Cum să simplificați expresiile matematice

Elevii de matematică trebuie adesea să dea răspunsuri în termenii "cei mai simpli". Deși o expresie înspăimântător de mare și destul de concisă are același rezultat, o problemă nu este considerată rezolvată până când răspunsul nu a fost redus în termenii cei mai simpli. În plus, răspunsurile mai scurte sunt mult mai ușor de utilizat. Din aceste motive, învățarea de a simplifica expresiile este o abilitate esențială pentru cei care doresc să devină matematicieni.

conținut

Pași
Metoda 1utilizarea ordinii de operare
Metoda 2simplificarea expresiilor complexe

pași

Metoda 1
Utilizarea ordinii de operare

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 1

Amintiți-vă ordinea operațiunilor. Mai întâi expresiile din interiorul bretelelor sunt rezolvate, apoi parantezele, apoi parantezele. În plus, în cadrul acestor expresii prevalează următoarea ordine: exponenți, multiplicare, diviziune, adăugare și scădere. Dacă expresia este simplificată din această comandă, contul poate merge prost. Pentru a ajuta decora ordinea corectă, amintiți-vă să „gândească baladelor“, adică PEMDAS (între paranteze, exponenți, inmultire, impartire, adunare și scădere în cele din urmă).

Rețineți că, deși cunoștințele de bază ale ordinii de operare permit simplificarea expresiilor cele mai de bază, sunt necesare tehnici speciale pentru a simplifica multe expresii variabile, inclusiv aproape toate polinomii. Consultați Metoda 2 de mai jos pentru mai multe detalii.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 2

Începeți prin rezolvarea tuturor termenilor care se află în paranteze. În matematică, parantezele indică faptul că termenii din cadrul acestora trebuie să fie calculați separat. Indiferent de operațiunile efectuate în cadrul acestora, primul pas spre simplificare este rezolvarea termenilor în paranteze. Merită să ne amintim că, în cadrul fiecărei perechi de paranteze, ordinea operațiunilor încă predomină. De exemplu, în interiorul parantezelor, trebuie să se multiplice înainte de adăugare, adăugare înainte de scădere, etc.

Ca exemplu, să simplificăm expresia 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). În el, rezolvăm termenii în paranteze, adică 5 + 2 și 3 + 4/2, în primul rând. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
- Al doilea termen din paranteze este simplificat la 5, deoarece împărțim 4/2 ca primul pas care trebuie dat cu termenii din paranteze. Dacă ar fi să rezolvăm pur și simplu de la stânga la dreapta, vom adăuga mai întâi 3 și 4 și apoi vom împărți cu 2, ceea ce ar da un rezultat greșit: 7/2.
Dacă există mai multe paranteze, una în interiorul celeilalte, rezolvați cele din interiorul primei, apoi cele de lângă ea și așa mai departe. Ordinul este din interior spre exterior.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 3

Rezolvați exponanții. După ce ați rezolvat totul în paranteze, este timpul să rezolvați exponanții. Găsiți soluția pentru fiecare exponent. Apoi, potriviți răspunsurile în ecuație.

După ce ne-am ocupat de paranteze, expresia noastră de exemplu 2x + 4 (7) + 3² - 5. Singurul exponent din exemplul nostru este 3², care are ca rezultat 9. Se potrivește acest rezultat cu ecuația în locul a 3² pentru a obține 2x + 4 (7) + 9-5.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 4

Rezolvați problemele de multiplicare ale expresiei. Amintiți-vă că multiplicarea poate fi reprezentată în mai multe moduri. Simbolul A, o perioadă sau un asterisc sunt folosite pentru a reprezenta o multiplicare. Cu toate acestea, un număr de lângă o paranteză sau o variabilă (cum ar fi 4 (x)) este de asemenea utilizat pentru a indica o multiplicare.

Există două exemple de multiplicare în problema noastră: 2x (2x este 2 × x) și 4 (7). Nu cunoaștem valoarea lui x, așa că vom lăsa 2x așa cum este. 4 (7) = 4 × 7 = 28. Apoi, putem rescrie ecuația ca 2x + 28 + 9 - 5.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 5

Continuați cu divizia. Diviziunea, precum și multiplicarea, pot fi exprimate și în moduri diferite: împărțiți și barați (ca în 3/4, de exemplu).

Deoarece am rezolvat deja o problemă de divizare (4/2) atunci când rezolvăm termenii în paranteze, exemplul nostru nu mai are probleme de divizare pentru a rezolva. Deci putem trece peste acest pas. Acest lucru arată că nu trebuie să rezolvăm fiecare operațiune inclusă în abrevierea PEMDAS prin simplificarea unei expresii. Doar rezolvați cele care sunt prezente în problema noastră.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 6

Unii. S-ar putea să rezolvați sumele de la stânga la dreapta de-a lungul expresiei, dar este mai ușor să adăugați mai întâi numerele următoare. De exemplu, în expresie 49 + 29 + 51 71, este mai ușor să adăugați 100 = 49 + 51, 29 + 71 = 100 și 100 + 100 = 200, sumă de 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 , și 129 + 71 = 200.

Exemplul nostru a fost parțial simplificat în "2x + 28 + 9 - 5". Acum, trebuie să adăugăm ce putem - să examinăm fiecare problemă de adăugare de la stânga la dreapta. Nu putem adăuga 2x și 28, pentru că nu știm valoarea lui x, așa că lăsați-o așa cum este. Să mergem cu 28 + 9 = 37, astfel încât să putem rescrie expresia ca "2x + 37 - 5".

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 7

Scădeți. Acesta este ultimul pas al PEMDAS. Rezolvați toate problemele de scădere. Puteți rezolva adăugarea de numere negative în acest pas sau în aceeași măsură ca adăugarea normală - rezultatul final va fi același.

În expresia noastră, "2x + 37-5", există doar o singură problemă de scădere. 37-5 = 32

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 8

Examinați expresia. După ce ați rezolvat toate problemele urmând ordinea corectă a operației, veți avea o expresie simplificată. Cu toate acestea, dacă expresia dvs. are una sau mai multe variabile, acestea vor rămâne așa cum sunt. Acest lucru se datorează faptului că, pentru a le simplifica, trebuie să găsim valoarea variabilelor sau să folosim tehnici speciale pentru a simplifica expresia (după cum se arată mai jos).

Răspunsul nostru final va fi "2x + 32". Nu putem aborda sfârșitul problemei până când nu știm valoarea lui x. Când vom afla, va fi mult mai ușor să rezolvăm problema.

Metoda 2
Simplificarea expresiilor complexe

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 9

Adăugați variabile similare. Atunci când se ocupă de expresii care conțin variabile, este important să rețineți că termenii cu aceeași variabilă și exponent pot fi însumați și scăzuți ca numere normale. Termenii trebuie obligatoriu au aceeași variabilă și același exponent. De exemplu, pot fi adăugate 7x și 5x, dar 7x și 5x² ei nu pot.

Această regulă se aplică și în cazul termenilor cu mai multe variabile. De exemplu, 2xy² poate fi adăugat la -3xy², dar nu -3x²y sau -3y².
Să aruncăm o privire la expresia x² + 3x + 6-8x. În acesta, putem adăuga 3x și -8x, deoarece sunt similare. Pur și simplu, avem x² - 5x + 6.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 10

Simplificați fracțiunile numerice împărțind sau anulând. Fracțiunile care au numai numere (adică nu au variabile) în numerotator și numitor pot fi simplificate în mai multe moduri. Cea mai ușoară cale este de a rezolva fracțiunea ca o problemă de divizare simplă. În plus, orice multiplicator care apare în numărător și numitor în același timp poate fi anulat. Acest lucru se datorează faptului că rezultă în 1 (numărul împărțit de el însuși). Cu alte cuvinte, dacă numitorul și numitorul împărtășesc un factor, acesta poate fi scos din fracție, lăsând răspunsul mai simplu.

De exemplu, să ne uităm la fracțiunea 36/60. Cu un calculator, putem obține rezultatul 0.6. De asemenea, putem simplifica fracțiunea luând în considerare factorii comuni. Un alt mod de a privi fracțiunea 36/60 este (6 × 6) / (6 × 10). Aceasta poate fi rescrisă ca 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, deci expresia noastră este de fapt 1 × 6/10 = 6/10. Dar nu am terminat încă - amândoi 6 și 10 împărtășesc factorul 2. Repetând procesul de mai sus, ajungem 3/5.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 11

În fracțiuni cu variabile, anulați factorii variabili. Expresiile cu variabile sub formă de fracții oferă oportunități unice de simplificare. Ca și fracțiile normale, fracțiunile cu variabile vă permit să eliminați factorii împărțiți atât de numitor cât și de numitor. Dar în fracțiuni cu variabile, acești factori pot fi atât cifre, cât și expresii cu variabile.

Să vedem expresia (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x). Această fracțiune poate fi rescrisă ca (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x apare atât numărătorul și numitorul. Luând acești factori în afara ecuației, obținem (x + 1) / (5-x). În mod similar, în expresia (2x² + 4x + 6) / 2, deoarece fiecare termen este divizibil cu 2, putem scrie expresia ca (2 (x² + 2x + 3)) / 2 și apoi simplificați-o x² + 2x + 3.
Rețineți că nu puteți anula niciun termen - puteți anula numai factorii multiplicatori care apar atât în numitor, cât și în numărător. De exemplu, în expresia (x (x + 2)) / x, "x" poate fi anulată atât în numerotator cât și în numitor, rezultând în (x + 2) / 1 = (x + 2). Cu toate acestea, (x + 2) / x nu pot fi anulate în 2/1 = 2.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 12

Multiplicați termenii în paranteze prin constantele lor. Atunci când se ocupă de variabile în paranteze cu o constantă alături de ele, putem înmulți câte un termen în paranteze cu constanta și obține un rezultat mai simplu. Aceasta se aplică constantelor pur numerice și constantelor care includ variabile.

De exemplu, expresia 3 (x² + 8) poate fi simplificată 3x² + 24, în timp ce 3x (x² + 8) poate fi simplificată 3x³ + 24x.
Rețineți că în unele cazuri (cum ar fi fracțiunile cu variabile), constanta adiacentă cu parantezele dă șansa de a anula. Deci este mai bine să nu o folosești pentru a se multiplica prin paranteze. În fracția (3 (x² + 8)) / 3x, de exemplu, factorul 3 apare atât în numerotator, cât și în numitor, astfel încât îl putem anula și simplifica expresia pentru (x² + 8) / x. Este mai ușor să lucrezi așa, decât cu (3x³ + 24x) / 3x, rezultatul obținut ar fi dacă am fi înmulțit cu parantezele.

Imagine intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 13

Simplificați utilizarea factoringului. Factoringul este o tehnică prin care unele expresii cu variabile, inclusiv polinoame, pot fi simplificate. Luați în considerare factorizarea ca opusul „multiplicare de paranteză“ în căutarea în sus - uneori, o expresie poate fi mai simplu dacă înmulțim un termen de altul, mai degrabă decât de lucru cu o singură expresie unitară. Acest lucru se aplică în special dacă factorizarea unei expresii vă permite să anulați o parte din ea (la fel cum ați face și într-o fracțiune). În cazuri speciale (de obicei cu ecuații patrate), factorizarea chiar vă permite să găsiți soluții la ecuație.

Să ne uităm la expresia x² - 5x + 6 încă o dată. Această expresie poate fi inclusă în (x - 3) (x - 2). Prin urmare, dacă x² - 5x + 6 este numitorul unei expresii date cu unul din acești termeni în numitor, așa cum este cazul expresiei (x² - 5x + 6) / (2 (x - 2)), îl putem factoriza astfel încât să îl putem anula cu numitorul. Cu alte cuvinte, cu (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)) termenii (x - 2) (x-3) / 2.
După cum sa arătat mai sus, un alt motiv pentru factorizarea unei expresii are legătură cu faptul că factorizarea dezvăluie răspunsul la anumite ecuații, mai ales când aceste ecuații sunt scrise ca expresii zero egale. De exemplu, să examinăm ecuația x² - 5x + 6 = 0. Prin factoring, obținem (x - let 3) (x - 2) = 0. Deoarece orice număr înmulțit cu zero duce la zero, știm că orice termen din paranteze poate fi egal cu zero. Prin urmare, întreaga expresie din partea stângă va avea ca rezultat și zero. apoi, 3 și 2 sunt răspunsurile la ecuație.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit