Cum să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice care conțin două variabile

Într-un "sistem de ecuații", vi se cere să rezolvi simultan două sau mai multe ecuații. Când ambele au variabile distincte, cum ar fi x și y, sau a și b, poate părea dificil să aflăm cum să le rezolvăm. Din fericire, odată ce știi ce să faci, vei avea nevoie doar de cunoștințe de bază despre algebră (și câteodată de cunoștințe despre fracții) pentru a rezolva problema. Dacă sunteți un cursant vizual sau dacă profesorul dvs. o cere, învățați să afișați grafic ecuațiile. Graficarea poate fi utilă pentru a "observa ce se întâmplă" sau pentru a vă verifica propria activitate, dar poate fi mai lentă decât alte metode și nu funcționează atât de bine în toate sistemele de ecuații.

conținut

Pași
Metoda 1utilizarea metodei de substituire
Metoda 2utilizarea metodei de ștergere
Metoda 3reprezentarea grafică a ecuațiilor
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
Utilizarea metodei de substituire

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 2

Treceți variabilele la părțile distincte ale ecuației. Această metodă de "substituire" începe cu "rezolvarea x" (sau orice altă variabilă) în oricare dintre ecuațiile prezente. De exemplu, dacă unul dintre ele este 4x + 2y = 8, primul pas este să rearanjăm această secvență scăzând 2y de fiecare parte, astfel încât noi 4x = 8-2y.

Frecvent, această metodă utilizează mai târziu fracțiuni. Puteți încerca să reduceți metoda de eliminare dacă aveți dificultăți în utilizarea fracțiunilor.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 3

Împărțiți ambele părți ale ecuației pentru a "rezolva x". Odată ce aveți termenul x (sau orice variabilă este în uz) pe o parte a ecuației, împărțiți ambele părți pentru a obține variabila izolată. De exemplu:

4x = 8-2y
(4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
x = 2 - ½y

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 4

Introduceți aceste date în cealaltă ecuație. Asigurați-vă că ați revenit la alte ecuație, nu cea utilizată recent. În această ecuație, înlocuiți variabila rezolvată astfel încât să rămână numai una. De exemplu:

Știți asta x = 2 - 1 / 2y.
Ecuația a doua, care nu a fost modificată, este 5x + 3y = 9.
În a doua ecuație, înlocuiți x cu 2 - 1 / 2y: 5 (2 - 1 / 2y) + 3y = 9.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 5

Rezolvați variabila rămasă. Acum aveți o ecuație care conține doar o variabilă. Utilizați tehnici de algebră pentru ao rezolva. Dacă variabilele dvs. sunt anulate, treceți la ultimul pas. În caz contrar, veți avea un răspuns la una dintre variabilele dvs.:

5 (2 - ½y) + 3y = 9
10 - (5/2) și + 3y = 9
10 - (5/2) și + (6/2) y = 9
- Dacă nu înțelegeți acest pas, Cum se adaugă fracții. Această procedură este adesea, dar nu întotdeauna, necesară în această metodă.
10 + ½y = 9
½y = -1
y = -2

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 6

Utilizați răspunsul pentru a rezolva cealaltă variabilă. Nu faceți greșeala de a lăsa problema în jumătate. Va fi necesar să inserați rezultatul obținut într-una din ecuațiile originale, pentru a rezolva cealaltă variabilă.

Știți asta y = -2.
Una dintre ecuațiile originale este 4x + 2y = 8.
- Puteți folosi orice ecuație în acest pas.
Introduceți -2 în locul y: 4x + 2 (-2) = 8.
4x = 4 = 8
4x = 12
x = 3

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 7

Aflați ce trebuie să faceți atunci când ambele variabile se anulează. La introducere x = 3y + 2 sau un răspuns similar în cealaltă ecuație, încercați să obțineți un rezultat cu o singură variabilă. Uneori veți avea o ecuație fără orice variabile. Verificați-vă din nou activitatea și asigurați-vă că ați introdus prima ecuație (rearanjată) în a doua, în loc să o faceți din nou în prima. Dacă sunteți încrezător că nu ați făcut o greșeală, veți obține unul dintre următoarele rezultate:

Dacă obțineți ca rezultat o ecuație fără variante și aceasta nu este adevărată (de exemplu, 3 = 5), problema nici o soluție (dacă ați reprezentat grafic ambele ecuații, veți observa că ele erau paralele și nu se intersectau niciodată).
Dacă obțineți ca rezultat o ecuație fără variabile, dar este adevărat (ca 3 = 3), problema are soluții infinite. Ambele ecuații sunt exact la fel una cu cealaltă (dacă le-ați reprezentat grafic, veți observa că ele sunt aceeași linie).

Metoda 2
Utilizarea metodei de ștergere

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 9

Găsiți variabila care poate fi anulată. Ocazional, ecuațiile vor "anula" deja o variabilă atunci când sunt însumate împreună. De exemplu, atunci când combinați ecuațiile 3x + 2y = 11 și 5x - 2y = 13, "+ 2y" și "-2y" se vor anula reciproc, eliminând "y" prezent în ecuație. Observați cu atenție toate ecuațiile din problema dvs. și aflați dacă oricare dintre variabile va fi anulată în acest fel. Dacă nu se întâmplă acest lucru cu oricare dintre ele, citiți pasul următor pentru mai multe informații.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 10

Multiplicați o ecuație pentru a anula una dintre variabile - săriți acest pas dacă variabilele au fost deja anulate. Dacă ecuațiile nu au o variabilă naturală, schimbați una dintre ecuații pentru ao anula. Este mai simplu să o înțelegi cu un exemplu:

Aveți sistemele de ecuații 3x-y = 3 și -x + 2y = 4.
Să schimbăm prima ecuație, astfel încât variabila y este anulat (puteți alege variabila x, și același răspuns final va fi obținut).
Variabila -y în prima ecuație trebuie anulată cu +2y prezentă luni. Putem face acest lucru prin înmulțire -y prin 2.
Înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu 2, după cum urmează: 2 (3x-y) = 2 (3), așa că 6x - 2y = 6. Acum, -2y va fi anulat cu +2y prezentă în a doua ecuație.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 11

Combinați ambele ecuații. Pentru a combina cele două ecuații, adăugați ambele părți laterale și adăugați laturile drepte. Dacă ați definit corect ecuația, una dintre variabile va fi anulată. Iată un exemplu folosind aceleași ecuații prezentate în ultimul pas.

Ecuațiile lor sunt 6x - 2y = 6 și -x + 2y = 4.
Se potrivesc fețele din stânga: 6x - 2y - x + 2y =?.
Potriviți laturile drepte: 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 12

Rezolvați ultima variabilă. Simplificați ecuația combinată și utilizați algebra de bază pentru a rezolva ultima variabilă. Dacă nu există variabile după simplificare, treceți la ultimul pas al acestei secțiuni. În caz contrar, veți avea un răspuns simplu la una dintre variabile. De exemplu.

Ați făcut-o 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
Variabile de grup x și y împreună: 6x-x-2y + 2y = 6 + 4.
Simplificați: 5x = 10.
Fix x: (5x) / 5 = 10/5, care este, x = 2.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 13

Rezolvați cealaltă variabilă. Ați descoperit una dintre variabile, dar nu ați terminat încă problema. Introduceți rezultatul într-una din ecuațiile originale pentru a rezolva cealaltă variabilă. De exemplu:

Știți asta x = 2 - una dintre ecuațiile sale inițiale este 3x-y = 3.
Puneți 2 în locul lui x: 3 (2) - y = 3.
Rezolva y în ecuația: 6-y = 3.
6 - y + y = 3 + y, așa că 6 = 3 + y.
3 = y

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 14

Aflați ce trebuie să faceți atunci când ambele variabile se anulează. Uneori, combinarea celor două ecuații are ca rezultat o ecuație care nu are deloc sens sau cel puțin nu vă ajută să rezolvați problema. Verificați-vă de la început munca de la început, dar dacă nu există nici o greșeală, scrieți unul dintre răspunsurile finale:

Dacă ecuația dvs. combinată nu are variabile și nu este adevărată (cum ar fi 2 = 7), nu există nicio soluție care va servi ambelor ecuații (dacă reprezentați atât grafic, veți vedea că acestea sunt paralele și nu se intersectează niciodată).
Dacă ecuația dvs. combinată nu are variabile și este adevărată (ca 0 = 0), există soluții fără sfârșit. Cele două ecuații sunt, de fapt, identice (dacă le arătați, veți observa că ele sunt aceeași linie).

Metoda 3
Reprezentarea grafică a ecuațiilor

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 15

Utilizați această metodă numai când vi se solicită. Cu excepția cazului în care utilizați un calculator sau un calculator de grafică, mai multe sisteme de ecuații pot fi rezolvate numai prin această metodă. Profesorul sau cartea matematică vă poate cere să utilizați această metodă pentru a vă familiariza cu reprezentarea ecuațiilor în mod liniar. De asemenea, puteți utiliza această metodă pentru a vă verifica răspunsurile de la una dintre cele anterioare.

Ideea de bază este de a arăta ambele ecuații, găsind punctul în care se intersectează. Valorile x și y, în acest punct, ne vor da valoarea lui x și valoarea lui y în sistemul de ecuații.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 16

Rezolvați ambele ecuații pentru y. Ținând cele două ecuații separate, folosiți algebra pentru a transforma fiecare ecuație în formatul "y = __x + __". De exemplu:

Prima ta ecuație este 2x + y = 5. Schimbă-l la y = -2x + 5.
A doua ecuație este -3x + 6y = 0. Intoarce-te 6y = 3x + 0, simplificându-l, în final, să y = ½x + 0.
Dacă ambele ecuații sunt identice, întreaga linie va fi o intersecție. scrie soluții fără sfârșit.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 17

Desenați axele de coordonate. Pe o bucată de hârtie de graf, trageți o "axă y" verticală și o "axă x" orizontală. Începând de la punctul în care ambele se intersectează, etichetați numerele 1, 2, 3, 4 etc. deplasând în sus axa y și repetând această procedură spre dreapta pe axa x. Etichetați numerele -1, -2, etc. în jos pe axa y și apoi spre stânga pe axa x.

Dacă nu aveți o hârtie în carouri, utilizați o riglă pentru a vă asigura că numerele sunt la distanțe egale.
Dacă utilizați numere mari sau zecimale, este posibil să fie necesar să utilizați o scală diferită în grafic (de exemplu, 10, 20, 30 sau 0,1, 0,2, 0,3 în loc de 1, 2, 3).

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 18

Desenați valoarea y pentru fiecare linie. Odată ce ai o ecuație în format y = __x + __, va fi posibil să o reprezentăm grafic prin desenarea unui punct în care linia traversează axa y. Acesta va fi întotdeauna într-o valoare y egală cu ultimul număr din acea ecuație.

În exemplele noastre anterioare, o linie (y = -2x + 5) traversează axa y în valoare 5. Cealaltă (y = ½x + 0) traversează valoarea 0.
- Acestea vor fi punctele (0.5) și (0,0) din diagramă.
Folosiți creioane sau pixuri de diferite culori, dacă este posibil, pentru cele două linii.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 19

Utilizați linia dreaptă pentru a continua liniile. În format y = __x + __, numărul înaintea lui x reprezintă pantă a liniei. De fiecare dată când x crește cu 1, valoarea y crește cu suma reprezentată de linie. Utilizați aceste informații pentru a desena punctul de pe grafic pentru fiecare linie, atunci când x = 1 (alternativ, introduceți x = 1 în fiecare ecuație și rezolvați pentru y).

În exemplul nostru, y = -2x + 5 are o linie de valori înclinată -2. La x = 1, linia jos 2 din punctul unde x = 0. Desenați segmentul de linie între (0.5) și (1.3).
Linia y = ½x + 0 are o linie de valori înclinată ½. La x = 1, linia crește ½ din punctul x = 0. Desenați segmentul de linie între (0,0) și (1, ½).
Dacă liniile au aceeași linie înclinată, ei nu vor trece niciodată, adică nu există un răspuns la sistemul de ecuații. scrie nici o soluție.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 20

Continuați să reprezentați liniile până se intersectează. Opriți-vă și consultați graficul. Dacă liniile au trecut deja, treceți la pasul următor. În caz contrar, luați o decizie bazată pe ceea ce reprezintă acum.

Dacă liniile se mișcă unul către celălalt, continuați să introduceți puncte în acea direcție.
Dacă liniile se depărtează unul de celălalt, mergeți înapoi și introduceți datele în direcția opusă, pornind de la x = -1.
Dacă liniile nu sunt aproape, încercați să mergeți mai departe și să calculați punctele cele mai îndepărtate, cum ar fi x = 10.

Imaginea intitulată Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice care conțin două variabile Pasul 21

Aflați răspunsul la intersecție. Odată ce ambele linii se intersectează, valorile x și y din acel punct vor fi răspunsul la problemele dvs. Dacă aveți noroc, soluția va fi un număr întreg. De exemplu, în exemplele noastre, cele două linii se intersectează în (2.1), deci răspunsul nostru este x = 2 și y = 1. În unele sisteme de ecuații, liniile vor trece la o valoare între două numere întregi și, cu excepția cazului în graficul este extrem de precisă, va fi dificil să se determine în cazul în care această intersecție este. Dacă se întâmplă acest lucru, puteți scrie un răspuns precum "x este între 1 și 2" sau utilizați metode de substituire sau ștergere pentru a obține o soluție mai precisă.

sfaturi

Puteți verifica munca dvs. introducând răspunsurile în ecuațiile originale. Dacă sunt adevărate (de exemplu, 3 = 3), răspunsul este corect.
În metoda de eliminare, va trebui uneori să multiplicați o ecuație cu un număr negativ pentru a putea anula o variabilă.

avertismente

Aceste metode nu pot fi utilizate dacă există o variabilă ridicată la un exponent, ca în cazul lui x². Pentru mai multe informații despre ecuațiile de acest tip, căutați un ghid pentru a factoriza ecuațiile patratice care conțin două variabile.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit