Cum să simplificați expresiile algebrice

Învățarea de a simplifica expresiile algebrice este o cerință esențială pentru mastering algebra de bază, fiind de asemenea un instrument extrem de valoros pentru toți matematicienii. Simplificarea permite unui matematician să facă expresii complexe, lungi sau inadecvate în forme mai simple sau mai convenabile, care rămân echivalente. Abilitatea de bază de simplificare este destul de ușor de învățat - chiar și pentru cei care nu au matematică. Urmând câțiva pași simpli, puteți simplifica multe din cele mai comune tipuri de expresii algebrice fără nici un fel de cunoștințe matematice. Citiți Pasul 1 pentru a începe!

conținut

Pași
Înțelegerea unor concepte importante
Metoda 1combinând termeni relevanți
Metoda 2factoring
Metoda 3aplicarea de abilități suplimentare de simplificare
Sfaturi
Avertismente

pași

Înțelegerea unor concepte importante

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 1

Setați "urilor"Prin variabile și puteri. În algebra, "ca numere" au aceeași configurație de variabile, fiind ridicate la aceleași puteri. Cu alte cuvinte, pentru ca doi termeni să fie "corelați", aceștia trebuie să aibă aceleași variabile sau nu și fiecare dintre ele trebuie să fie ridicată la aceeași sau la nici una. Ordinea variabilelor din termen nu contează.

De exemplu, 3x² și 4x² sunt termeni corelați deoarece fiecare dintre ele conține variabila x ridicată la a doua putere. Cu toate acestea, x și x² nu sunt termeni corelați, deoarece fiecare are x ridicat la o putere diferită. În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt termeni corelați deoarece fiecare dintre ele are un set distinct de variabile.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 2

factor când scrieți numere ca produs cu două factori. Factoringul este conceptul reprezentării numărului dat ca produs al doi factori multiplicați împreună. Numerele pot avea mai mult de un set de factori - de exemplu, numărul 12 poate fi format de 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, astfel încât să se poată spune că 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt toți factorii de 12. Un alt mod de a gândi este să considerăm că factorii unui număr sunt acele numere prin care este la fel de divizibil.

De exemplu, dacă vrem să facem factorul 20, îl putem scrie ca 4 × 5.
Rețineți că pot fi luați în considerare și termenii variabili. -20x, de exemplu, poate fi scris ca 4 (-5x).
Numerele prime nu pot fi luate în considerare deoarece sunt divizibile doar de la sine și de 1.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 3

Utilizați acronimul PEMDAS pentru a vă aminti ordinea operațiilor. Ocazional, simplificarea unei expresii nu înseamnă altceva decât să efectuați operații asupra acelei expresii până când nu mai este posibilă. În astfel de cazuri, este important să ne amintim ordinea operațiilor, astfel încât să nu comită erori aritmetice. Acronimul PEMDAS poate fi de mare ajutor atunci când trebuie să vă amintiți ordinea operațiilor - literele corespund tipurilor de operații care trebuie efectuate, pentru a:

Parênteses
șixpoentes
Multiplicação
Divisão
dicție
Subtração

Metoda 1
Combinând termeni relevanți

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 4

Scrieți ecuația. Cele mai simple ecuații algebrice, cele care implică doar câțiva termeni variabili cu coeficienți întregi și fără fracțiuni, radicali etc., pot fi deseori rezolvate în câteva etape. Ca și în cazul majorității problemelor matematice, primul pas în simplificarea ecuației este acela de al scrie!

Ca o problemă de exemplu, pentru pașii următori, vom lua în considerare expresia 1 + 2x-3 + 4x.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 5

Identificați termenii aferenți. Apoi, căutați ecuația pentru termeni corelați. Reamintim că termenii afini au ambele variabile ca aceiași exponenți.

De exemplu, să identificăm termenii afini în ecuația 1 + 2x-3 + 4x. Ambele2x și 4x au aceeași variabilă ridicată la același exponent (în acest caz, x-urile nu sunt ridicate la nici o putere). În plus, 1 și -3 sunt termeni înrudiți, deoarece niciuna dintre acestea nu are variabile. Astfel, în ecuația noastră, 2x și 4x și 1 și -3 sunt termeni corelați.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 6

Combinați termenii corelați. Acum că ați identificat termeni înrudiți, le puteți combina pentru a simplifica ecuația. Adăugați termenii (sau scadeți-i, în cazul termenilor negativi) pentru a reduce fiecare set de termeni cu variabile și exponenți egal cu un termen singular.

Să adăugăm termenii aferenți în exemplul nostru:
- 2x + 4x = 6x
- 1 + (- 3) = -2

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 7

Creați o expresie simplificată din termenii simplificați. După ce combinați termenii dvs. corelați, construiți o expresie din setul de termeni noi și simplificați. Ar trebui să obțineți o expresie mai simplă cu un termen pentru fiecare set diferit de variabile și exponenți în expresia originală. Această nouă expresie este aceeași ca prima.

În exemplul nostru, termenii simplificați sunt 6x și -2, astfel încât noua expresie va fi 2-6x. Această expresie simplificată este egală cu originalul (1 + 2x-3 + 4x), dar mai mică și mai ușor de rezolvat. Este, de asemenea, mai simplu de factorizat, care, după cum vom vedea mai jos, reprezintă o altă abilitate importantă în simplificare.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 8

Respectați ordinea operațiilor prin combinarea unor termeni asemănători. În expresii extrem de simple precum cele din exemplul precedent, identificarea termenilor este simplă. Cu toate acestea, în expresii mai complexe, cum ar fi cele care implică termeni în paranteze, fracțiuni și radicali, termenii aferenți care pot fi combinați nu pot fi imediat evideni. În astfel de cazuri, urmați ordinea operațiilor, efectuând operațiuni cu termenii din expresie după cum este necesar, până când rămân doar adăugarea și scăderea.

De exemplu, luați în considerare ecuația 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x. Ar fi incorect să identificăm imediat 3x și 2x ca termeni înrudiți și să le combinăm, în ciuda parantezelor, deoarece trebuie să realizăm în primul rând alte operațiuni. Inițial, vom efectua operațiile aritmetice asupra expresiei în funcție de ordinea operațiilor, pentru a obține termeni care putem utilizați. Vezi mai jos:
- 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x
- 15x-5 + x (x) + 8-3x
- 15x-5 + x²
  - acum, deoarece numai operațiile de adăugare și scădere rămân, putem combina termenii aferenți.
- x²+12x + 3

Metoda 2
factoring

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 9

Identificați maxim divizor comun în expresie. Factoringul este o modalitate de a simplifica expresiile prin eliminarea factorilor comuni în termeni de exprimare. În primul rând, găsiți cel mai mare divizor comun că toți termenii din expresie împărtășesc - cu alte cuvinte, cel mai mare număr prin care toți termenii din expresie sunt la fel de divizibili.

Să folosim ecuația 9x²+-27x 3. Rețineți că toți termenii din ecuație sunt divizibili prin 3. De la termeni nu sunt la fel de divizibili de un alt număr mai mare, putem determina acest lucru 3 este cel mai mare divizor comun în exprimare.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 10

Împărțiți termenii expresiei cu divizorul comun maxim. Apoi, împărțiți fiecare termen în ecuație prin divizorul comun maxim maxim găsit. Termenii care rezultă vor avea coeficienți mai mici decât în expresia originală.

Să ne factorizăm ecuația prin cel mai mare divizor comun, 3. Pentru a face acest lucru, vom împărți fiecare termen cu 3.
- 9x²/ 3 = 3x²
- 27x / 3 = 9x
- -3/3 = -1
  - Prin urmare, noua noastră expresie este 3x²+9x-1.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 11

Reprezintă expresia voastră ca fiind produsul celui mai mare divizor comun și al celorlalți termeni. Noua expresie nu este aceeași cu cea anterioară, adică nu se poate spune că este simplificată. Pentru ao face egal cu cel dintâi, trebuie să remarcăm faptul că a fost împărțit de cel mai mare divizor comun. Închideți expresia în paranteze și setați divizorul maxim maxim al ecuației originale ca coeficient pentru expresie în paranteze.

În cazul expresiei noastre de exemplu, 3x²+9x-1, închidem expresia în paranteze și înmulțim-o cu divizorul maxim maxim al ecuației originale pentru a obține 3 (3x²+9x-1). Această ecuație este egală cu originalul, 9x²+-27x 3.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 12

Utilizați factorizarea pentru a simplifica fracțiile. Acum vă puteți întreba de ce factoringul este util dacă, după eliminarea celui mai mare divizor comun, noua expresie trebuie să fie înmulțită din nou de ea. De fapt, factorizarea permite unui matematician să efectueze diverse trucuri simplificând o expresie. Una dintre cele mai simple implică profitarea de faptul că multiplicarea numărătorului și a numitorului unei fracții cu același număr va duce la o fracție echivalentă. Vezi mai jos:

Să spunem că exemplul nostru original, 9x²+27x-3, să fie numărătorul unei fracții mai mari, cu 3 în numitorul său. Această fracțiune ar arăta astfel: (9x²+27x-3) / 3. Putem folosi factorizarea pentru a simplifica această fracțiune:
- Să înlocuim forma concretă a expresiei noastre inițiale cu expresia în numărător: [3 (3x²+9x-1)] / 3.
Rețineți că atât numerotatorul, cât și numitorul acum împart coeficientul 3. Prin împărțirea ambelor cu 3, vom avea: (3x³+9x-1) / 1.
Deoarece fiecare fracțiune care are "1" în numitorul său este egală cu termenii din numărător, putem afirma că fracțiunea inițială poate fi simplificată la 3x²+9x-1.

Metoda 3
Aplicarea de abilități suplimentare de simplificare

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 13

Simplificați fracțiunile împărțind factori comuni. După cum sa menționat mai sus, în cazul numărătorului și numitorului unor factori de exprimare, acești factori pot fi îndepărtați integral din fracție. Acest lucru va necesita adesea factorizări ale numărătorului, numitorului sau ambelor (așa cum a fost cazul descris mai sus), în timp ce alteori factorii partajați vor fi imediat evideni. Rețineți că este posibil, de asemenea, să împărțiți termenii numărătorului cu expresia în numitor, individual, pentru a obține o expresie simplificată.

Să facem un exemplu care nu necesită neapărat o factorizare imediată. În cazul fracțiunii (5x²+10x + 20) / 10, este posibil să divizăm fiecare termen în numărător cu numărul 10 în numitor pentru ao simplifica, deși coeficientul "5" în 5x² nu este mai mare de 10 și, prin urmare, nu poate avea 10 ca divizor.
- Făcând-o ne duce la rezultatul [(5x²) / 10] + x + 2. Dacă preferăm, putem rescrie primul termen cu (1/2) x² pentru a obține rezultatul (1/2) x²+x + 2.

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 14

Utilizați factori pătrați pentru a simplifica radicalii. Expresiile sub simbolul rădăcină pătrată sunt numite expresii radicale. Ele pot fi simplificate prin identificarea factorilor pătrați (factori care sunt pătrate ale unui număr dat) și prin efectuarea separată a operației rădăcinii pătrate, pentru a le elimina de sub semnul rădăcinii pătrată.

Să luăm exemplul: √ (9). Dacă ne gândim la numărul 90 ca produs al doi dintre factorii săi, 9 și 10, putem lua rădăcina pătrată de 9 pentru a obține întregul 3 și a-l elimina din radical. Cu alte cuvinte:
- √ (90)
- √ (9 × 10)
- [√ (9) × √ (10)]
- 3 × √ (10)
- 3√10

Imagine intitulată Simplificați expresiile algebrice Pasul 15

Adăugați exponenții prin înmulțirea a doi termeni exponențiali - scădeați-le prin împărțirea acestor termeni. Unele expresii algebrice necesită multiplicarea sau divizarea termenilor exponențiali. În locul calculării fiecărui termen exponențial și înmulțirea sau împărțirea manuală, pur și simplu unele exponenților prin înmulțire și scade atunci când se împarte, pentru a economisi timp. Acest concept poate fi, de asemenea, utilizat pentru a simplifica expresiile variabile.

De exemplu, luați în considerare expresia 6x³× 8x⁴+(x¹⁷/ x¹⁵). În fiecare situație în care este necesar să se înmulțească sau să se împartă prin exponenți, se scade sau se adaugă, respectiv, pentru a găsi rapid un termen simplificat. Vezi mai jos:
- 6x³× 8x⁴+(x¹⁷/ x¹⁵)
- (6 × 8) x^{3 + 4}+(x^17-15)
- 48x⁷+x²
Motivul pentru care aceasta funcționează este după cum urmează:
- Multiplicarea termenilor exponențiali înseamnă, în esență, multiplicarea unor lanțuri lungi de termeni non-exponențiali. De exemplu, din moment ce x³ = x x x x x și x⁵ = x x x x x x x x x x x, x³× x⁵ = (x x x x x) x (x x x x x x x x x) sau x⁸
În mod similar, împărțirea termenilor exponențiali este ca și cum ar fi împărțirea unor lanțuri lungi de termeni non-exponențiali. x⁵/ x³ = (x x x x x) / (x x x x x). Deoarece fiecare termen în numărătorul poate fi anulată printr-un termen care combină la numitor, am rămas cu două x în numărătorul și numitorul nu, obținerea răspunsului x².

sfaturi

Întotdeauna amintiți-vă că trebuie să vă gândiți la aceste numere ca având semne pozitive sau negative. Mulți oameni consideră dificil să gândească "Ce semn ar trebui să pun aici?"
Cereți ajutor atunci când este necesar!
Simplificarea expresiilor algebrice nu este ușoară, dar atunci când veți avea parte de ea, veți folosi această abilitate pe tot parcursul vieții.

avertismente

Întotdeauna căutați termeni similari și nu vă lăsați păcăliți de exponenți.
Asigurați-vă că nu ați adăugat accidental nici un număr, exponent sau operație care nu aparține expresiei.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit