Cum să descoperiți zona unui Pentagon

Pentagonul este un poligon cu cinci laturi drepte. Aproape toate problemele pe care le va rezolva vor face referire la pentagonul obișnuit, cu cinci părți egale. Există două moduri simple de calculare a zonei, în funcție de cât de multe informații aveți la dispoziție.

conținut

Pași
Metoda 1găsirea zonei de la lungimea laturii și a apothetei
Metoda 2găsirea zonei din lungimea laturii
Metoda 3folosind o formulă
Sfaturi
Surse și cotatii

pași

Metoda 1
Găsirea zonei de la lungimea laturii și a apothetei

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 01

Începeți să utilizați lungimea laterală și apostroful. Această metodă funcționează cu pentagone regulate, cu cinci laturi egale. În plus față de lungimea laterală, aveți nevoie pentru a măsura „apotemă“ pentagonul. Aceasta este linia care merge de la centrul pentagonului partea sa la un unghi de 90 °, formând cu acesta un triunghi dreptunghic.

Nu confundați apôtema cu raza, care este linia care atinge colțul (vârful), nu punctul central al laturii. Dacă cunoașteți doar lungimea laturii și raza, urmați următoarea metodă de citire.
Vom folosi un exemplu de pentagon cu fețe de lungime 3 unități și apteme cu o măsurătoare egală cu 2 unități.

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 02

Împărțiți pentagonul în cinci triunghiuri. Desenați cinci linii care încep în centrul pentagonului și mergeți la fiecare dintre vârfurile (colțurile) acestuia. Acum aveți cinci triunghiuri.

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 03

Calculați suprafața unui triunghi. Fiecare triunghi are o mărime de bază egală cu lungimea laturii și, de asemenea, o măsură de înălțime egală cu lungimea apotemă (amintiți-vă că înălțimea unui vârf al unei porțiuni de triunghi pe partea opusă, la un unghi drept). Pentru a calcula aria oricărui triunghi, calculați pur și simplu ½ × baza × înălțime.

În exemplul nostru, Triangle Area = ½ × 3 × 2 = 3 unități pătrate.

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 04

Înmulțiți cu cinci pentru a afla suprafața totală. Împărțim pentagonul în cinci triunghiuri egale. Pentru a calcula suprafața totală, înmulțiți pur și simplu suprafața unuia dintre triunghiuri cu cinci.

În exemplul nostru, A (pentagonul complet) = 5 × A (triunghi) = 5 × 3 = 15 unități pătrate.

Metoda 2
Găsirea zonei din lungimea laturii

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pas 05

Începeți să utilizați lungimea laturii. Această metodă funcționează numai cu pentagoanele obișnuite, care au cinci laturi de aceeași măsură.

În acest exemplu, vom folosi un pentagon cu o parte de măsurare egală cu 7 unități.

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 06

Împărțiți pentagonul în cinci triunghiuri. Desenați o linie din centrul pentagonului la oricare dintre vârfurile sale, repetând această procedură în toate. Acum, aveți cinci triunghiuri de dimensiune identică.

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 07

Împărțiți un triunghi în jumătate. Desenați o linie din centrul pentagonului la baza unuia dintre triunghiuri. Această linie trebuie să atingă baza la un unghi drept de 90 °, împărțind-o în două triunghiuri mai mici, identice.

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pas 08

Etichetați unul dintre triunghiurile mai mici. Putem deja eticheta una dintre laturi și unul dintre unghiurile unui triunghi mic.

bază a triunghiului este egal cu ½ de partea pentagonului. În exemplul nostru, acest lucru este egal cu ½ × 7 = 3,5 unități.
unghi existent în centrul pentagonului va fi întotdeauna egală cu 36 ° (începând cu un centru plin de 360 °, este posibil să se împartă mediul în 10 triunghiuri mai mici - 360 ÷ 10 = 36, astfel încât unghiul existent al triunghiului este egal cu 36 °).

Imagine intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 09

Calculați înălțimea triunghiului. înălțime a triunghiului este echivalentă cu o linie care trece direct de la centrul oricărei laturi la centrul pentagonului. Puteți utiliza funcția trigonometria de bază pentru a afla lungimea acestei laturi:

Într - un triunghi drept, tangentă al unui unghi este egal cu lungimea laturii opuse împărțit la lungimea laturii adiacente.
Latura opusă unghiului de 36 ° este baza triunghiului (jumătatea laturii pentagonului) și partea adiacentă acestuia este egală cu înălțimea sa.
tan (36 °) = opus / adiacent
În exemplul nostru, tan (36 °) = 3,5 / înălțime
înălțime × tan (36 °) = 3,5
înălțime = 3,5 / bronz (36 °)
înălțime = (aproximativ) 4.8 Unități

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 10

Calculați aria triunghiului. Zona triunghiului este egală cu ½ × baza × înălțime (A = ½bh). Acum, când cunoașteți înălțimea, introduceți aceste valori în formula pentru ao descoperi în triunghiul său mic.

În exemplul nostru, suprafața unuia dintre triunghiurile mai mici = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4 unități pătrate.

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 11

Înmulțiți pentru a descoperi aria pentagonului. Unul dintre aceste triunghiuri mici acoperă 1/10 din zona pentagonului. Pentru a afla suprafața totală, înmulțiți aria triunghiului mai mic cu 10.

În exemplul nostru, aria întregului pentagon = 8,4 × 10 = 84 unități pătrate.

Metoda 3
Folosind o formulă

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 12

Utilizați perimetrul și anexa. Apostroful este o linie care iese din centrul pentagonului și atinge o parte a acestuia în unghi drept. Dacă știi lungimea ei, poți folosi această formulă simplă.

Zona unui pentagon obișnuit = pa/ 2, unde = perimetrul și = apótema.
Dacă nu cunoașteți dimensiunea perimetrului, calculați-o din lungimea (marginile) laterale: p = 5s.

Imaginea intitulată Găsiți zona unui Pentagon regulat Pasul 13

Utilizați lungimea laturii. Dacă cunoașteți doar lungimea laturii, utilizați următoarea formulă:

Zona unui pentagon obișnuit = (5s²) / (4 tan (36 °)), unde s = lungimea laturii.
tan (36 °) = √ (5-2 / 5). Deci, dacă calculatorul dvs. nu are o funcție "tan", utilizați formula Area = (5s²) / (4√ (5-2√5)).

Alegeți o formulă care utilizează numai măsurarea razei. Puteți chiar calcula zona dacă știți doar raza. Utilizați următoarea formulă:

Zona unui pentagon obișnuit = (5/2)r²păcat (72 °), unde r este măsura razei.

sfaturi

Pentagonii neregulate sau pentagonii cu fețe inegale sunt mai greu de studiat. Cea mai bună modalitate de a le aborda este, de obicei, să le împărțiți în triunghiuri și să adăugați zona fiecăruia dintre ele. Este posibil să fie nevoie să desenați o formă mai mare în jurul pentagonului, să calculați suprafața acestuia și să scăpați suprafața spațiului suplimentar.
Formulele sunt derivate din metode geometrice, similare celor descrise aici. Încercați să găsiți modalități de a le înțelege și de a descoperi formulele pe cont propriu. Cea utilizată din rază este mai dificil de dedus decât celelalte (indiciu: aveți nevoie de identitatea cu unghi dublu).
Exemplele oferite aici folosesc valori rotunjite în scopul simplificării. Dacă măsurați un poligon real cu lungimea laterală utilizată, veți obține rezultate ușor distincte în ceea ce privește lungimea și suprafața.
Dacă este posibil, utilizați atât o metodă geometrică, cât și o formulă și comparați cele două căi pentru a vă asigura că răspunsul este corect. Puteți obține rezultate diferite dacă introduceți întreaga formulă la un moment dat (deoarece valorile nu vor fi rotunjite în proces), dar ele vor fi destul de apropiate.