Cum de a rezolva problemele care implică rădăcina pătrată

Pentru cei care au dificultăți în matematică, văzând că simbolul rădăcină pătrată poate provoca frisoane. Cu toate acestea, problemele care implică acest operator nu sunt la fel de dificilă cum pare. Uneori, problemele simple rădăcină pătrată pot fi la fel de ușor ca și înmulțirea sau împărțirea simplă. Pe de altă parte, problemele mai complicate pot da mai multă muncă. Chiar și așa, cu abordarea corectă, toate vor arăta ușor. Începeți să practicați problemele rădăcinii pătrunde acum și aflați această abilitate de matematică nouă radical

conținut

Pași
Partea 1Înțelegeți conceptul de rădăcini pătrate și pătrate
Partea 2folosind metode similare cu diviziunea lungă
Partea 3efectuarea unei estimări rapide a pătratelor imperfecte
Sfaturi

pași

Partea 1
Înțelegeți conceptul de rădăcini pătrate și pătrate

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 1

Înainte de a înțelege rădăcinile pătrate, înțelegeți mai întâi ce este pătratul unui număr. Este ușor de înțeles. Pentru a ridica un număr de pătrat, înmulțiți-l singur. De exemplu, 3 pătraturi sunt aceleași cu 3 × 3 = 9, iar 9 pătrat este același cu 9 × 9 = 81. Pătraturile sunt notate cu un mic "2" în partea dreaptă superioară a numărului de ridicat, după cum urmează: 3², 9², 100² și așa mai departe.

Pentru a pregăti conceptul, încercați să ridicați mai multe pătrate. Amintiți-vă, ridicarea unui număr de pătrat este pur și simplu multiplicând-o de la sine. Puteți face acest lucru chiar și cu numere negative, dar rețineți că în acest caz răspunsul va fi întotdeauna pozitiv. De exemplu, -8² = -8 × -8 = 64.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 2

Pentru a găsi rădăcina pătrată, găsiți "invers" de potențiere. Simbolul rădăcină (# 8730-, denumit și "radical") înseamnă, în principiu, simbolul "opus" ². Când văd un radical, întrebați-vă: "Ce număr pot multiplici singură, astfel încât rezultatul să fie numărul din interiorul radicalului?" De exemplu, când privim la √ (9), încercați să găsiți numărul care, 9. În acest caz, răspunsul va fi trei, pentru că 3² = 9.

Un alt exemplu. Să găsim rădăcina pătrată de 25 (√ (25)). Aceasta înseamnă că trebuie să găsim numărul de pătrate 25.² = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.
Vă puteți gândi, de asemenea, la această operație ca pe o cale de a "anula" o pătrată înălțime. De exemplu, dacă trebuie să găsim √ (64), rădăcina pătrată de 64, trebuie să ne gândim la 64 ca la 8². Deoarece rădăcina pătrată practic "anulează" o pătrată înălțime, putem spune că √ (64) = √ (8²) = 8.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinilor pătrunde Pasul 3

Înțelegeți diferența dintre numerele pătratului perfect și numerele pătrate imperfecte. Până acum, răspunsurile la problemele noastre care au implicat rădăcina pătrată au fost numere întregi. Acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. De fapt, rezultatul unei operațiuni de radiație poate duce uneori la zecimale lungi și complicate. Dacă rădăcina unui număr este întregă, adică, dacă nu este o fracție sau zecimală, va fi apelată pătrat perfect. Toate exemplele prezentate mai sus (9, 25 și 64) sunt pătrate perfecte, deoarece rădăcinile lor sunt numere întregi (3, 5 și, respectiv, 8).

Pe de altă parte, se numesc numere ale căror rădăcini nu sunt întregi piețe imperfectă. Când se calculează rădăcina unuia dintre aceste numere, obținem un rezultat care va fi de obicei o fracție sau o zecimală. Uneori, zecimalele implicate pot fi destul de complicate ca în exemplu: √ (13) = 3,605551275464 ...

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 4

Memorați cel puțin primele 12 pătrate perfecte. După cum am arătat, calculul rădăcinii pătrate a unui număr poate fi foarte ușor! Prin urmare, este important să luați timp pentru a memora rădăcinile pătrate din primele zeci de piețe perfecte. Ele apar de obicei destul de mult ca dovadă, astfel că memorarea lor vă poate câștiga mult timp. Primele 12 patrate perfecte sunt:

1² = 1 × 1 = 1
2² = 2 × 2 = 4
3² = 3 × 3 = 9
4² = 4 × 4 = 16
5² = 5 × 5 = 25
6² = 6 × 6 = 36
7² = 7 × 7 = 49
8² = 8 × 8 = 64
9² = 9 × 9 = 81
10² = 10 × 10 = 100
11² = 11 × 11 = 121
12² = 12 × 12 = 144

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 5

Când este posibil, simplificați rădăcinile prin eliminarea patratelor perfecte. Găsiți rădăcina pătrată a pătrat imperfectă poate fi foarte complicat, mai ales în cazul în care există un calculator disponibil (în secțiunile de mai jos, veți învăța trucuri pentru a simplifica procesul). Cu toate acestea, uneori este posibil să simplificați numerele din rădăcină pentru a obține calcule mai ușoare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu împărțiți numărul în factorii rădăcină, apoi se calculează rădăcina factorilor care sunt pătrate perfecte și apoi scrie răspunsul în afara radicalului. Acest lucru este mai ușor decât pare. Vedeți mai jos pentru o mai bună înțelegere!

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina celor 900. Inițial, pare a fi o sarcină foarte dificilă! Cu toate acestea, totul este mult mai ușor dacă împărțim 900 în factori. Factorii unui număr "x" sunt un set de numere care, înmulțite, duc la "x". De exemplu, putem obține 6 prin înmulțirea 1 × 6 și 2 × 3, deci factorii de 6 sunt 1, 2, 3 și 6.
In loc de a lucra cu 900, care poate fi un pic ciudat, în loc să-l scrie ca 9 × 100. Acum, ca 9, care este pătrat perfect, este separată de 100, putem calcula rădăcina pătrată. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Aceasta este, √ (900) = 3√ (100).
Cu toate acestea, putem simplifica de două ori mai mult, împărțind 100 factori în 25 și 4 √ (100) = √ (25 x 4) = √ (25) × √ (4) = 5 x 2 = 10. Deci, putem spune că √ (900) = 3 (10) = 30.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 6

Utilizați numere imaginare pentru a calcula rădăcina numerelor negative. Întrebați-vă, ce număr înmulțit de el însuși duce la -16? Nu este nici 4, nici -4, deoarece pătratul acestor două numere este 16. Ar trebui să renunțăm? De fapt, nu există nici o modalitate de a scrie rădăcina pătrată de -16 sau orice alt număr negativ folosind numai numere reale. În astfel de cazuri, trebuie să folosim numere imaginare (de obicei sub formă de litere sau simboluri) pentru a înlocui rădăcina pătrată a unui număr negativ. Variabila "i", de exemplu, este folosită pentru a denota rădăcina pătrată de -1. Ca regulă generală, rădăcina unui număr negativ va fi întotdeauna (sau va include cel puțin) un număr imaginar.

Rețineți că, deși numerele imaginare nu pot fi reprezentate de numere reale, ele pot fi tratate ca atare în unele privințe. De exemplu, rădăcina unui număr negativ "-x", dacă este pătrat, are și "-x", la fel ca orice altă rădăcină. Asta este, i² = -1

Partea 2
Folosind metode similare cu diviziunea lungă

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 7

Tratează problema rădăcinii pătrate ca și cum ar fi o diviziune lungă. Deși oarecum laborios, este posibil să se descopere rădăcina pătrată a numerelor complicate de pătrat imperfect fără a se folosi un calculator. Pentru aceasta, vom folosi o metodă (sau algoritm) similară (dar nu egală) cu cea a diviziunii lungi. Diviziunea lungă este cea a metodei tradiționale pe care o folosim pentru a calcula divizările cu mâna.

Începeți prin a face poziția inițială a problemei, care va arăta ca divizia lungă. De exemplu, să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina de 6.45, care cu siguranță nu este un pătrat perfect. Mai întâi, scriem un simbol rădăcină pătrată (√) și apoi plasăm numărul înăuntru. Apoi vom face o linie de simbolul √ până când acoperă întregul număr, lăsându-l într-o cutie similară cu locul unde despărțire este divizia lung. Diferența este că aici, răspunsul se va afla deasupra acestei casete, nu și mai jos, ca în diviziunea tradițională. Când vom termina, vom avea un semn "alungit", acoperind întregul număr 6.45.
Să scriem numere pe această cutie, așa că lasă loc.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 8

Grupați cifrele în perechi. Pentru a începe rezolvarea problemei, grupați cifrele numărului în cadrul radicalului în perechi, din punct zecimal. Puteți face marcaje mici (cum ar fi perioade, bare, virgule etc.) între perechi pentru a le separa.

În exemplul nostru, ar trebui să împărțim 6.45 în trei perechi, după cum urmează: 6-45-00. Vedeți că există un semn minus pe partea stângă, fără probleme.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 9

Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu valoarea primului "grup". Începeți cu prima pereche de numere din partea stângă. Alegeți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu "grupul". De exemplu, dacă grupul a fost 37, alegeți 6 deoarece 6² = 36 < 37 mas 7² = 49> 37. Scrieți acest număr deasupra primului grup. Aceasta este prima cifră a răspunsului.

În exemplul nostru, primul grup din 6-, 45-00 este 6. Primul număr cel mai mare al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 6 este 2, pentru că 2² = 4. Scrie "2" pe 6 care este în interiorul radicalului.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 10

Priviți prima cifră a răspunsului (numărul pe care tocmai l-am găsit) și înmulțiți-l cu două. Acum, scrieți rezultatul sub primul grup și efectuați o scădere pentru a găsi diferența. Apoi, du-te în jos următoarele perechi de numere, alăturați-le la diferența pe care tocmai am găsit. În cele din urmă, scrieți ultima cifră dublă a primei cifre a răspunsului din partea stângă și lăsați un spațiu de lângă acesta.

În exemplul nostru, primul pas ar fi să găsești dublul celor două, care este prima cifră a răspunsului. 2 × 2 = 4. Apoi trebuie să scăpăm 4 din 6 (primul nostru "grup"), obținând 2 răspunsuri. Acum, trebuie să ajungem la următorul grup (45) pentru a obține 245. În cele din urmă, scriem 4 stânga din nou, lăsând un spațiu mic pe partea dreaptă, după cum urmează: 4_.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 11

Completați spațiul gol. Acum trebuie să introducem o cifră în spațiul de lângă numărul pe care l-am scris în stânga. Alegeți cifra care, înmulțită cu numărul din stânga, cu spațiul gol înlocuit de ea însăși, are o valoare maximă, dar este mai mică decât numărul care se află pe partea dreaptă. Acest lucru poate părea un pic dificil, așa că să vedem câteva exemple de înțeles. Dacă numărul care a coborât, adică acela din dreapta, este 1700 iar numărul din dreapta este 40_, vom completa bara cu numărul 4, deoarece 404 × 4 = 1616 < 1700 e 405 × 5 = 2025. O número encontrado neste passo será o segundo dígito da resposta, então você pode adicioná-lo acima do símbolo do radical.

În exemplul nostru, avem nevoie pentru a găsi numărul pentru a umple martor în 4_ × _ pentru a face ca răspunsul să fie cât mai mare posibil, dar mai mic sau egal cu 245. În cazul nostru, răspunsul este 5, deoarece 45 × 5 = 225 și 46 × 6 = 276.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 12

Continuați să utilizați numerele care completează semnele libere pentru a compune răspunsul. Continuați această metodă lungă de divizare modificată până când începe să se zerouri atunci când efectuează scăderea cu numărul care vine în jos de la un radical sau până când nivelul dorit atinga de precizie. Când ați terminat, numerele utilizate pentru a completa spațiile libere la fiecare pas (și, bineînțeles, primul număr pe care îl folosim) vor compune cifrele răspunsului.

Continuând exemplul, subtrairíamos 225, 245 pentru 20. Apoi, perechea de cifre desceríamos 00 pentru numerele de mai sus 2000. Clonarea radicale, avem 25 × 2 = 50. Prin stabilirea numărului de martor × 50_ în _ = /< 2,000, obtemos 3. În acest moment avem "253" pe radical. Repetând din nou procesul, primim 9 cifre.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 13

Poziționați virgula în poziția corectă în răspuns. Pentru a finaliza răspunsul, trebuie încă să punem punctul zecimal în locul potrivit. Această parte este ușor, puneți virgulă în răspuns în aceeași poziție în care virgula este în numărul din interiorul radicalului. De exemplu, dacă numărul este în radicalul 49.8 pur și simplu loc răspunsul în locația punctului corespunzător scăzut, adică între cele două cifre de mai sus 8 și 9.

În exemplul nostru, numărul în cadrul radicalului este de 6,45. Pentru a obține răspunsul, plasați pur și simplu virgula între numerele care depășesc 6 și 4, care în acest caz sunt 2 și respectiv 5, pentru a obține răspunsul: 2539.

Partea 3
Efectuarea unei estimări rapide a pătratelor imperfecte

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 14

Găsiți răspunsul printr-o estimare. Când cunoașteți deja rădăcina unor pătrate perfecte, găsirea rădăcinii pătratelor imperfecte va fi mult mai ușoară. Într-o etapă anterioară, vă recomandăm să depozitați cel puțin primele douăsprezece pătrate perfecte și rădăcinile lor. Vestea bună este că putem folosi estimarea pentru a obține o aproximare a rădăcinii unui pătrat imperfectă, care este între cele două pătrate perfecte pe care le cunoaștem. Pentru aceasta, trebuie să găsim primul pătrat perfect mai mare decât numărul dorit și ultimul mai mic, astfel încât numărul în cauză să fie între cele două. Apoi, trebuie să încercăm să aflăm care dintre aceste două pătrate perfecte rădăcina numărului dorit se apropie cel mai mult.

De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim rădăcina pătrată de 40. Pe măsură ce ne memorăm pătratele perfecte, putem spune că 40 este între 6² și 7², adică între 36 și 49. Deoarece 40 este mai mare de 6², rădăcina pătrată va fi mai mare de 6. În mod similar, deoarece este mai mică de 7², rădăcină va fi mai mică de 7. 40 este un pic mai aproape de 36 decât 49, atunci răspunsul nostru va fi, probabil, mai aproape de 6. În etapele următoare, vom spori acuratețea estimării noastre.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 15

Măriți exactitatea cu o zecimală. După ce a constatat cele două pătrate perfecte consecutive care formează un interval care să conțină numărul, doar încearcă să crească acuratețea estimării până la un punct pe care le considerați satisfăcătoare. Cu cât sunt făcute mai multe încercări de îmbunătățire a estimării, cu atât este mai mare precizia. Pentru a începe, estimați valoarea primei zecimale. Această estimare nu trebuie să fie corectă, însă utilizarea logicii pentru a alege o valoare care este probabil cea mai apropiată de răspuns va ușura procesul.

În exemplul nostru, o estimare acceptabilă pentru rădăcina pătrată de 40 ar putea fi 6.4, pentru că știm deja că răspunsul este probabil puțin mai aproape de 6 decât 7.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 16

Înmulțiți estimarea singură. Dacă nu ești foarte norocos, rezultatul va fi numărul de pornire (40 în exemplul nostru). Va trebui să ajustați estimarea pentru a vă apropia de răspunsul corect. Dacă rezultatul depășește numărul de pornire (adică peste 40), încercați o estimare mai mică. În mod similar, dacă rezultatul este sub numărul dorit, creșteți estimarea.

Înmulțiți 6.4 de la sine pentru a obține 6.4 × 6.4 = 40.96, care este puțin mai mare decât numărul nostru inițial.
Acum, deoarece estimarea noastră a fost puțin mai mare decât valoarea corectă, atunci vom scădea cu o zecime pentru a obține 6.3 × 6.3 = 39.69. Acum rezultatul a fost un pic mai mic decât numărul nostru original. Aceasta înseamnă că rădăcina celor 40 este un număr între 6,3 și 6,4. De asemenea, deoarece 39.69 este mai aproape de 40 de 40.96, știm că rădăcina va fi mai aproape de 6.3, nu de 6.4.

Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 17

Continuați să îmbunătățiți estimarea, dacă este necesar. În acest moment, dacă sunteți mulțumit de răspuns, utilizați una dintre primele aproximări ca estimare. Cu toate acestea, dacă aveți nevoie de un răspuns mai precis, încercați doar să estimați a doua zecimală, alegerea unei valori între cele două precedente (adică între 6,3 și 6,4). Folosind această metodă, putem estima trei zecimale, patru, cinci și așa mai departe, în funcție de precizia necesară pentru răspuns.

În exemplul nostru, putem alege valoarea 6.33 pentru a face estimarea noastră cu două zecimale. Înmulțiți 6.33 de la sine pentru a obține 6.33 × 6.33 = 40.0689. Deoarece acest rezultat a fost ușor peste numărul inițial, putem alege o valoare ușor mai mică, cum ar fi 6.32. În acest caz, 6.32 × 6.32 = 39.9424, rezultatul fiind puțin sub numărul inițial. Prin urmare, putem concluziona că rădăcina exactă a 40 este între 6,32 și 6,33. Dacă este necesar, am putea continua această metodă pentru a obține aproximări mai precise și mai precise ale rădăcinii numărului dorit.

sfaturi

Dacă aveți nevoie de o reparație rapidă, utilizați un calculator. Majoritatea calculatoarelor moderne pot calcula instantaneu rădăcinile pătrate. În general, tastați orice număr și apăsați butonul cu simbolul rădăcină pătrată. Pentru a găsi rădăcina 841, de exemplu, pur și simplu apăsați 8, 4, 1 și apoi (√) pentru a obține răspunsul: 39.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit