Cum se calculează o rădăcină pătrată manual

Înainte de sosirea calculatoarelor, atât elevii cât și profesorii au trebuit să calculeze manual rădăcinile pătrate. Există mai multe modalități de a calcula rădăcina pătrată a unui număr de mână. Unele metode vă vor oferi un rezultat aproximativ, în timp ce altele pot aduce valoarea exactă. Aflați cum să găsiți rădăcina pătrată utilizând doar operații simple.

conținut

Pași
Metoda 1folosind factoring în prime numbers
Metoda 2calculul rădăcinilor pătrunde manual
Folosind un algoritm de divizare lungă
Metoda 3explicarea procesului
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
Folosind Factoring în Prime Numbers

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 1

Împărțiți numărul în factori patrați perfecți. Această metodă utilizează factorii unui număr pentru a găsi rădăcina pătrată (în funcție de număr, rezultatul poate fi aproximativ sau o valoare exactă). factori a unui număr sunt orice seturi de numere care, înmulțite, rezultă în ea. De exemplu, putem spune că factorii de numărul 8 sunt 2 și 4, pentru că 4 x 2 = 8. Dar rădăcinile patrate perfecte sunt numere întregi care sunt produse ale altor numere întregi. De exemplu, 25, 36 și 49 sunt rădăcini perfecte deoarece 5², 6², și 7², respectiv. Factorii pătrați perfecți sunt, de asemenea, factori patrați perfecți Pentru a începe procesul de factorizare, trebuie să scădeți un număr în factori patrați perfecți.

Să ne uităm la exemplul nostru. Dacă vrem să găsim rădăcina pătrată de 400 manual. Pentru început, împărțiți numărul în factori patrați perfecți. Din moment ce 400 este un multiplu de 100, stim ca este la fel de divizibil cu 25 - o radacina perfecta. Când facem numărul de cap, avem de 25 ori 16 egali cu 400. Și 16, prin coincidență, este de asemenea o rădăcină perfectă. Astfel, factorii patrati sunt de 400 25 și 16, pentru că 25 × 16 = 400.
Puteți descrie operația de mai sus ca fiind: SquareSquare (400) = SquareSize (25 × 16)

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 2

Luați valorile rădăcinii pătrate ale factorilor dvs. patrați perfecți. Proprietatea rădăcină perfectă determină că pentru orice număr și b, Radacina pătrată (a × b) = rădăcină pătrată (a) × rădăcină pătrată (b). Din cauza acestei proprietăți, acum putem descoperi rădăcinile pătrate ale factorilor noștri patrați perfecți și le putem înmulți pentru a obține răspunsul nostru.

În exemplul nostru, vom calcula rădăcinile pătrate de 25 și 16. Verificați mai jos:
- Radacina pătrată (25 × 16)
- Radacina pătrată (25) × Rădăcina pătrată (16)
- 5 × 4 = 20

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 3

Dacă numărul dvs. nu are factorizare perfectă, reduceți răspunsul în termeni simpli. În viața reală, rădăcinile pătrate nu vor fi numere rotunde cu factori pătrători perfecți precum numărul 400. În aceste cazuri, este posibil să nu fie posibil să găsiți răspunsul exact ca număr întreg. Dar găsind factori patrați perfecți, puteți obține un răspuns mai mic, mai simplu și mai ușor de lucru. Pentru a face acest lucru, reduceți numărul într-o combinație de factori patrați perfecți și factori pătrari imperfecți și apoi simplificați.

Să folosim rădăcina pătrată din 147 ca exemplu. Acest număr nu este rezultatul a două pătrate perfecte, deci nu putem obține o valoare integeră exactă. Cu toate acestea, 147 este produsul unui pătrat perfect și un alt număr - 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a simplifica răspunsul nostru:
- Radacina pătrată (147)
- = Rădăcină pătrată (49 × 3)
- = Rădăcină pătrată (49) × rădăcină pătrată (3)
- = 7 × Rădăcină Square (3)

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 4

Dacă este necesar, găsiți o valoare aproximativă. Cu rădăcina pătrată simplificată, este de obicei mai ușor să obțineți o valoare aproximativă prin deducerea valorii rădăcinilor pătrate rămase și înmulțirea acestora. O modalitate de a orienta valori aproximative este găsirea patratelor perfecte pe ambele părți ale rădăcinii pătrată. Deci, puteți ști că valoarea zecimal a numărului în rădăcina sa pătrată se află între aceste două numere, ceea ce face posibilă deducerea acesteia.

Să ne întoarcem la exemplul nostru. Din 2² = 4 și 1² = 1, știm că SquareRow (3) este între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât de 1. Să deducem că este de 1,7. Facem 1,7 × 7 = 11.9 Dacă verificăm acest job pe calculator, putem vedea că ne-am apropiat foarte mult de răspuns 12.13.
- Acest lucru funcționează și pentru numere mari. De exemplu, SquareStrength (35) poate fi între 5 și 6 (probabil mai aproape de 6). 5² = 25 și 6² = 36. 35 este între 25 și 36. Astfel, rădăcina pătrată trebuie să fie între 5 și 6. Deoarece 35 este cea mai apropiată de 36, putem deduce că rădăcina pătrată este numai un pic mai mic decât 6. Când verificăm cu un calculator, putem vedea rezultatul 5.92 - avem dreptate.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 5

O alternativă este să începeți prin reducerea numărului de factori comuni mai mici. Găsirea unor factori patrați perfecți nu poate fi necesară dacă puteți determina cu ușurință factorii prime ai unui număr (factori care sunt și numere prime). Odată ce găsiți cei mai mici factori comuni, căutați perechi de numere prime printre factori. Când găsiți doi factori primiți egali, scoateți atât numerele rădăcinii pătrate, cât și locul o din ele în afara rădăcinii pătrată.

Ca exemplu, vom găsi rădăcina pătrată de 45 folosind această metodă. Știm că 45 = 9 × 5 și știm că, de asemenea, 9 = 3 × 3. Prin urmare, putem scrie rădăcina noastră pătrat, în ceea ce privește factorii săi, cum ar fi următoarele: rădăcină pătrată (3 × 3 × 5). Luați doar 3 și puneți 3 în afara rădăcinii pătrate pentru a obține rezultatul în termeni simpli: (3) rădăcină pătrată (5). Acum este mai ușor să deducem.
Ca un exemplu final, vom încerca să găsim rădăcina pătrată de 88:
- Radacina pătrată (88)
- = Rădăcină pătrată (2 × 44)
- = Rădăcină pătrată (2 × 4 × 11)
- = Rădăcină pătrată (2 × 2 × 2 × 11). Avem câteva numere în rădăcina noastră pătrată. Din moment ce 2 este un număr prime, putem lua o pereche și a pus un 2 în afara rădăcină pătrată.
- = Rădăcina noastră pătrată în termeni simpli este (2) Radacina pătrată (2 × 11) sau (2) Rădăcină pătrată (2) Rădăcină pătrată (11). Deci, putem deduce SquareSquare (2) și SquareSquare (11) și găsim un rezultat aproximativ dacă vrem.

Metoda 2
Calculul rădăcinilor pătrunde manual

Folosind un algoritm de divizare lungă

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 6

Separați cifrele numărului dvs. în perechi. Această metodă utilizează un proces similar cu cel al diviziunii lungi pentru a găsi o rădăcină pătrată exact cifră pe cifră. Dacă este posibil, încercați să organizați numărul în grupuri. Mai întâi, trageți o linie verticală pentru a vă separa zona de lucru în două părți. Apoi, trageți o linie orizontală mai scurtă în partea de sus a părții drepte, pentru ao împărți într-o parte mai mică pe partea de sus și o altă parte mai mare pe fund. Apoi, separați cifrele numărului dvs. în perechi, începând cu punctul zecimal. De exemplu, 79,520,789,182,47897 este "7 95 20 78 91 82, 47 89 7". Scrieți numărul în spațiul superior spre stânga.

De exemplu, vom calcula rădăcina pătrată de 780.14. Desenați două linii pentru a vă împărți zona de lucru așa cum se arată mai sus și scrieți "7 80, 14" în partea de sus a spațiului din stânga. Este în regulă dacă în final nu mai există decât un singur număr, nu o pereche. Scrieți răspunsul (rădăcina pătrată din 780.14.) În spațiul superior spre dreapta.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 7

Găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este egal cu numărul sau perechea ultimelor numere. Începeți cu numerele rămase la sfârșit, indiferent dacă acestea sunt o pereche sau un număr singur. Găsiți cel mai mare pătrat perfect care este mai mic sau egal cu numărul rămasă și apoi calculați rădăcina pătrată a acelui pătrat perfect. Acesta este numărul n. Scrieți n în partea superioară a spațiului spre dreapta și pătratul n din cadranul inferior spre dreapta.

În exemplul nostru, numărul rămasă este numărul 7. După cum știm 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, putem spune că n = 2 deoarece este cel mai mare număr întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 7. Scrieți 2 în cvadrantul din dreapta sus. Aceasta este prima cifră a răspunsului nostru. Tipul 4 (pătratul de 2) din cvadrantul din dreapta jos. Acest număr este important pentru următorul nostru pas.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 8

Reduceți numărul pe care tocmai l-ați calculat din restul de perechi de numere. La fel ca diviziunea lungă, următorul pas este să scăpăm pătratul pe care tocmai l-am găsit folosind valoarea numerelor rămase. Scrieți rezultatul sub primele câteva numere rămase și scădeți scriind răspunsul de mai jos.

În exemplul nostru, am scrie 4 sub 7 și facem scăderea. Așa că am obține rezultatul 3.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 9

Aduceți următoarea pereche de numere. Trageți numerele a căror pătrată se calculează pentru a fi aproape de rezultatul scăderii efectuate în pasul de mai sus. Apoi multiplicați numărul din cadranul superior drept cu 2 și scrieți rezultatul în cvadrantul din dreapta jos. Lângă numărul pe care tocmai l-ați introdus, rezervați un spațiu pentru multiplicarea care va fi făcută în următorul pas :.

În exemplul nostru, următoarea pereche este "80". scrieți "80" lângă 3 în cvadrantul stâng. Apoi multiplicați numărul din dreapta sus cu două. Acest număr este 2, apoi 2 × 2 = 4. Introduceți "4" în cvadrantul din dreapta jos, urmat de _ _ X =.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 10

Completați spațiile libere din cvadrantul drept. Fiecare spațiu din cvadrantul drept trebuie umplut cu același număr întreg. Trebuie să fie cel mai mare număr întreg care permite ca rezultatul înmulțirii în cadranul drept să fie mai mic sau egal cu numărul din stânga.

În exemplul nostru, pentru a umple golurile OM 8, obținem 4 (8) × 8 = 48 x 8 = 384. Această valoare este mai mare decât 380. Astfel, 8 este prea mult, dar 7 poate lucra. scrieți 7 în semne și calculați: 4 (7) × 7 = 329. Cele 7 lucrări, deoarece 329 este mai mic de 380. Scrieți 7 în cvadrantul din dreapta sus. Aceasta este a doua cifră a rădăcinii pătrată de 780.14.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 11

Extrageți numărul pe care tocmai l-ați calculat de la numărul din stânga. Continuați secvența de scădere din diviziunea lungă. Luați rezultatul de înmulțire patrulaterală spre dreapta și sculați-l din numărul din stânga, plasând răspunsul de mai jos.

În exemplul nostru, vom scădea 329 din 380, obținându-ne 51.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 12

Repetați pasul 4. Aduceți în jos următoarele numere ale căror rădăcini pătrate vor fi calculate. Când ajungeți în zecimală a numărului dvs., scrieți o notă zecimală în răspunsul dvs. în cadranul din dreapta sus. Apoi multiplicați numărul în colțul din dreapta sus cu 2 și scrie-l lângă spațiul alb pentru rezultatul de multiplicare ("_ × _"), după cum se arată mai sus.

În exemplul nostru, deoarece calculăm zecimală la 780.14, tastați un zecimal după răspunsul din colțul din dreapta sus. Apoi, așezați următoarea pereche (14) în cvadrantul stâng. De două ori numărul din colțul din dreapta sus (27) dă 54, apoi scrie "54 _ × _ =" în cvadrantul din dreapta jos.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 13

Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cea mai mare cifră pentru a completa spațiile din dreapta care au ca rezultat o valoare mai mică sau egală cu numărul din stânga. Acum rezolvați problema.

În exemplul nostru, 549 × 9 = 4941, care este mai mic sau egal cu numărul din stânga (5114). 549 × 10 = 5490, care este prea mare, deci 9 este răspunsul nostru. Introduceți 9 ca următoarea cifră din cadranul din dreapta sus și scădeți rezultatul din multiplicarea numărului din stânga: 5114 minus 4941 este 173.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 14

Pentru a continua calcularea cifrelor, coborâți o pereche de zerouri inițiale, repetați pașii 4, 5 și 6. Pentru o mai mare precizie, continuați să repetați acest proces pentru a găsi sute, mii, etc. în răspunsul lor. Continuați cu acest ciclu până când găsiți răspunsul cu numărul dorit de zecimale.

Metoda 3
Explicarea procesului

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 15

Pentru a înțelege modul în care funcționează această metodă, luați în considerare numărul a cărui rădăcină pătrată pe care o calculați este aria S a unui pătrat. Prin urmare, încercați să calculați lungimea L pe marginea acestui pătrat. Vreți să găsiți numărul L astfel încât L2 = S.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 16

Să presupunem că numiți A prima cifră a L (rădăcina pătrată pe care încercăm să o calculam). B va fi a doua cifră, al treilea, și așa mai departe.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 17

Să presupunem că sunați S prima pereche de cifre din S, din S_b a doua pereche de cifre, etc.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 18

Precum și în diviziunea lung în care sunteți interesat doar cifra următoare, la un moment dat, aici, în calculul rădăcinii pătrate, sunteți interesat în următoarele două cifre la un moment dat (care este următoarea cifră la un moment dat la rădăcina pătrată) . Și, de asemenea, ca într-o diviziune, poziția virgulei nu este importantă în acest proces: puteți oricând să o adăugați doar la sfârșit.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 19

Găsiți cel mai mare număr al cărui rădăcină pătrată este mai mică sau egală cu S. Prima cifră A din răspunsul nostru este atunci cel mai mare număr întreg al cărui pătrat nu depășește S (ceea ce înseamnă că A² ≤ Sa < (A+1)²). No nosso exemplo, S = 7 și 2 2 ≤ 7 < 3², então A = 2.

Rețineți că, dacă ai vrut să împartă 88962 de 7, primul pas ar fi similar: te-ar uita la prima cifră a 88962 (8) și să încerce să găsească cea mai cifră, multiplicată cu 7, este mai mică sau egală cu 8. Acest lucru înseamnă că 7 × d ≤ 8 < 7×(d+1). d seria igual a 1.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 20

Vedeți pătratul a cărui zonă începeți să calculați. Răspunsul său, rădăcina pătrată a numărului său inițial, este L, care este lungimea unui pătrat cu suprafața S (numărul său inițial). Valorile sale pentru A, B și C reprezintă cifrele din valoarea L. Altfel spus, pentru un răspuns de două cifre, 10A + B = L, în timp ce pentru un răspuns de 3 cifre, 100A + 10B + C = L, și așa mai departe.

lua în considerare (10A + B) ² = 100A2 + 2 × 10A × B + B². (Amintiți-vă că 10A + B este numărul cu B în casa unităților și A în zeci: cu A = 1 și B = 2, 10A + B este pur și simplu numărul 12.)
(10A + B) ² este zona întregului pătrat, 100A² în zona pătratului interior mai mare, b² este zona din piața internă mai mică și 10A × B este zona fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Pentru a face acest proces lung și meticulos, găsim întreaga suprafață pătrată adăugând zonele de pătrate și dreptunghiuri în interiorul ei.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 21

În pasul 3, scade A² din S. Pentru a lua în considerare factorul 100, reduceți o pereche S_b din S cifre: vrei "S S_b„Este suprafața totală a pieței, și scade 100A² (zona pătrat mare) ea. Ceea ce rămâne este numărul N1 obținut din stânga în etapa 4 (380 în exemplu). Și acest număr este egal cu 2 x 10A × B + B² (zona celor două dreptunghiuri plus suprafața micului pătrat).

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 22

Căutați N1 = 2 × 10A × B + B², de asemenea scris ca N1 = (2 × 10A + B) × B. Știți N1 (= 380) și A (= 2) și căutați B. În ecuația B, probabil că nu va fi un număr întreg, deci ar trebui să găsiți cel mai mare număr întreg B pentru care (2 × 10A + B) × B ≤ N1. (Și B + 1 ar fi foarte mare, deci aveți: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 23

Pentru a rezolva acest lucru, înmulțiți A cu 2, transferați-l în casă (care este echivalent cu multiplicarea cu 10), puneți B în unități și multiplicați acest număr cu B. Acest număr este (2 × 10A + B) × B, și acesta este exact ceea ce faceți atunci când scrieți "N_ × _ =" (cu N = 2 × A) în cvadrantul din dreapta jos în pasul 4. Și la pasul 5, găsiți cel mai mare număr întreg B care se potrivește cu sublinierea astfel încât (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 24

Subtrage zona (2 x 10A + B) x B din suprafața totală (la stânga, la fel ca în etapa 6), conferă zonei S- (10A + B) nu ² încă contabilizate (și vor fi utilizate pentru a calcula următorul în mod similar cifre).

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 25

Pentru a calcula următoarea cifră C, repetați procesul: coborâți următoarea pereche (S._c) Din S pentru N 2 la stânga și a găsi cele mai C, astfel încât aveți (2 x 10 x (10A + B) + C) x C ≤ N2 (echivalent cu scris de două ori numărul din două cifre „AB“, urmat de "_ X _ =" și căutați cea mai mare cifră care se potrivește în subliniere și care este mai mică sau egală cu N2, după cum se arată mai sus).

sfaturi

Mutarea virgulei prin adăugarea a două cifre la un număr (factorul de 100) deplasează virgulă în incremente de o cifră în rădăcina pătrată (factor de 10).
În exemplu, 1.73 poate fi considerat un "rest": 780.14 = 27.92 + 1.73.
Această metodă funcționează pentru orice bază, nu doar bază 10 (zecimal).
Nu ezitați să prezentați calculul în modul cel mai convenabil pentru dvs. Unii oameni scriu rezultatul deasupra numărului de pornire.
O metodă alternativă care utilizează fracții continue poate fi găsită în Wikipedia:

√z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))).

De exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată a 780.14, un număr întreg a cărui pătrat este cel mai apropiat de 780.14 este de 28, atunci z = 780.14, x = 28 și y = -3.86. Aplicarea formulei și luând doar un x + y / (2) oferă deja (forma ireductibilă) estimate 78207/2800 sau aproximativ 27.931 (1) - cu porțiunea următoare, sau despre 27.930986 4374188/156607 (5 ). Fiecare parcelă adaugă aproximativ 3 zecimale la cel precedent.