Cum să faci Trinomials

Un trinomial este o expresie algebrică compusă din trei termeni. Veți învăța probabil să factorizați trinomiurile tridimensionale, care sunt trinomiale scrise în formă de topor²

conținut

Pași
Metoda 1factoring x2 + bx + c
Metoda 2factorizarea unor trinomializări mai elaborate
Metoda 3facturare cazuri speciale
Răspunsuri și exemple de probleme
Sfaturi
Avertismente

+ bx + c. Există mai multe trucuri care pot fi aplicate diferitelor tipuri de trinomiuri quadrate, dar veți obține o mai bună și mai rapidă cu practica. Polinomii de grade mai mari, cu termeni precum³ sau x⁴, nu pot fi întotdeauna rezolvate prin aceleași metode, dar de cele mai multe ori puteți recurge la o simplă factorizare sau la înlocuirea termenilor pentru a le transforma în probleme care pot fi rezolvate cu orice formulă patratică.

pași

Metoda 1
Factoring x² + bx + c

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 1

Aflați proprietatea distributivă (cunoscută și sub numele de FOIL în limba engleză), pentru a multiplica expresii ca (x + 2) (x + 4). Înainte de a începe să factorizați, este bine să știți cum funcționează acest lucru:

Înmulțiți 1 termeni: (x+2) (x+4) = x² + __
Înmulțiți termenii afară: (x+2) (x +4) = x²+4x + __
Înmulțiți termenii în: (x +2) (x+4) = x²+4x +2x + __
Înmulțiți ultimul termeni: (x +2) (x +4) = x²+4x + 2x +8
Simplificați: x²+4x + 2x+8 = x²+6x+8

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 2

Înțelegeți factorizarea. Când înmulțiți două binomiale cu ajutorul distributivului, ajungeți la un trinomial (o expresie cu trei termeni) în forma x²+bx +c, în care "a", "b" și "c" sunt numere comune. Dacă începi cu o ecuație în același mod, poți să o faci înapoi în două binomiale.

Dacă ecuația nu este scrisă în această ordine, luați termenii în poziția corespunzătoare. De exemplu, rescrieți 3x - 10 + x² ca x² + 3x - 10.
Cel mai mare exponent este 2 (x², această expresie se numește "patratică".

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 3

Rezervați un spațiu pentru răspunsul metodei afișate. Pentru moment, scrieți doar (__ __) în spațiul dedicat răspunsului. Vom umple aceste câmpuri în curând.

Nu puneți semne de + sau - între termenii încă necompletați, deoarece nu știm care va fi folosită.

Imagine intitulată Factor Trinomials Pasul 4

Completați primii termeni. În simple probleme, în care primul termen al trinomului său este doar x², termenii de la prima poziție vor fi întotdeauna x și x. Acestea sunt factorii lui x², deoarece x ori x = x².

Exemplul nostru, x² + 3x - 10, începe cu x², astfel încât să putem scrie:
(x __) (x __)
Vom analiza mai multe aspecte elaborate în secțiunea următoare, inclusiv trinomiale care încep cu un termen de 6x²sau -x². Pentru moment, urmați exemplul de problemă.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 5

Utilizați factoring pentru a ghici ultimii termeni. Dacă vă întoarceți și recitiți metoda pe care ați folosit-o inițial, veți vedea că înmulțirea ultimilor termeni dă termenul de terminare în polinom (cel fără x). Prin urmare, pentru a factoriza, trebuie să găsim două numere care se înmulțesc pentru a forma ultimul termen.

În exemplul nostru, x² + 3x - 10, ultimul termen este -10.
Care sunt factorii -10? Ce două cifre au înmulțit împreună rezultă în -10?
Există câteva posibilități: -1 ori 10, 1 timp -10, -2 ori 5 sau 2 ori -5. Notați aceste perechi undeva, astfel încât să nu uitați.
Nu modificați încă răspunsul. Încă mai arată astfel: (x __) (x __).

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 6

Testați ce posibilități funcționează cu multiplicarea din exterior și cu multiplicarea în interior. Am redus ultimii termeni la câteva posibilități. Testați fiecare dintre ele prin înmulțirea termenilor externi și interni, apoi comparând rezultatul cu trinomul nostru. De exemplu:

Termenul cu "x" din problema noastră inițială este "3x", deci este valoarea pe care dorim să o obținem în test.
Testele 1 și 10: (x-1) (x + 10). Valoarea din afara + din interior = 10x - x = 9x. Deloc.
Testarea 1 și -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Nu este corect. De fapt, după testarea -1 și 10, știi că răspunsul 1 și -10 vor fi exact opusul rezultatului de mai sus: -9x, în loc de 9x.
Testele 2 și 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Aceasta coincide cu polinomul original, deci acesta este răspunsul corect: (x-2) (x + 5).
În cazuri simple cum ar fi aceasta, când nu există o constantă în fața lui x², puteți utiliza o comandă rapidă: adăugați doar cei doi factori și puneți un "x" după (-2 + 5 → 3x). Acest lucru nu va funcționa cu probleme mai complicate, deci este bine să vă amintiți calea completă descrisă mai sus.

Metoda 2
Factorizarea unor trinomializări mai elaborate

Imagine intitulată Factor Trinomials Pasul 7

Utilizați factorizarea simplă pentru a facilita problemele mai elaborate. Să presupunem că trebuie să fii factor 3x² + 9x - 30. Căutați un număr care umple toți cei trei termeni ("divizorul comun maxim" al acestora sau MDC). În acest caz, este de 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Prin urmare, 3x² + 9x-30 = (3) (x²+3x-10). Putem factoriza noul trinomial folosind pașii de la începutul acestui articol. Răspunsul va fi (3) (x-2) (x + 5).

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 8

Căutați factori mai elaborați. Uneori, factorul poate implica variabile sau este posibil să trebuiască să faci factor de câteva ori până când găsiți cea mai simplă expresie posibilă. Iată câteva exemple:

2x²și + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
-x² + 6x = 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Nu uitați să factorizați noul trinomial încă o dată, utilizând pașii de la început. Verificați răspunsul dvs. și găsiți probleme asemănătoare de exemplu în apropierea sfârșitului acestui articol.

Imagine intitulată Factor Trinomials Pasul 9

Rezolvați probleme cu un număr în fața lui x². Unele trinomiuri quadrate nu pot fi simplificate până când nu ajung la cel mai ușor tip de problemă. Aflați cum să rezolvați probleme cum ar fi 3x² + 10x + 8, și apoi practică singur cu problemele de probă la sfârșitul acestui articol:

Asamblați răspunsul: (__ __)
Primii termeni au un "x" fiecare și, înmulțit, rezultă în 3x². Există o singură opțiune posibilă aici: (3x __) (x __).
Afișați factorii de 8. Alegerile noastre sunt de 1 ori 8 sau de 2 ori 4.
Testați-le folosind termenii din exterior și din interior. Rețineți că ordinea factorilor contează, deoarece termenul din exterior este înmulțit cu "3x", nu cu "x". Încercați toate posibilitățile până când obțineți un rezultat din afara + în termen de 10x (în funcție de problema inițială):
(3x + 1) (x + 8) + 24x + x = 25x Nu.
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Nu.
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Nu.
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x da, acesta este factorul corect.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 10

Utilizați substituția pentru trinomiali de grad mai înalt. Cartea dvs. de matematică vă poate surprinde cu o ecuație exponentă x înaltă⁴, chiar și după ce a folosit factorizarea simplă pentru a ușura problema. Încercați să înlocuiți cu o nouă variabilă care transformă ecuația în ceva ce știi să rezolvi. De exemplu:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Să inventăm o nouă variabilă. Vom spune că y = x² și vom face înlocuirile:
(x) (y²+13y + 36)
= (x) (y + 9) (y + 4). Acum, reveniți la variabila inițială:
= (x) (x²+9) (x²+4)
=(x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3
Facturare cazuri speciale

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 11

Căutați numere prime. Verificați dacă constanta în primul sau al treilea termen al trinomial este un număr prime. Un număr prime poate fi împărțit în mod egal de unul singur și de 1, deci există doar o pereche posibilă de factori binomiali.

De exemplu, în x² + 6x + 5, "5" este un număr prime, deci binomul ar trebui să arate astfel: (__ 5) (__ 1).
Nici o problema 3x²+10x + 8, 3 este un număr prime, deci binomul ar trebui să arate astfel: (3x __) (x __).
Pentru problema de 3x²+4x + 1, ambele "3" și "1" sunt numere prime, deci singura soluție posibilă este (3x + 1) (x + 1). (Încă ar trebui să efectuați această multiplicare pentru a vă verifica calculul, deoarece unele expresii nu pot fi luate în considerare - de exemplu, 3x2 + 100x + 1 nu are factori).

Imagine intitulată Factor Trinomials Pasul 12

Asigurați-vă că trinomul este un pătrat perfect. Un trinomial patrat perfect poate fi luat în considerare în două binomiuri identice, iar factorul este de obicei scris ca (x + 1)², în loc de (x + 1) (x + 1). Iată câteva dintre cele comune care tind să apară în probleme:

x²+2x + 1 = (x + 1)², și x²-2x + 1 = (x-1)²
x²+4x + 4 = (x + 2)², și x²-4x + 4 = (x-2)²
x²+6x + 9 = (x + 3)², și x²-6x + 9 = (x-3)²
Într-un trinomial pătrat perfect, sub formă de x² + bx + c, termenii "a" și "c" sunt întotdeauna pătrate pozitive perfect (cum ar fi 1, 4, 9, 16 sau 25) și termenul b (pozitiv sau negativ) este întotdeauna egal cu 2 (√a * √c).

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 13

Verificați dacă nu există nicio soluție. Nu toate trinomialurile pot fi luate în considerare. Dacă sunteți împachetat într-un trinomial cuadrat (ax²+bx + c), utilizați formula quadratică pentru a găsi rezultatul. Dacă singurele răspunsuri sunt rădăcina pătrată a unui număr negativ, atunci nu există o soluție reală, deci nu există factori.

Pentru trinomiali non-patrate, utilizați criteriul Eisenstein, care este descris în secțiunea sfaturi.

Răspunsuri și exemple de probleme

Răspunsuri la probleme de factorizare mai elaborate. Acestea sunt problemele părții despre trinomiali "mai elaborați". Le-am simplificat, făcându-le o problemă mai ușoară. Acum, încercați să le rezolvați folosind pașii de la început, deci verificați calculele dvs. aici:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
- (x²) (x² + 11x = 26) = (x + 2)
- (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)²
Încearcă să rezolvi probleme complexe de factorizare. Aceste probleme au un factor comun în fiecare termen care trebuie luat în considerare mai întâi. Evidențiați spațiul după semnele egale pentru a vedea răspunsul și verificați calculele dvs. aici:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← Evidențiați acest spațiu pentru a vă vedea răspunsul
- -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Practicați cu probleme dificile. Aceste probleme nu pot fi luate în considerare în ecuații mai ușoare, deci va trebui să compilați un răspuns sub formă de (_x + __) (_ x + __) prin teste:
- 2x²+3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← Evidențiați pentru a vedea răspunsul
- 9x²+6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Sugestie: Este posibil să trebuiască să încercați mai mult de câteva factori pentru 9x).

sfaturi

Dacă nu știți cum să factorizați o trinomă triunghiulară (ax²+bx + c), puteți folosi formula quadratică pentru a găsi valoarea lui x.
Deși nu trebuie să știți cum să faceți acest lucru, puteți utiliza criteriul Eisenstein pentru a determina rapid dacă un polinom este ireductibil și nu poate fi luat în considerare. Acest criteriu se aplică oricărui polinom, dar funcționează foarte bine cu trinomiali. Dacă există un număr prime "p" care împarte și ultimii doi termeni și satisface următoarele condiții, atunci polinomul este ireductibil:
- Termenul constant (fără variabilă) este un multiplu de p, dar nu de p².
- Termenul principal (de exemplu, "a" în ax²+bx + c) nu este un multiplu de p.
- De exemplu, 14x² + 45x + 51 este ireductibilă, deoarece există un număr prim (3), care împarte, de asemenea, 45 și 51, dar nu 14 și 51 nu pot fi împărțite în mod egal de trei².

avertismente

Deși acest lucru este valabil pentru ecuațiile patratice, trinomialii factori nu sunt neapărat produsul a două binomiali. De exemplu: x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit