Cum se face diferențierea implicită

În calcul, când ai o ecuație pentru y

conținut

Pași
Metoda 1diferențierea rapidă a ecuațiilor simple
Metoda 2folosind tehnici avansate
Avertismente

scrise în termeni de x (ca y = x² -3x), este ușor de utilizat tehnici de diferențiere de bază (ceea ce matematicienii știu ca tehnici de "diferențiere explicită") pentru a găsi derivatul. Cu toate acestea, în cazul ecuațiilor care sunt greu de rearanjat prin plasarea y pe o parte a semnului egal (cum ar fi x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), este necesară o altă metodă. Cu ajutorul unei tehnici numită diferențiere implicită, va fi ușor să găsiți derivații mai multor ecuații variabile, atâta timp cât cunoașteți deja elementele de bază ale diferențierea explicită!

pași

Metoda 1
Diferențierea rapidă a ecuațiilor simple

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 1

Diferențiați termenii x așa cum ați face în mod normal. Când încerci să diferențiezi o ecuație de mai multe variabile, cum ar fi x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, poate fi dificil să știi de unde să începi. Din fericire, primul pas al diferențierii implicite este cel mai ușor. În primul rând, diferențiați termenii x și constante de pe ambele părți ale ecuației, urmând regulile de diferențiere regulată (explicită). Pentru moment ignorați termenul y.

Să diferențiem ecuația simplă precedentă. Ecuația x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 are doi termeni cu x: x². Dacă vrem să diferențiem ecuația, trebuie să o rezolvăm mai întâi după cum urmează:
x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19
(Descărcați exponentul "2" în x² pentru ao pune ca un coeficient, eliminați x în -5x, și schimbați valoarea de 19 cu 0)
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 2

Diferențiați termenii cu y și plasați "(dy / dx)" lângă fiecare. În pasul următor, pur și simplu diferențiați termenii cu y așa cum ați făcut cu termenii x. Totuși, de această dată, adăugați "(dy / dx)" în dreptul fiecăruia în același mod în care adăugați un coeficient. De exemplu, dacă tu², ar deveni 2y (dy / dx). Pentru moment, ignorați termenii care au x și y.

În exemplul nostru curent, ecuația va arăta astfel: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vom efectua această etapă de diferențiere a lui y în felul următor:
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
(Descărcați exponentul "2" pe y² pentru ao stabili ca un coeficient, eliminați y în 8 ani și puneți un "dy / dx" lângă fiecare).
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2 xi²= 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 3

Utilizați regula produsului sau regula de coeficient pentru termenii care au atât x, cât și y. Rezolvarea termenilor care au x și y este a puțin complicat, dar dacă știți regula produsului și coeficientul de diferențiere, nu veți avea probleme. Dacă termenii x și y sunt multiplicați, utilizați regula produsului ((f × g) `= f` × g + g × f `), înlocuind termenul x prin f și termenul y de către g .. Pe de altă parte, dacă termenii x și y sunt împărțiți între ei, utilizați regula coeficientului ((f / g) `= (g × f` - g `× f) / g²), înlocuind termenul neimprimat cu f și termenul în numitor pe g.

În exemplul nostru, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, avem doar un termen cu ambele x și y, ceea ce este 2xy². ca x și y se multiplică reciproc, ar trebui să utilizăm regula produsului pentru a le diferenția după cum urmează:
2xy² = (2x) (y²) - setați 2x = f și y² = g în (f × g) `= f` x g + g × f `
(f × g) `= (2x)` × (y²) + (2x) x (y²) "
(f × g) `= (2) × (y²) + (2x) x (2y (dy / dx))
(f × g) `= 2y² + 4xy (dy / dx)
Când adăugăm ecuația principală din nou, ajungem 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 4

Izolați (dy / dx). Ești aproape gata! Acum, tot ce trebuie să faceți este să rezolvați ecuația pentru (dy / dx). Se pare că este dificil, dar, în general, nu se ține cont de termeni și b (dy / dx) poate fi scris ca (a + b) (dy / dx) datorită proprietății distributive a înmulțirii. alți termeni din partea opusă a parantezelor și îi împărțiți între termenii care sunt în paranteze de lângă (dy / dx).

În exemplul nostru, putem simplifica 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 după cum urmează:
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xi)
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2
Folosind tehnici avansate

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 5

Conectați valorile (x, y) pentru a găsi (dy / dx) în orice moment. Felicitări! Ați diferențiat ecuația implicit, ceea ce nu este o sarcină ușoară pentru începători! Folosind această ecuație pentru a găsi panta (dy / dx) în orice punct (x, y) este la fel de simplă ca și conectarea a două valori x și y în partea dreaptă a ecuației și apoi rezolvați (dy / dx).

De exemplu, să presupunem că vrem să găsim panta punctului (3, -4) pentru ecuația anterioară. Pentru a face acest lucru, ar trebui să înlocuiți 3 cu x și -4 per y, rezolvând după cum urmează:
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(dy / dx) = (-2 (-4)² - 2 (3) + 5) / (2 (3) (-4) + (-4) + 4)
(dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (3) (- 4))
(dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, sau 0.6875.

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 6

Utilizați regula de înlănțuire pentru funcții în cadrul altor funcții. Când vine vorba de probleme de calcul (inclusiv probleme de diferențiere implicită), este foarte important să cunoaștem regula de înlănțuire. Această regulă afirmă că pentru o funcție F (x) care poate fi scrisă ca (f g) (x), derivatul lui F (x) este egal cu f `(g (x)) g` (x). Pentru problemele implicate de diferențiere care au dificultăți mai mari, aceasta înseamnă că este posibilă diferențierea mai multor "părți" individuale ale ecuației și apoi adăugarea la rezultat.

Ca un exemplu simplu, să presupunem că trebuie să găsim derivatul sem (3x² + x). Dacă ne gândim fără (3x² + x) ca "f (x)" și 3x² + x ca "g (x)", putem gasi diferentierea dupa cum urmeaza:
f `(g (x)) g` (x)
(fără (3x² + x)) × (3x² + x) "
cos (3x² + x) x (6x + 1)
(6x + 1) cos (3x² + x)

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 7

Pentru ecuațiile cu variabilele x, y și z găsiți (dz / dx) și (dz / dy). Deși nu sunt comune în calculul de bază, unele aplicații avansate pot necesita realizarea diferențierii implicite a mai mult de două variabile. Pentru fiecare variabilă suplimentară, va fi necesar să se găsească un derivat suplimentar în raport cu x. De exemplu, dacă lucrați cu variabilele x, y și z, va trebui să găsiți (dz / dy) și (dz / dx). Putem diferentia ecuatia cu x de doua ori. Prima dată când punem un (dz / dx) de fiecare dată când diferențiăm un termen cu z și cel de-al doilea vom pune unul (dz / dy) de fiecare dată când diferențiăm un z. După aceasta, va fi doar o chestiune de rezolvare (dz / dx) și (dz / dy).

De exemplu, să presupunem că vrem să diferențiem x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.
În primul rând, diferențiezăm în raport cu x și loc (dz / dx). Nu uitați să aplicați regula produsului dacă este cazul!
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x
3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x
(2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5Y⁵z
(dz / dx) = (2x-3x²z² + 5Y⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)
Acum, vom face același lucru pentru (dz / dy)
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
2x³z (dz / dy) -25xi⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²
(2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z
(dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)