pași
Metoda 1factoring numere și expresii algebrice
Metoda 2factoring ecuații quadratice
Sfaturi
Materiale necesare

reprezintă actul de descoperire a numerelor sau expresiilor care se înmulțesc pentru a da un anumit număr sau o ecuație. Factoringul este o abilitate utilă pentru a învăța să rezolve problemele de bază ale álgebra- capacitatea de a factorului competent devine aproape esențială atunci când se ocupă cu ecuații pătratice și alte forme de polinoame. Factoringul poate fi utilizat pentru a simplifica expresiile algebrice pentru a simplifica rezoluția. Poate chiar vă dă posibilitatea de a elimina anumite răspunsuri posibile mult mai repede decât dacă nu le-ați folosit.

pași

Metoda 1
Factoring numere și expresii algebrice

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 1

Înțelegerea definiției factorarului atunci când este aplicată numerelor izolate. Factoringul este simplu din punct de vedere conceptual, dar în practică se poate dovedi a fi o sarcină dificilă atunci când este cuplată cu ecuații complexe. Din acest motiv, este mai ușor să abordăm conceptul de factorizare începând cu numere simple și apoi să continuăm cu ecuații simple înainte de a trece la aplicații mai avansate. factori a unui număr sunt acei termeni care se înmulțesc pentru a avea ca rezultat. De exemplu, factorii de 12 sunt 1, 12, 2, 6, 3 și 4, deoarece 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4 toate au 12 ca rezultat.

O altă modalitate de a gândi este să considerăm că factorii unui număr sunt cei pentru care este la fel de divizibil.
Puteți găsi toți factorii de numărul 60? Vom folosi acest număr dintr-o varietate de motive (minute într-o oră, secunde într-un minut, etc.) prin faptul că este la fel de divizibil cu un număr mare de numere.
- Factorii de 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 2

Înțelegeți că expresiile variabile pot fi, de asemenea, luate în considerare. În același mod în care numerele izolate pot fi luate în calcul, pot varia variabilele cu coeficienți numerici. Pentru a face acest lucru, găsiți pur și simplu factorii coeficienților variabilelor. Cunoașterea modului de factorizare a variabilelor este utilă în simplificarea ecuațiilor algebrice în care există variabile.

De exemplu, variabila 12x poate fi scrisă ca produs de 12 și x. Putem scrie la fel ca 12x, sau 3 (4x), 2 (6x), etc., folosind orice factor care este mai potrivit pentru scopul nostru.
- Nu putem merge niciodată atât de mult încât să faci 12x de mai multe ori. Cu alte cuvinte, nu trebuie să se oprească 3 (4x) sau 2 (6x) - putem lua în calcul 4x și 6x, rezultând în 3 (2 (2)) și 2 (3 (2)), respectiv. Evident, aceste două expresii sunt identice.

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 3

Aplică proprietatea distributivă a multiplicării în factorizarea ecuațiilor algebrice. Folosind cunoștințele dvs. despre cum să factorizați numerele singulare sau variabile cu coeficienți, puteți simplifica ecuațiile algebrice prin găsirea factorilor pe care numerele și variabilele le au în comun. De obicei, pentru a face o ecuație cât mai simplă posibil, vom încerca cel mai mare factor comun. Acest proces de simplificare este posibil din cauza proprietății distributive a multiplicării, care definește faptul că pentru orice număr a, b și c, a (b + c) = ab + ac.

Să încercăm o problemă de exemplu. Pentru factorul ecuație algebrică 12x + 6, vom încerca mai întâi să găsească cel mai mare factor comun între 12x și 6. Numărul 6 este cea mai mare, care împarte, de asemenea, atât 12x și 6 și, prin urmare, putem simplifica ecuația pentru 6 (2x + 1).
Acest proces se aplică și ecuațiilor cu numere și fracții negative. x / 2 + 4, de exemplu, poate fi simplificată la 1/2 (x + 8), iar -7x + -21 poate fi luată în considerare la -7 (x + 3).

Metoda 2
Factoring Ecuații Quadratice

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 4

Asigurați-vă că ecuația are forma patratică. Ecuațiile quadratice au forma toporului² + bx + c = 0, unde a, b și c sunt constantele numerice și a nu este egal cu 0 (notează că putea fi egal cu 1 sau -1). Dacă aveți o ecuație care conține o variabilă (x), care are unul sau mai mulți termeni de x ridicat la cea de a doua putere, puteți ajusta, de obicei, termenii acestuia cu operațiile algebrice de bază pentru a fi 0, pe de o parte a egalității și topor² pe de altă parte.

De exemplu, ia în considerare ecuația algebrică 5x² + 7x-9 = 4x² + x - 18, care pot fi simplificate pentru x² + 6x + 9 = 0, care este în formă patratică.
Ecuații cu termeni mai mari decât x, cum ar fi x3, x⁴, etc. nu poate fi considerată patratică. Acestea sunt cubice, quartice și așa mai departe, cu excepția cazului în care ecuația poate fi simplificată pentru a elimina termenii lui x cu o putere mai mare de 2.

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 5

În ecuațiile patratice unde a = 1, este posibil să le factorizăm la (x + d) (x + e), unde d × e = c și d + e = b. Dacă ecuația cuadratoare ia forma x² + bx + c = 0 (cu alte cuvinte, dacă coeficientul termenului x² este egal cu 1), este posibil (dar nu este garantat) ca o scurtătură relativ simplă să poată fi utilizată pentru ao factoriza. Găsiți două numere care se înmulțește pentru a da c și care se adaugă până la rezultatul b. Odată ce găsiți aceste două numere, d și e, puneți-le în următoarea expresie: (x + d) (x + e). Acești doi termeni, atunci când se înmulțesc împreună, produc ecuația patratică dorită - cu alte cuvinte, ei sunt factorii ecuației sale patrate.

De exemplu, ia în considerare ecuația patratică x² + 5x + 6 = 0. Numerele 2 și 3 sunt multiplicate pentru a se obține 6 și se adaugă, de asemenea, să aibă ca rezultat 5, astfel încât să putem simplifica ecuația în expresie (x + 3) (x + 2).
Există variații mici în această scurtătură de bază pentru variațiile diferite ale ecuațiilor:
- Dacă ecuația cuadratoare ia forma x² - bx + c, răspunsul dvs. va fi scris ca: (x - _) (x - _).
- Dacă ia forma x² + bx + c, răspunsul dvs. va fi scris ca: (x + _) (x + _).
- Dacă ia forma x² - bx - c, răspunsul dvs. va fi scris ca (x + _) (x - _).
Notă: Numerele necompletate pot fi fracțiuni sau zecimale. De exemplu, ecuația x² + (21/2) x + 5 = 0 poate fi inclus în (x + 10) (x + 1/2).

Imaginea intitulată Ecuațiile factorului algebric Pasul 6

Dacă este posibil, verificați fabricile. Credeți-vă sau nu, în cazul ecuațiilor quadratice necomplicate. Una dintre formele acceptate de factorizare este pur și simplu să examineze problema și apoi să ia în considerare răspunsurile posibile până la găsirea celei corecte. Acest proces este, de asemenea, cunoscut sub numele de factorizare de inspecție. Dacă ecuația are forma axei² + și bx + c form> 1, răspunsul va fi factorizat (dx _ +/-) (+/- _ ex), unde d și e sunt constante numerice diferite de zero, care este multiplicată pentru a avea ca rezultat o. Ambele d și e (sau ambele) putea fi numărul 1, deși acest lucru nu se întâmplă întotdeauna întotdeauna. Dacă ambele sunt 1, ați folosit în mod esențial comanda rapidă descrisă mai devreme.

Luați în considerare o problemă de exemplu. 3x² - 8x + 4, la prima vedere, poate părea intimidant. Cu toate acestea, atunci când facem ca 3 are doar doi factori (03:01), ecuația devine mai ușor pentru că noi știm că răspunsul va lua forma (3x _ +/-) (+/- x _). În acest caz, adăugarea unui -2 la ambele spații ne va da răspunsul corect. -2 × 3x = -6x și -2 × x = -2x. Suma -2x -6x și rezultatele în -8x și înmulțirea cu -2 din 2 rezultate in 4, astfel încât să putem vedea între paranteze în termeni de multiplicare factored rezultând în ecuația inițială.

Imaginea intitulată Ecuațiile factorului algebric Pasul 7

Rezolva problema prin completarea pătratului. În unele cazuri, ecuațiile patratice pot fi rapid și ușor luate în considerare folosind o identitate algebrică specială. Orice ecuație quadratică în forma x² + 2xh + h² = (x + h)². Astfel, dacă, în ecuația sa, valoarea b este de două ori rădăcina pătrată a valorii ei c, ecuația poate fi luată în considerare la (x + (√c))².

De exemplu, ecuația x² + 6x + 9 se potrivește în acest format. 3² este egal cu 9 și 3 x 2 este egal cu 6. Deci, știm forma factorizata a acestei ecuații este (x + 3) (x + 3) sau (x + 3)².

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 8

Utilizați factori pentru a rezolva ecuațiile patratice. Indiferent de modul în care fatorará expresia ta pătratice, din moment ce este luat, puteți găsi răspunsuri la valoarea lui x pentru a defini fiecare factor egal cu zero și să o rezolve. Din moment ce căutați valori ale lui x, care fac ecuație este egală cu zero, o valoare a lui x este egal cu zero la oricare dintre factorii este un posibil răspuns la ecuația pătratică.

Să revenim la ecuația x² + (X + 2) = 0. Dacă oricare dintre factori este egal cu 0, întreaga ecuație va fi egală cu 0, astfel încât răspunsurile posibile la x sunt numerele care fac (x + 3) și (x + 2) egale cu 0. Acestea sunt -3 și, respectiv, -2.

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 9

Verificați răspunsurile lor - unele dintre ele pot fi ciudate! După ce ați găsit răspunsurile posibile pentru x, puneți-le înapoi în ecuația inițială pentru a vedea dacă acestea sunt valide. Uneori, răspunsurile au fost găsite nu face ca ecuația inițială să fie egală cu zero când este inserată înapoi. Noi numim aceste ecuații ciudat și le ignorăm.

Să punem -2 și -3 în ecuația x² + 5x + 6 = 0. Mai întâi, -2:
- (-2)² + 5 (-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Acest răspuns este adevărat și astfel -2 este un răspuns valid.
Acum să încercăm -3:
- (-3)² + 5 (-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Acest răspuns este, de asemenea, adevărat, astfel încât -3 este, de asemenea, un răspuns valid.

Imaginea intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 10

Dacă ecuația are forma a² - b², (a + b) (a - b). Ecuațiile cu două variabile sunt luate în considerare diferit față de quadratica de bază. Pentru orice ecuație² - b², unde a și b nu sunt egale cu 0, ecuația este luată în considerare la (a + b) (a - b).

De exemplu, ecuația 9x² - 4y² = (9x + 4y) (9x-4y).

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 11

Dacă ecuația are forma a² + 2ab + b², (a + b)². Rețineți că dacă trinomul are forma a² - 2ab + b², forma concretă va fi puțin diferită: (a - b)².

Ecuația 2x² + 16xy + 4y² pot fi rescrise ca 2x² + (2 × 2 × 4) xy + 4y². Acum puteți vedea că este în forma sa corectă, astfel încât să putem spune cu încredere că factorii ecuației poate fi plasată (2x + 4y)².

Imaginea intitulată Factor Ecuații algebrice Pasul 12

Dacă ecuația are forma a³ - b³, fantezie a (a-b) (a² + ab + b²). În cele din urmă, este important să menționăm că ecuațiile de ordin cubice sau mai mari pot fi luate afară, deși procesul devine rapid incredibil mai complicat.

De exemplu, 2x² - 3Y² va fi considerat ca (2x - 3y) (2x² + ((2x) (3y)) + 3y²).

sfaturi

² - b² este un factor, dar² + b² nr.
Amintiți-vă cum să contabilizați constantele - acest lucru ar putea ajuta.
Aveți grijă de fracțiuni în procesul de factorizare și lucrați cu ele corect și cu atenție.
Dacă aveți un trinomial în forma x² + bx + (b / 2)², forma fictivă este (x + (b / 2))².
Amintiți-vă că a0 = 0 (proprietatea produsului zero).