6 moduri de a simplifica radicalii

pași

1

Dacă este necesar, recitiți regulile pentru manipularea radicală și exponenți (ele sunt acelasi lucru: rădăcinile sunt puteri fracționare), deoarece cele mai multe dintre ele sunt necesare pentru acest proces. De asemenea, examinați regulile pentru manipularea și simplificarea polinomilor și a polinomilor expresii raționale, deoarece acestea vor fi, de asemenea, necesare pentru a simplifica.

Metoda 1
Puteri perfecte

1

Simplificați radicalii care sunt pătrate perfecte. Acestea sunt produsul oricărui număr care este înmulțit de el însuși, cum ar fi 81, care este produsul de 9 x 9. Pentru a simplifica un pătrat perfect într-un radical, scoateți simbolul din radical și scrieți rezultatul rădăcinii pătrată .

De exemplu, 121 este un pătrat perfect, deoarece 11x11 este egal cu 121. Astfel, puteți simplifica √ (121) la 11 prin eliminarea simbolului rădăcinii pătrate.
Pentru a facilita procesul, memorați primele 12 pătrate perfecte: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16,5 x 5 = 25,6 x 6 = 36,7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

2

Simplificați radicalii care sunt cuburi perfecte. Acestea sunt produsul oricarui numar inmultit de sine de doua ori, cum ar fi 27, care este produsul de 3 x 3 x 3. Pentru a simplifica o expresie radicala cu un cub perfect, trebuie doar sa scoateti simbolul din radical si sa scrieti rezultatul cub rădăcină perfect cub.

De exemplu, 343 este un cub perfect deoarece este produs de 7 x 7 x 7. De aceea, rădăcina cubului cubului perfect 343 este 7.

Metoda 2
Transformați exponenții raționali în radicali

Sau convertiți altfel dacă preferați (uneori există motive întemeiate pentru asta), dar nu amestecați termeni precum √ (5) + 5^(3/2) în aceeași expresie. Să presupunem că decideți să utilizați notația rădăcinilor și folosiți √ (n) pentru rădăcina pătrată a lui n și ³√ (n) pentru rădăcina cubică.

1

Găsiți exponentul fracțional și convertiți-l la echivalentul radical, x^{(a / b)} = rădăcina b a lui x

Dacă indicele rădăcină este o fracțiune, scapă de ea. De exemplu, rădăcina (2/3) a lui 4 = √ (4)³ = 2³ = 8.

2

Transformați exponenții negativi în fracțiunile lor echivalente: x^-y = 1 /^y

Aceasta se aplică numai exponenților constanți și raționali. Dacă aveți termeni ca 2^x, lăsați-i așa cum sunt, chiar dacă contextul problemei implică faptul că x poate fi fracțional sau negativ.

3

Combinați termeni similari și să simplifice expresiile raționale care rezultă.

Metoda 3
Îndepărtați fracțiunile de la radicali

Forma canonică necesită exprimarea rădăcinii unei fracțiuni în termeni de rădăcini de întregi.

1

Examinați termenii de mai jos pentru fiecare radical pentru a vedea dacă acestea conțin fracțiuni. Dacă da,

2

Înlocuiți-o cu o diviziune între doi radicali folosind identitatea √ (a / b) = √ (a) / √ (b).

Nu utilizați o astfel de identitate dacă numitorul este negativ sau o expresie variabilă care poate fi negativă. În acest caz, simplificați mai întâi fracțiunea.

3

Simplificați patratele perfecte care apar, adică transformați √ (5/4) în √ (5) / √ (4) și simplificați până ajungeți la √ (5) / 2.

4

Faceți alte simplificări, cum ar fi reduce fracțiunile complexe, combinați termeni similari etc.

Metoda 4
Combinați produse radicale

1

Dacă aveți o expresie radicală înmulțită de alta, combinați-le într-un singur radical utilizând următoarea proprietate: √ (a) * √ (b) = √ (ab). De exemplu, înlocuiți √ (2) * √ (6) cu √ (12).

Identitatea de mai sus, √ (a) * √ (b) = √ (ab), este valabilă pentru radicanții non-negativi. Nu aplicați-o dacă a și b sunt negative, pentru că astfel veți face o declarație falsă: √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Partea stângă este -1 prin definiție (sau nedefinită, dacă refuzați să recunoașteți numere complexe), în timp ce partea dreaptă este +1. Dacă a sau b sunt negative, mai întâi "fixați" acest semnal cu √ (-5) = i * √ (5). Dacă rădăcina este o expresie variabilă a cărei semnal nu poate fi dedusă din context, lasă-o așa cum este pentru acum. Puteți folosi identitatea mai generală, √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) √ (sgn (b)) * √ (| ab |), valabil pentru toate numerele reale a și b , dar, în general, nu merită adăugată complexitatea funcției semn.
Această identitate se aplică numai atunci când radicalii au același indice. Puteți multiplica radicalii generali, cum ar fi √ (5) *³√ (7), exprimându-le mai întâi cu un indice comun. Pentru a face acest lucru, transformați rădăcinile în exponenți temporari fractionați: √ (5) *³√ (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Aplicați apoi regula produsului pentru a face acest produs egal cu a șasea rădăcină de 6125.

Metoda 5
Extrageți factorii pătrați de la radicali

1

exprima o expresie radicală imperfectă în factorii ei. Acestea se multiplică pentru a crea un alt număr - de exemplu, 5 și 4 sunt doi factori ai numărului 20. Pentru a împărți o expresie radicală imperfectă, notați toți factorii acelui număr (sau cât de mulți pot, dacă numărul este mare) până când veți găsi un pătrat perfect.

De exemplu, încercați să enumerați toți factorii în numărul 45: 1, 3, 5, 9, 15 și 45. 9 este un factor de 45 care este, de asemenea, un pătrat perfect (9 = 3²). 9 x 5 = 45.

2

Scoateți factorii care sunt rădăcinile patrate perfecte ale radicalului. 9 este o rădăcină pătrată deoarece este produsul de 3 x 3. Scoateți-o din radical și puneți 3 în fața ei, lăsând 5 în interiorul radicalului. Dacă "întoarceți" 3 la radical, se va înmulți prin el însuși pentru a crea din nou 9, care va înmulți 5 pentru a crea din nou 45. 3 rădăcină din 5 este doar o modalitate simplificată de a spune rădăcina a 45 de ani.

Asta este, √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

3

Găsiți un pătrat perfect în variabila. Rădăcina pătrată din la a doua putere ar fi | a |. Poți simplifica pentru "a" numai dacă știe că variabila este pozitivă. Rădăcina cubică a la a treia putere poate fi simplificată ca rădăcina pătrată a de patru ori , deoarece adăugați exponenții atunci când multiplicați variabilele, astfel încât de patru ori este egal cu la cub.

Astfel, pătratul perfect al cubul este pătrat.

4

Scoateți variabilele care sunt pătrate perfecte ale radicalului. apoi apuca pătrați și eliminați-o de la radical pentru ao transforma în a | a | simplu. Forma simplificată cubul este numai | a | rădăcină de .

5

Combinați termeni similari și simplificați expresiile raționale care apar ca rezultat.

Metoda 6
Raționalizați numitorul

1

Forma canonică cere ca numitor fie un număr întreg, fie un polinom dacă acesta conține neterminat.

Dacă numitorul este format dintr-un termen în cadrul unui radical, cum ar fi [x] / √ (5), se înmulțește numitorul și numitorul cu acel radical pentru a obține [x] * √ (5) / √ (5) 5) = [x] * √ (5) / 5.
- Pentru rădăcini cubice sau mai mari, înmulțiți cu puterea corespunzătoare a radicalului pentru a face numitorul rațional. Dacă numitorul este ³√ (5), înmulțiți numitorul și numitorul cu ³√ (5)².
Dacă numitorul este o sumă sau o diferență de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (2) + √ (6), înmulțiți numitorul și numitorul cu aceeași expresie conjugată cu operatorul opus. Astfel, [x] / (√ (2) + √ (6)) = [x] (√ (2) √ (6)). Apoi folosiți identitatea diferenței pătrate [(a + b) (a-b) = a²-b²] pentru a raționaliza numitorul, simplificând (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) .
- Acest pas funcționează și pentru numitori precum 5 + √ (3), deoarece fiecare număr întreg este o rădăcină pătrată a altui număr întreg. (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)²-√ (3)²) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)
- Această metodă servește pentru o sumă de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (5) -√ (6) + √ (7). Dacă grupați ca (√ (5) -√ (6)) + √ (7) și înmulțiți cu (√ (5) -√ (6)) - √ (7), răspunsul dvs. nu va fi rațional. a + b * √ (30), unde a și b sunt raționale. Apoi puteți repeta procesul cu conjugatul a + b * √ (30), iar (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) este rațional. Puteți folosi acest truc o dată pentru a reduce numărul de radicali din numitor și de câteva ori pentru a elimina toate acestea.
- Funcționează chiar și cu numitorii care conțin rădăcini mai mari, cum ar fi rădăcina cvadruplică de 3 plus a șaptea rădăcină a lui 9. Numai numărarea și numitorul se înmulțește prin conjugatul numitorului. Din păcate, procesul de găsire a conjugatului numitor nu este atât de clar. Pentru ao înțelege, căutați o carte bună a teoriei numerelor algebrice.

2

Acum numitorul a fost raționalizat, dar numitorul este o mizerie. Veți primi numărul inițial plus de până la trei ori conjugatul numitorului. Extindeți produsul așa cum ați face cu un produs polinomial. Vedeți dacă ceva poate fi anulat sau simplificat și puteți combina termeni similari dacă este posibil.

3

Dacă numitorul este un număr întreg negativ, înmulțiți numitorul și numitorul cu -1 pentru a-l face pozitiv.

sfaturi

Puteți căuta site-uri care simplifică expresia radicală pentru dvs. Doar tastați ecuația în radical și apăsați pe Enter pentru ca răspunsul simplificat să apară.
Mulți dintre pașii de mai sus nu vor fi utilizați pentru probleme simple. Pentru cele mai complicate, este posibil ca unele etape să fie aplicate de mai multe ori. Faceți simplificările într-un mod continuu în timp ce rezolvați problema și verificați răspunsul final pentru a vedea dacă se potrivește cu criteriile canonice descrise în introducere. Dacă răspunsul este canonic, ați terminat. Atâta timp cât nu este canonic, unul dintre acești pași vă va spune ce mai trebuie făcut pentru a ajunge la acea formă.
Majoritatea referințelor la "forma canonică preferată" a expresiei radicale se aplică și numerelor complexe (i = √ (-1)). Chiar dacă sunt scrise cu un i mai degrabă decât cu un radical, evitați să-l lăsăm pe i în numitor.
O parte din instrucțiunile de mai sus presupune că toți radicalii sunt rădăcini pătrate. Principiile generale sunt aceleași pentru rădăcinile cubice sau mai mari, deși unele dintre ele, în special raționalizarea numitorului, sunt mai dificil de aplicat. De asemenea, trebuie să decideți dacă doriți să aveți ³√ (4) sau ³√ (2)² (în funcție de formularul preferat de manualele dvs.).
Unele instrucțiuni folosesc termenul "formă canonică" în mod greșit, când, de fapt, descrie doar forma normală. Diferența este că forma canonică ar necesita 1 + √ (2) sau √ (2) +1 și spun că celălalt este improprie, în timp ce în mod normal, presupune că, cititorul, este suficient de inteligent pentru a recunoaște faptul că cele două numere sunt "în mod evident la fel", chiar dacă nu sunt scrise în același mod. „Obvious“, în acest caz înseamnă utilizarea proprietăților numai aritmetice, cum ar fi adăugarea este, nu proprietăți algebrice comutative (√ (2) este o rădăcină non-negativă a lui x^2-2). Sperăm că cititorii vor ierta acest mic abuz de terminologie.
Dacă instrucțiunile apar ambiguu sau contradictoriu, aplicați toți pașii consecvenți și lipsiți de ambiguitate și alegeți forma care seamănă cel mai mult cu cea a expresiilor radicale din cartea dvs.