Cum să găsiți ecuațiile asimptotelor unui hyperbola

Asimptotele unei hiperbola sunt liniile care trec prin centrul ei. Hiperbola vine foarte aproape de asimptote, dar nu le ajunge niciodată. Există două abordări diferite pentru calcularea asimptotelor. Aflați cum să utilizați ambele pentru a înțelege mai bine acest concept.

conținut

Pași
Metoda 1factoring
Metoda 2găsirea valorii y
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
factoring

Imaginea intitulă Găsiți ecuațiile asimptotelor din pasul 1 al Hyperbola

Scrieți ecuația hiperbola în forma sa standard. Să începem cu un exemplu simplu: o hiperbolă cu centrul originii ei. Pentru aceste hiperbolă, forma standard a ecuației este ^x²/_² - ^y²/_b² = 1 pentru hiperbolă orizontală sau ^y²/_b² - ^x²/_² = 1 pentru hiperbolații verticale. Ține minte asta x și y sunt variabile, în timp ce și b sunt constante (numere obișnuite).

Exemplul 1: ^x²/₉ - ^y²/₁₆ = 1
Unele manuale și profesori schimbă pozițiile și b în aceste ecuații. Urmați cu atenție ecuația pentru a înțelege ce se întâmplă. Dacă memorați doar ecuațiile, nu veți fi pregătiți să vă ocupați de o noțiune diferită.

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din pasul 2 al Hyperbola

Setați ecuația la zero în loc de una. Această nouă ecuație reprezintă ambele asimptote, deși este nevoie de puțin mai mult pentru a le separa.

Exemplul 1: ^x²/₉ - ^y²/₁₆ = 0

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din Hyperbola Pasul 3

Factor noua ecuație. Factorul din partea stângă a ecuației în două produse. Dacă aveți nevoie să vă reîmprospătați memoria cu privire la modul de efectuare a factorizării, [Algebra Equation Factors click here] sau continuați să urmați Exemplul 1:

Vom încheia cu o ecuație în formă (__ ± __) (__ ± __) = 0.
Primii doi termeni trebuie multiplicați pentru a forma ^x²/₉, apoi calculați rădăcina pătrată și scrieți-o în aceste spații: (^x/₃ __ ±) (^x/₃ ±)) = 0
În mod similar, calculați rădăcina pătrată din ^y²/₁₆ și plasați-o în cele două spații rămase: (^x/₃ ± ^y/₄) (^x/₃ ± ^y/₄) = 0
Deoarece nu există alți termeni, scrieți o sumă și un semn minus, astfel încât ceilalți termeni să fie anulați când se înmulțesc: (^x/₃ + ^y/₄) (^x/₃ - ^y/₄) = 0

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din Hyperbola Pasul 4

Separați factorii și găsiți y. Pentru a asambla ecuațiile asimptote, separați cei doi factori și găsiți valorile termenilor y.

Exemplul 1: ca (^x/₃ + ^y/₄) (^x/₃ - ^y/₄) = 0, știm asta ^x/₃ + ^y/₄ = 0 și ^x/₃ - ^y/₄ = 0
rescrie ^x/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = - ^x/₃ → y = - ^4x/₃
rescrie ^x/₃ - ^y/₄ = 0 → - ^y/₄ = - ^x/₃ → y = ^4x/₃

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din Hyperbola Pasul 5

Încercați să faceți același proces cu o ecuație mai dificilă. Tocmai am găsit asimptotele pentru o hiperbolă centrat pe origine. O hiperbolă cu centrul la (h, k) are o ecuație în formă ^{(X - h)²}/_² - ^{(Y - k)²}/_b² = 1 sau în formă ^{(Y - k)²}/_b² - ^{(X - h)²}/_² = 1. Puteți să le rezolvați exact folosind aceeași metodă de factoring descrisă mai sus. Doar lăsați termenii (x - h) și (y - k) intacte până la ultimul pas.

Exemplul 2: ^{(X - 3)²}/₄ - ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
Setați ecuația la zero și factorizați-o pentru a obține:
(^{(X - 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅) (^{(X - 3)}/₂ - ^{(y + 1)}/₅) = 0
Separați fiecare factor și rezolvați contul până găsiți ecuațiile asimptote:
^{(X - 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → y = -⁵/₂x + ¹³/₂
(^{(X - 3)}/₂ - ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂x - ¹⁷/₂

Metoda 2
Găsirea valorii y

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor de la Hyperbola Pasul 6

Scrieți ecuația hiperbola cu termenul y² pe partea stângă. Această metodă este utilă dacă aveți o ecuație care este în formă pătrată. Chiar dacă este în forma standard pentru hiperbole, această abordare vă poate oferi o mai bună înțelegere a naturii asimptotelor. Reorganizați ecuația astfel încât termenii y² sau (y-k)² stați pe o parte pentru a începe.

Exemplul 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ - ^{(x + 3)²}/₄ = 1
Adăugați termenii x pe ambele părți, apoi înmulțiți fiecare parte cu 16:
(y + 2)² = 16 (1 + ^{(x + 3)²}/₄)
Simplificați:
(y + 2)² = 16 + 4 (x + 3)²

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din pasul 7 al Hyperbola

Scoateți rădăcina pătrată pe fiecare parte. Calculați rădăcina pătrată, dar nu încercați să simplificați partea dreaptă. Reamintim că în calculul rădăcinii pătrate există două soluții posibile: una pozitivă și una negativă. De exemplu: -2 * -2 = 4, atunci √4 poate fi egal cu -2 sau 2.) Utilizați semnul plus sau minus "±" pentru a indica ambele soluții.

√ ((y + 2)²) = √ (16 + 4 (x + 3)²)
(y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)²)

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din pasul 8 al Hyperbola

Revedeți definiția unui asimptot. Este important să înțelegeți acest lucru înainte de a trece la pasul următor. Asimptotul unei hiperbola este o linie în care hiperbola se apropie și mai aproape de pasul în care valoarea x crește. x de fapt, poate ajunge la asimptote, dar dacă urmăm hiperbola pentru valori mai mari de x, ne vom apropia mai mult de asimptot.

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din Hyperbola Pasul 9

Reglați ecuația la valori mai mari de x. Deoarece încercăm să găsim ecuația asimptotei, valoarea lui x ne interesează doar dacă are valori mari ("apropie infinitul"). Acest lucru ne permite să ignorăm unele constante din ecuație, deoarece ele contribuie cu o parte foarte mică în raport cu termenul x. Când x este de 99 de miliarde (de exemplu), adăugând numărul 3 la acesta este atât de mic încât putem să-l ignorăm.

În ecuație (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)²), întrucât, atunci când x se apropie de infinit, apoi 16 devine irelevant.
(y + 2) = despre √ (4 (x + 3)²) pentru valori mari de x.

Imaginea intitulată Găsiți ecuațiile asimptotelor din pasul 10 al Hyperbolei

Calculați valoarea y pentru a găsi cele două ecuații ale asimptotei. Acum că ați scăpat de constanță, pur și simplu simplificați rădăcina pătrată. Calculați valoarea y pentru a obține răspunsul. Amintiți-vă să împărțiți simbolul ± în două ecuații separate, unul cu semnul "+" și celălalt cu un semn ";".

y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
și + 2 = ± 2 (x + 3)
y + 2 = 2x + 6 și y + 2 = -2x-6
y = 2x + 4 și y = -2x-8

sfaturi

Nu uita niciodată că o ecuație de hiperbolă și perechea de asimptote diferă întotdeauna de o constantă.
O hiperbolă dreptunghiulară este cea în care a = b = constant = c.
Atunci când se ocupă de ele, trebuie mai întâi să o convertiți la forma sa implicită și apoi să găsiți asimptotele.