Cum se rezolvă ecuațiile raționale

O expresie rațională constă dintr-o fracțiune care conține una sau mai multe variabile în numărător sau numitor. o ecuație

conținut

Pași
Metoda 1multiplicare încrucișată
Metoda 2găsirea divizorului minim minim (mdc)
Sfaturi

rațională este orice ecuație care implică cel puțin o expresie rațională. Așa cum se întâmplă în ecuațiile algebrice normale, ecuațiile raționale sunt rezolvate prin efectuarea acelorași operații pe ambele părți până când variabila a fost izolată pe o parte a semnalului egal. Două tehnici, în special, multiplicarea încrucișată și divizorul comun minim, sunt extrem de utile pentru izolarea variabilelor și rezolvarea ecuațiilor raționale.

pași

Metoda 1
Multiplicare încrucișată

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 1

Dacă este necesar, rearanjați ecuația să aibă o fracție pe fiecare parte a semnului egal. Cross-multiplicarea este o metodă rapidă și ușoară de rezolvare a ecuațiilor raționale. Din păcate, această metodă funcționează numai în ecuații raționale care conțin exact o expresie rațională sau fracție pe fiecare parte a semnului egalității. Dacă ecuația nu este în formatul adecvat pentru multiplicare încrucișată, pot fi necesare unele operații algebrice pentru a muta termenii în locurile corespunzătoare.

De exemplu, ecuația (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 poate fi ușor rearanjată într-un format multiplicator încrucișat prin adăugarea x / în (x + 3) / 4 = x / (- 2).
- Rețineți că zecimalele și numerele întregi pot fi puse în fracție, dându-le un numitor de 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, de exemplu, poate fi scris ca (x + 3) / 4 = 7.5 / 1, făcându-l valabil pentru multiplicarea încrucișată.
Unele ecuații raționale nu pot fi reduse cu ușurință la o singură fracție sau la formatul expresiei raționale pe fiecare parte a semnului de egalitate. În astfel de cazuri, utilizați abordarea comună a divizorului minim.

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 2

Faceți multiplicare încrucișată. Această metodă presupune numai multiplicarea numărătorului unei fracții de către numitorul celuilalt și invers. Înmulțiți numitorul fracțiunii la stânga semnalului de egalitate de către numitorul fracțiunii din dreapta. Repetați procedura cu numitorul fracțiunii din dreapta și numitorul fracțiunii din stânga.

Cross-multiplicarea funcționează conform principiilor algebrei de bază. Expresiile raționale și alte fracții pot fi transformate în non-fracțiuni prin înmulțirea lor cu numitorii lor. Cross-multiplicarea este în esență o scurtătură pentru a multiplica ambele părți ale ecuației prin numitorii lor. Greu de crezut? Luați testul - veți obține aceleași rezultate după simplificare.

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 3

Se potrivesc cele două produse. După multiplicarea încrucișată, veți avea două produse rezultate. Ecuați ambele și simplificați expresia pentru a avea fiecare parte a ecuației în termeni simpli.

De exemplu, dacă expresia rațională originală a fost (x + 3) / 4 = x / (- 2), după multiplicarea încrucișată, noua ecuație va fi -2 (x + 3) = 4x. Dacă vrem, poate fi scris și ca -2x - 6 = 4x.

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 4

Rezolvați pentru variabila. Folosiți operații algebrice pentru a rezolva problema pentru variabila din ecuație. Rețineți că dacă x apare pe ambele părți ale semnalului de egalitate, trebuie să adăugați sau să scăpați termeni de la x în ambele pentru a obține clase x în numai unul dintre ele.

În exemplul nostru, putem împărți ambele părți ale ecuației cu (-2), rezultând în x + 3 = -2x. Scăderea x de ambele părți ne va da 3 = -3x. În cele din urmă, împărțind ambele părți cu -3, vom avea -1 = x, pe care o putem rescrie ca x = -1. Gasim valoarea lui x prin rezolvarea ecuatiei noastre rationale.

Metoda 2
Găsirea divizorului minim minim (MDC)

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 5

Aflați când este necesar să utilizați Splitterul minim minim. Divizorul comun minim (MDC) poate fi folosit pentru a simplifica o ecuație rațională, ceea ce face posibilă rezolvarea variabilelor existente. Găsirea MDC este o idee bună atunci când ecuația rațională nu poate fi scrisă cu ușurință cu o fracție (și numai una) sau o expresie rațională pe ambele părți ale semnului egalității. Pentru a rezolva ecuații raționale cu doi sau mai mulți termeni, MDC poate fi un instrument foarte util. Totuși, pentru a rezolva ecuații raționale cu numai doi termeni, multiplicarea încrucișată poate fi mai rapidă.

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 6

Examinați numitorul fiecărei fracții. Identificați cel mai mic număr prin care fiecare numitor poate fi împărțit. Acesta va fi MDC al ecuației.

Uneori cel mai mic numitor comun - adică cel mai mic număr pe care fiecare dintre numitorii existenți îl are ca factor - este destul de evident. De exemplu, dacă expresia este x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, nu este nevoie să înțelegeți că cel mai mic număr care conține 3, 2 și 6 ca factor este de fapt 6.
Cu toate acestea, de multe ori, MDC-ul unei ecuații raționale nu este imediat evident. În aceste cazuri, încercați să examinați multipli ai celui mai mare numitor până când veți găsi unul care conține toți numitorii mai mici ca un factor. În multe cazuri, MDC este un multiplu de doi dintre numitori. De exemplu, în ecuația x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, MDC este egală cu 8 × 9 = 72.
Dacă unul sau mai mulți dintre numitorii fracționari conține o variabilă, procesul devine mai complicat, dar nu imposibil. În aceste cazuri, MDC va fi o expresie (care conține variabile) prin care toți numitorii pot fi împărțiți, mai degrabă decât un singur număr. De exemplu, în ecuația 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), MDC este egal cu 3x (x-1), deoarece fiecare numitor este împărțit egal cu această expresie - x-1) rezultă în 3x, împărțind-o cu 3x rezultând în (x-1) și împărțind-o cu x rezultând în 3 (x-1).

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 7

Multiplicați fiecare fracție în ecuația rațională cu una. Multiplicarea fiecărui termen cu 1 poate părea inutilă. Cu toate acestea, există un truc. Numărul 1 poate fi definit ca orice număr împărțit de el însuși - 2/2 și 3/3, de exemplu, sunt, de asemenea, forme valabile de scriere "1". Această metodă profită de această definiție alternativă. Multiplicați fiecare fracție în ecuația rațională cu 1 scriind numărul 1 astfel încât numărul sau termenul multiplicabil cu numitorul să aibă ca rezultat un MDC în sine.

În exemplul nostru de bază, multiplicați x / 3 cu 2/2 pentru a obține 2x / 6 și înmulțiți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6. 3x + 1/6 are deja un număr de 6, adică MDC, ca numitor. Deci putem să o multiplicăm cu 1/1 sau să lăsăm așa cum este.
În exemplul nostru cu variabilele din numitorii fracțiunilor noastre, procesul este un pic mai complicat. Deoarece MDC este egal cu 3x (x-1), vom multiplica fiecare expresie rațională cu termenul prin care se înmulțește, rezultând în ea însăși 3x (x-1). În acest fel vom multiplica 5 / (x-1) cu (3x) / (3x) pentru a obține 5 (3x) / (3x) (x-1), înmulțim 1 / x3 (x-1) (X-1) / 3x (x-1) și vom înmulți 2 / (3x) cu (x-1) / (x-1) -1).

Imaginea intitulată Rezolvați ecuațiile raționale Pasul 8

Simplificați și rezolvați pentru x. Acum, că toți termenii din ecuația rațională au același numitor, puteți să eliminați denominații din ecuație și să rezolvați numeratorii. Pur și simplu multiplicați ambele părți ale ecuației pentru a obține numerarii izolați. Apoi, utilizați operații algebrice pentru a obține x (sau orice altă variabilă pe care doriți să o rezolvați) izolat pe o parte a semnului egal.

În exemplul nostru de bază, după înmulțirea fiecărui termen cu formulare alternante de 1, obținem 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Două fracții pot fi însumate împreună dacă au același numitor, astfel încât să putem simplifica această ecuație ca (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, fără a schimba valoarea sa. Multiplicați ambele părți cu 6 pentru a anula numitorii, ceea ce ne va lăsa cu 2x + 3 = 3x + 1. Scădeți 1 de pe ambele părți pentru a obține 2x + 2 = 3x și scădeți 2x de ambele părți pentru a obține 2 = x, care poate fi scris ca x = 2.
În exemplul nostru cu variabile în numitorii, ecuația noastră după multiplicarea fiecărui termen cu "1" este egală cu 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x ) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Înmulțirea fiecărui termen cu MDC ne permite să anulam numitorii, rezultând în 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Acest lucru funcționează de asemenea la 15x = 3x - 3 + 2x - 2, care poate fi simplificat la 15x = x - 5. Scăderea x de pe ambele fețe duce la 14x = -5, care în cele din urmă va fi simplificată la x = 14.

sfaturi

Odată ce ați rezolvat această variabilă, verificați răspunsul introducând valoarea în ecuația inițială. Dacă ați obținut rezultatul corect, puteți simplifica ecuația inițială la o instrucțiune simplă, valabilă precum 1 = 1.
Rețineți că puteți scrie orice polinom ca expresie rațională - puneți-l pe numitorul "1". Astfel, x + 3 și (x + 3) / 1 vor avea aceeași valoare, dar a doua este considerată o expresie rațională, deoarece este scrisă ca o fracție.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit